測度保存動的システム – 日本語百科事典辞書

Measure-preserving_dynamical_system

「エリア保存マップ」はここにリダイレクトされます. 地図投影の概念については、正積図法を参照して
数学では、測度保存力学系は、力学系の抽象的定式化、特にエルゴード理論の研究対象です。測度保存システムはポアンカレの再帰定理に従い、保存システムの特殊なケースです。それらは、幅広い物理システム、特に古典力学の多くのシステム(特に、ほとんどの非散逸システム) や熱力学的平衡にあるシステムの正式な数学的基礎を提供します。
コンテンツ
1 意味
2 討論
3 非公式の例
4 例
5 群とモノイドへの一般化
6 準同型
7 一般的なポイント
8 シンボリック名とジェネレーター
9 パーティションの操作
10 測定理論エントロピー
11 分類定理と反分類定理
12 こちらもご覧ください
13 参考文献
14 参考文献

意味
測度保存動的システムは、確率空間とその上の測度保存変換として定義されます。詳しくはシステムです(X B μ T ) { (X，{mathcal {B}}，mu ，T)}
$(X，{mathcal$
次の構造を使用します。X
{ X}

セットであり、 B { {mathcal {B}}}

はσ代数X
{ X}
μ: B
{ mu :{mathcal {B}}rightarrow }

は確率測度であるため、μ (X ) = 1
{ mu (X)=1}

、と μ ( ∅) = 0
{ mu (varnothing )=0}
T:X X
{ T:Xrightarrow X}

測定値を保持する測定可能な変換です μ { mu}

、つまり、∀ あ ε B μ( T− 1( あ) ) = μ( あ ) { forall Ain {mathcal {B}};;mu (T^{-1}(A))=mu (A)}

.

討論
変換を保存する測度が逆の観点から定義されている理由を尋ねる人がいるかもしれません。 μ ( T− 1( あ) ) = μ( あ ) { mu (T^{-1}(A))=mu (A)}

順変換の代わりに μ ( T( あ) ) = μ( あ ) { mu (T(A))=mu (A)}

. これはかなり簡単に理解できます。マッピングを検討する T { {mathcal {T}}}

パワーセットの:T : P (X ) P (X )
{ {mathcal {T}}:P(X)to P(X)}

マップの特殊なケースを考えてみましょう T { {mathcal {T}}}

交点、和集合、補数を保持し (ボレル集合の写像となるように)、送信も行いますX
{ X}
X
{ X}
（保守的にしたいので）。このような保守的なボレル保存写像はすべて、何らかの全射写像によって指定できます。T :X X
{ T:Xto X}

書くことによって T ( あ) = T − 1( あ ) { {mathcal {T}}(A)=T^{-1}(A)}

. もちろん、定義することもできます T ( あ) = T( あ ) { {mathcal {T}}(A)=T(A)}

、しかし、これはそのような可能なマップをすべて指定するには十分ではありません T { {mathcal {T}}}

. つまり、保守的なボレル保存マップです。 T { {mathcal {T}}}

という形では一般的には書けません。 T ( あ) = T( あ) ;
{ {mathcal {T}}(A)=T(A);}

たとえば、単位間隔のマップを考えることができますT :
[ 0 1 ) [ 0 1 ) { T:[0，1)to [0，1)}

によって与えられたX↦ 2X
モッド1 ;
{ xmapsto 2xmod 1;}

これがベルヌーイ図です。
ご了承ください μ ( T− 1( あ) )
{ mu (T^{-1}(A))}

プッシュフォワードの形をしていますが、 μ ( T( あ) )
{ mu (T(A))}

一般にプルバックと呼ばれます。動的システムのほとんどすべてのプロパティと動作は、プッシュフォワードの観点から定義されています。たとえば、転送演算子は、変換マップのプッシュフォワードに関して定義されます T { T}

; メジャー μ { mu}

不変の尺度として理解できるようになりました。それは単なる転送演算子のフロベニウス・ペロン固有ベクトルです (思い出してください、FP 固有ベクトルは行列の最大の固有ベクトルです。この場合、それは固有値 1 を持つ固有ベクトルです: 不変測度です。)
興味深い分類問題が 2 つ以下で説明する1つは、修正します(X B μ ) { (X，{mathcal {B}}，mu )}

変換マップの同型クラスについて尋ねます T { T}

. transfer operatorで説明されているもう 1 つの修正プログラム(X B)
{ (X，{mathcal {B}})}
と T
{ T}

、マップについて尋ねます μ { mu}

それはメジャーのようなものです。ボレルプロパティを保持しますが、もはや不変ではないという点で、メジャーに似ています。それらは一般に散逸性であるため、散逸性システムと平衡への道への洞察を提供します。
物理的に言えば、測度保存力学系(X B μ T ) { (X，{mathcal {B}}，mu ，T)}

