Measure_of_non-compactness
機能分析では、非コンパクト性の2 つの尺度が一般的に使用されます。これらは、コンパクトなセットがすべて測定値 0 を取得し、他のセットがコンパクトさから「どれだけ」離れているかに応じてより大きな測定値を取得するように、数値をセットに関連付けます。
根底にあるアイデアは次のとおりです。境界のあるセットは、ある半径の単一のボールでカバーできます。より小さな半径のいくつかのボールがセットをカバーすることも実際、コンパクトなセットは、完全に有界であるため、任意の小さな半径の有限個のボールでカバーできます。有限個のボールでセットをカバーできる最小の半径は?
正式には、距離空間 Mと部分集合Xから始めます。非コンパクト性のボール測度は次のように定義されます。
α( X ) = inf { r > 0 : Xを覆う半径rの球が有限個存在する}
非コンパクト性のクラトフスキー測度は次のように定義されます。
β( X ) = inf { d > 0 : Xをカバーする高々 dの直径の集合が有限個存在する}
半径rの球の直径は最大で 2 r なので、α( X ) ≤ β( X ) ≤ 2α( X ) となります。
2 つの測度 α と β は多くの特性を共有しており、以降では γ を使用してそれらのいずれかを示します。ここに事実の集まりがあります：
Xは、γ( X ) γ( X ) = γ( X cl )、ここでX clはXの閉包を表します。
Xがコンパクトの場合、γ( X ) = 0 です。逆に、γ( X ) = 0 でXがcompleteの場合、Xはコンパクトです。
任意の 2 つのサブセットXおよびYについて、 γ( X ∪ Y ) = max(γ( X )， γ( Y )) です。
γ は集合のハウスドルフ距離に関して連続です。
Mがノルム ベクトル空間である場合、非コンパクト性の尺度が最も一般的に使用されます。この場合、さらに次のものが
γ( aX ) = | | | 任意のスカラーaに対するγ( X )
γ( X + Y ) ≤ γ( X ) + γ( Y )
γ(conv( X )) = γ( X )、ここで、conv( X ) は X の凸包を表します
これらの非コンパクト性の尺度は、ユークリッド空間 R nのサブセットには役に立たないことに注意してハイネ・ボレルの定理により、すべての有界閉集合はそこでコンパクトです。つまり、Xが有界かどうかに応じて、γ( X ) = 0 または ∞ になります。か否か。
ただし、非コンパクト性の尺度は、たとえば、無限次元バナッハ空間の研究に役立ちます。このコンテキストでは、半径rの任意の球Bが α( B ) = rおよび β( B ) = 2 rであることを証明できます。
こちらもご覧ください
クラトフスキーの交差定理
参考文献
Józef Banaś， Kazimierz Goebel : Measures of noncompactness in Banach space ， Institute of Mathematics， Polish Academy of Sciences， Warszawa 1979
カジミェシュ・クラトフスキ:トポロジー Vol I ， PWN. ワルシャワ 1958
RR Akhmerov， MI Kamenskii， AS Potapova， AE Rodkina and BN Sadovskii， Measure of Noncompactness and Condensing Operators ， Birkhäuser， Basel 1992