Measure_space
測定可能スペース と混同しないで
測度空間は測度理論の基本的な対象であり、体積の一般化された概念を研究する数学の一分野です。これには、基礎となるセット、測定に適したこのセットのサブセット( σ代数)、および測定に使用される方法 (メジャー) が含まれます。測定空間の重要な例の 1 つは、確率空間です。
測定可能なスペースは、特定の尺度のない最初の 2 つのコンポーネントで構成されます。
コンテンツ
1 意味
2 例
3 測度空間の重要なクラス
4 参考文献
意味
小節空間はトリプル(X あ μ
) { (X，{mathcal {A}}，mu )，}
ここで X
{ X}
セットです あ { {mathcal {A}}}
は集合上のσ代数ですX
{ X}
μ { mu}
の対策です(X あ ) { (X，{mathcal {A}})}
つまり、測定空間は測定可能な空間で構成されています(X あ)
{ (X，{mathcal {A}})}
その上のメジャーと一緒に。
例
設定X= { 0 1 }
{ X={0，1}}
. の σ {textstyle sigma }
上記のような有限集合の -algebra は通常、べき集合であり、これは (与えられた集合の) すべての部分集合の集合であり、次のように表されます。 ℘ ( ⋅) .
{textstyle wp (cdot ).}
この規則に固執して、あ = ℘ (X )
{ {mathcal {A}}=wp (X)}
この単純なケースでは、累乗セットを明示的に書き留めることができます。℘ (X ) = {
∅ { 0 } { 1 } X} .
{ wp (X)={varnothing ，{0}，{1}，X}.}
メジャーとして、定義する μ {textstyle mu}
μ( {0 } ) = μ( {1 } ) = 1
2{ mu ({0})=mu ({1})={frac {1}{2}}，}
それでμ (X ) = 1
{textstyle mu (X)=1}
(測定値の加算による) および μ ( ∅) = 0
{textstyle mu (varnothing )=0}
(メジャーの定義による)。
これは測定空間につながります(X ℘ (X ) μ) .
{textstyle (X，wp (X)，mu )}
これは確率空間なので、μ (X ) = 1.
{textstyle mu (X)=1.}
対策 μ {textstyle mu}
ベルヌーイ分布に対応し、p = 1
2 {textstyle p={frac {1}{2}}，}
これは、たとえば公正なコイン投げをモデル化するために使用されます。
測度空間の重要なクラス
メジャー スペースの最も重要なクラスは、関連するメジャーのプロパティによって定義されます。これも
確率空間、測度が確率測度である測度空間
測度が有限測度である有限測度空間 σ { sigma }
– 測度が a である有限測度空間 σ { sigma }
-有限尺度
メジャー スペースのもう 1 つのクラスは、完全なメジャー スペースです。
参考文献
^ Kosorok、Michael R. （2008). 経験的プロセスとセミパラメトリック推論の紹介。ニューヨーク：スプリンガー。p。83.ISBN _ 978-0-387-74977-8.
^ クレンケ、アヒム （2008)。確率論。ベルリン: スプリンガー。p。18.ドイ: 10.1007/978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6.
^ Anosov， DV （2001) ， “”Measure space” ， Encyclopedia of Mathematics ， EMS Press
^ クレンケ、アヒム （2008)。確率論。ベルリン: スプリンガー。p。33.ドイ: 10.1007/978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6.”