多くの場合、熱力学的平衡など、平衡状態にある物理システムを記述します。どうやってそのようになったのですか？多くの場合、答えは撹拌、混合、乱流、熱化、またはその他のプロセスによるものです。変換マップの場合 T { T}

この攪拌、混合などを説明し、次にシステムを説明します(X B μ T ) { (X，{mathcal {B}}，mu ，T)}

すべての過渡モードが崩壊した後、残っているのはそれだけです。過渡モードは、固有値が 1 未満の伝達演算子の固有ベクトルです。不変測度 μ { mu}

減衰しないモードの 1 つです。過渡モードの減衰率は、固有値 (の対数) によって与えられます。固有値は無限の半減期に対応します。

非公式の例
物理学のマイクロカノニカルアンサンブルは、非公式な例を提供します。たとえば、幅、長さ、高さのボックス内の流体、ガス、またはプラズマを考えてみましょうw × l ×
時間 { wtimes ltimes h，}

からなる N { N}

原子。そのボックス内の単一の原子は、任意の速度でどこにでもある可能性がそれは単一の点で表されますw × l ×
時間× R3
{ wtimes ltimes htimes mathbb {R} ^{3}.}

与えられたコレクション N { N}

原子は空間のどこかにある単一の点になります( w× l ×
時間) N
×R 3 N . { (wtimes ltimes h)^{N}times mathbb {R} ^{3N}.}

「アンサンブル」とは、そのようなすべての点の集まり、つまり、可能なすべてのボックス (その数は数え切れないほど無限にあります) の集まりです。ありとあらゆる箱の集合体が空間X
{ X}

その上。
理想気体の場合、尺度は μ { mu}

はマクスウェル・ボルツマン分布で与えられます。商品の目安ですので、p I(X y ぜ vX v y v ぜ)d3 d3
{ p_{i}(x，y，z，v_{x}，v_{y}，v_{z})，d^{3}x，d^{3}p}

は原子の確率 I { i}

位置と速度を持つX y ぜ vX vy v ぜ
{ x，y，z，v_{x}，v_{y}，v_{z}}

、その後、 N { N}

原子、確率はの積です N { N}

これらの。この措置は、アンサンブルに適用されると理解されています。したがって、たとえば、アンサンブル内の可能なボックスの 1 つには、ボックスの片側にすべての原子がこれの可能性は、マクスウェル・ボルツマン測定で計算できます。それは非常に小さくなります〇 ( 2− 3 N ) .
{ {mathcal {O}}left(2^{-3N}right)}

アンサンブルで可能なすべてのボックスの中で、これはとてつもなく小さな割合です。
これが「非公式の例」である唯一の理由は、遷移関数を書き留めているためです。 T { T}

は難しく、書き留めても実用的な計算は困難です。相互作用が理想気体ビリヤードボールタイプの相互作用ではなく、代わりにファンデルワールス相互作用、または液体またはプラズマに適したその他の相互作用である場合、問題はさらに複雑になります。このような場合、不変測度はマクスウェル・ボルツマン分布ではなくなります。物理学の芸術は、合理的な近似を見つけることです。
このシステムは、測度保存動的システムの分類からの 1 つの重要なアイデアを示しています。異なる温度を持つ 2 つの集合体は等しくありません。与えられた正準アンサンブルのエントロピーは、その温度に依存します。物理システムとして、温度が異なるとシステムも異なることは「明らか」です。これは一般に当てはまります。異なるエントロピーを持つシステムは同型ではありません。

例

(ルベーグ測度) 保存マップの例: T : [0，1) [0，1)，X↦ 2X
モッド 1. { xmapsto 2xmod 1.}

上記の非公式の例とは異なり、以下の例は十分に明確に定義されており、扱いやすいため、明示的で正式な計算を実行できます。
μ は、単位円上の正規化された角度測定 dθ/2π であり、Tは回転です。等分布定理を参照して
ベルヌーイスキーム;
インターバル交換変換;
適切な測度、有限型のサブシフトの定義により;
ランダム動的システムのベースフロー。
閉じた接続された滑らかな多様体の接束上のハミルトニアンベクトル場の流れは、リウヴィルの定理 (ハミルトニアン)によって測度保存 (シンプレクティックボリューム形式によってボレル集合に誘導される測度を使用)です。
特定のマップとマルコフ過程に対して、クリロフ・ボゴリュボフの定理は、測度保存力学系を形成するための適切な測度の存在を確立します。

群とモノイドへの一般化
測度保存動的システムの定義は、Tがシステムのダイナミクスを与えるために反復される単一の変換ではなく、代わりにモノイド(またはgroupでさえあり、この場合、与えられた確率空間に対する群の作用) の変換T s : X Xはs ∈ Z (またはR、またはN ∪ {0}、または [0， +∞))によってパラメータ化され、ここで各変換T sは次を満たします。上記のTと同じ要件。特に、変換は次の規則に従います。T 0 = I dX :X X
{ T_{0}=mathrm {id} _{X}:Xrightarrow X}

、X上の恒等関数;T s ∘ T t = T t + s { T_{s}circ T_{t}=T_{t+s}}

、すべての用語が明確に定義されている場合はいつでも。T s − 1 = T − s
{ T_{s}^{-1}=T_{-s}}

、すべての用語が明確に定義されている場合はいつでも。
s ∈ Nに対してT s = T sを定義することにより、以前のより単純なケースがこのフレームワークに適合します。

準同型
準同型と同型の概念を定義することができます。
2 つの動的システムを考える(X あ μ T ) { (X，{mathcal {A}}，mu ，T)}
と ( よ B ν S ) { (Y，{mathcal {B}}，nu ，S)}

. 次に、マッピングφ :X よ
{ varphi :Xto Y}

次の 3 つのプロパティを満たす場合、は力学系の準同型です。
地図 φ { varphi }

測定可能です。
それぞれについてB ε B
{ Bin {mathcal {B}}}

、ある μ ( φ− 1 B ) = ν( B ) { mu (varphi ^{-1}B)=nu (B)}
. 為に μ { mu}
-ほとんど全てX εX { xin X}

、ある φ ( TX) = S( φX ) { varphi (Tx)=S(varphi x)}
. システム( よ B ν S ) { (Y，{mathcal {B}}，nu ，S)}

は因子と呼ばれる(X あ μ T ) { (X，{mathcal {A}}，mu ，T)}
. 地図 φ { varphi ;}

さらに別の写像が存在する場合、力学系の同型であるψ : よ X
{ psi :Yto X}

それは準同型でもあり、次を満たす
為に μ { mu}
-ほとんど全てX εX { xin X}

、あるX= ψ( φX ) { x=psi (varphi x)}
; 為に ν { nu }
-ほとんど全てy ε よ
{ yin Y}

、あるy = φ( ψy )
{ y=varphi (psi y)}
. したがって、動的システムとその準同型のカテゴリを形成できます。

一般的なポイント
点x ∈ Xは、点の軌道が測度に従って一様に分布している場合、総称点と呼ばれます。

シンボリック名とジェネレーター
動的システムを考える(X B T μ ) { (X，{mathcal {B}}，T，mu )}

、およびQ = { Q 1 ， …， Q k } を、Xをk 個の測定可能な対ごとに素な部分に分割するものとします。点x ∈ Xが与えられると、明らかにxはQ iの 1 つだけに属します。同様に、反復点T n xもパーツの 1 つだけに属することができます。パーティションQに関するxの記号名は、次のような整数 { a n }のシーケンスです。T nX ε Q a n . { T^{n}xin Q_{a_{n}}.}

分割に関する記号名の集合は、力学系の記号力学と呼ばれます。分割Qは、μ-ほぼすべての点xが一意の記号名を持つ場合、生成分割または生成分割と呼ばれます。

パーティションの操作
分割 Q = { Q 1 ， …， Q k } と動的システムが与えられた場合(X B T μ ) { (X，{mathcal {B}}，T，mu )}

、 QのTプルバックを次のように定義します。T − 1 Q = { T − 1 Q 1 … T− 1 Q k } .
{ T^{-1}Q={T^{-1}Q_{1}，ldots ，T^{-1}Q_{k}}.}

さらに、2 つの分割 Q = { Q 1 ， …， Q k } とR = { R 1 ， …， R m } が与えられた場合、それらの改良を次のように定義します。Q ∨ R = { Q I ∩ Rj ∣ I =
1 … k j = 1 … メートル μ( QI ∩ R j ) > 0 } .
{ Qvee R={Q_{i}cap R_{j}mid i=1，ldots ，k， j=1，ldots ，m， mu (Q_{i} cap R_{j})>0}.}
0}.}””>
これら 2 つの構造を使用すると、反復プルバックの改良が次のように定義されます。⋁ n=0 T − n Q = { Q I 0
∩T − 1 Q I 1 ∩ ⋯ ∩T − N Q I N
どこ I ℓ =
1 … k ℓ = 0 … N μ( QI0 T − 1 Q I1 ⋯ ∩ T− N Q I N ) > 0 } { {begin{aligned}bigvee _{n=0}^{N}T^{-n}Q&={Q_{i_{0}}cap T^{-1}Q_{i_{ 1}}cap cdots cap T^{-N}Q_{i_{N}}\&{}qquad {mbox{ where }}i_{ell }=1，ldots ，k， ell =0，ldots ，N， \&{}qquad qquad mu left(Q_{i_{0}}cap T^{-1}Q_{i_{1}}cap cdots cap T^{-N}Q_{i_{N}}right)>0}\end{aligned}}}
0}\end{aligned}}}””>
これは、動的システムの測度理論エントロピーの構築において重要な役割を果たします。

測定理論エントロピー
参照:おおよそのエントロピー
パーティションのエントロピー Q { {mathcal {Q}}}

として定義されます。 H ( Q) = − ∑ Q ε Q μ ( Q ) ログ μ ( Q) .
{ H({mathcal {Q}})=-sum _{Qin {mathcal {Q}}}mu (Q)log mu (Q).}

力学系の測度理論的エントロピー(X B T μ ) { (X，{mathcal {B}}，T，mu )}

分割に関してQ = { Q 1 ， …， Q k } は次のように定義されます。
時間 μ ( T Q) =
リムN ∞ 1 N H( ⋁n = 0 N T − n
Q ) .
{ h_{mu }(T，{mathcal {Q}})=lim _{Nrightarrow infty }{frac {1}{N}}Hleft(bigvee _{n= 0}^{N}T^{-n}{mathcal {Q}}right)}

最後に、力学系のコルモゴロフ・シナイ計量または測度理論エントロピー(X B T μ ) { (X，{mathcal {B}}，T，mu )}

と定義されている
時間 μ ( T) =
すする Q 時間 μ ( T Q) .
{ h_{mu}(T)=sup_{Q}h_{mu}(T，Q).}

ここで、上限はすべての有限の測定可能な分割に適用されます。1959 年のYakov Sinaiの定理は、生成元であるパーティションで実際に最高値が得られることを示しています。したがって、たとえば、ベルヌーイ過程のエントロピーは log 2 です。これは、ほぼすべての実数が固有の2 進展開を持つためです。つまり、単位間隔を間隔 [0， 1/2) とに分割することができます。すべての実数xは 1/2 より小さいか、そうでないかのいずれかです。2 n xの小数部分も同様です。
空間Xがコンパクトでトポロジーを備えている場合、または距離空間である場合、トポロジカルエントロピーも定義できます。

分類定理と反分類定理
測度保存システムの研究における主要な活動の 1 つは、その特性に応じた分類です。つまり、みましょう(X B μ ) { (X，{mathcal {B}}，mu )}

を測定空間とし、う { U}

すべての測度保存システムの集合(X B μ T ) { (X，{mathcal {B}}，mu ，T)}

. 同型S ～ T
{ Ssim T}

2 つの変換の S T { S，T}

同値関係を定義する R ⊂う × う .
{ {mathcal {R}}subset Utimes U.}

目標は、関係を記述することです。 R { {mathcal {R}}}

. 多くの分類定理が得られています。しかし非常に興味深いことに、多くの反分類定理も発見されています。反分類定理は、可算数以上の同型クラスが存在し、同型を分類するには可算の情報量では不十分であると述べています。
Hjorth による最初の反分類定理は、次のように述べています。う { U}

に弱いトポロジーが与えられている場合、セット R { {mathcal {R}}}

はボレル集合ではありません。他にもさまざまな反分類結果がたとえば、同型を角谷同値に置き換えると、各エントロピータイプの非角谷同値エルゴード測度保存変換が無数にあることを示すことができます。
これらは分類定理とは対照的です。これらには以下が含まれます：
純粋点スペクトルによるエルゴード測度保存変換は分類されています。
ベルヌーイシフトは、メトリックエントロピーによって分類されます。詳細については、オーンスタイン理論を参照して

こちらもご覧ください
不変測度の存在に関するクリロフ・ボゴリュボフの定理
ポアンカレ再帰定理

参考文献
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参考文献
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ISBN 0-19-853390-X (説明的な紹介、演習、および広範な参考文献を提供します。)
Lai-Sang Young著、「Entropy in Dynamical Systems」( pdf ; ps ) 、Andreas Greven、Gerhard Keller、および Gerald Warnecke 編のEntropyの第 16 章として登場。プリンストン大学出版局、ニュージャージー州プリンストン（2003)。
ISBN 0-691-11338-6
T. Schürmann と I. Hoffmann、n-simplexes 内の奇妙なビリヤードのエントロピー。Ｊ．Ｐｈｙｓ．A 28(17)， page 5033， 1995. PDF ドキュメント (測定値保存動的システムのより複雑な例を示します。)”