緩勾配方程式

Mild-slope_equation
流体力学では、緩やかな傾斜の方程式は、防波堤や海岸線などの横方向の境界によって、海底地形を越えて伝播する水波の回折と屈折の複合効果を表します。これは近似モデルであり、その名前は、もともと海底の緩やかな斜面での波の伝播のために開発されたことに由来しています。緩やかな勾配の方程式は、沿岸工学で港や海岸近くの波面変化を計算するためによく使用されます。
CGWAVE (緩やかな勾配の方程式を解く)
を使用した、メリーランド州テディオス クリークへの波の浸透 (回折と屈折を含む) のシミュレーション。
緩やかな傾斜の方程式は、水波がさまざまな深さの水域を移動し、崖、海岸、防波堤、防波堤などの横方向の境界と相互作用する際の水波の伝播と変換をモデル化します。その結果、波の振幅、または同等の波の高さの変化を表します。波の振幅から、水面下の流速振動の振幅も計算できます。これらの量 – 波の振幅と流速の振幅 – は、その後、沿岸および沖合の構造物、船舶およびその他の浮遊物、堆積物輸送、および結果として生じる海底と海岸線の海底地形の変化、平均流れ場と質量に対する波の影響を決定するために使用できます。溶解および浮遊物質の移動。ほとんどの場合、緩やかな勾配の方程式は、数値解析の方法を使用してコンピューターによって解かれます。
緩やかな勾配の方程式の最初の形式は1952 年にEckartによって開発され、1972 年に Juri Berkhoff によって独自に改良されたバージョン (古典的な定式化における緩やかな勾配の方程式) が導き出されました。 その後、多くの修正および拡張された形式が提案されており、たとえば、波と電流の相互作用、波の非線形性、急な海底斜面 、底の摩擦、砕波などの効果が含まれています。また、計算コストを削減するために、緩やかな勾配の方程式に対する放物線近似がよく使用されます。
一定の深さの場合、緩やかな勾配の式は、波の回折のヘルムホルツの式に縮小されます。
コンテンツ
1 単色波動の定式化
2 非同次ヘルムホルツ方程式への変換
3 伝搬波
4 緩勾配方程式の導出
4.1 ルカの変分原理 4.2 線形波理論 4.3 エアリー波動理論による垂直形状関数 4.4 単色波
5 緩勾配方程式の適用性と妥当性
6 ノート
7 参考文献

単色波動の定式化
線形理論による単色波の場合-自由表面の標高は次のように与えられます
ゼータ(X y t) = ℜ { η (X y ) I ω t }
{ zeta (x，y，t)=Re left{eta (x，y)，e^{-iomega t}right}}

平均水深の流体層を伝播する波
時間(X y ) { h(x，y)}
—緩やかな勾配の方程式は次のとおりです: ∇ ⋅( cp c g ∇ η )+ 2c p c g η =
0{ nabla cdot left(c_{p}，c_{g}，nabla eta right)，+，k^{2}，c_{p}，c_{g }，eta ，=，0，}

どこ： η (X y ) { eta (x，y)}

は、自由表面の標高の複素数値の振幅です。
ゼータ(X y t) ;
{ zeta (x，y，t);}
(X y ) { (x，y)}

は水平位置です。 ω { omega}

単色波動の角周波数です。 I { i}

は虚数単位です。ℜ { ⋅ }
{ Re {cdot }}

中括弧の間の量の実部を取ることを意味します。 ∇ { nabla }

水平勾配演算子です。∇ ⋅
{ nabla cdot }

発散演算子です。 k { k}

は波数です。c p
{ c_{p}}

は波の位相速度、c g
{ c_{g}}

は波の群速度です。
位相と群速度は分散関係に依存し、エアリー波理論から次のように導き出されます。 2= g k
タン ( k 時間
) cp = ω k と c g=1 2c p
[ 1
時間
1 − タン 2 ( k
時間 ) タン ( k 時間 )] { {begin{aligned}omega ^{2}&=，g，k，tanh ，(kh)，\c_{p}&=，{frac {omega } {k}}quad {text{and}}\c_{g}&=，{frac {1}{2}}，c_{p}，left[1，+， kh，{frac {1-tanh ^{2}(kh)}{tanh ，(kh)}}right]end{整列}}}

どこ g { g}

は地球の重力であり、
タン
{ tanh }

は双曲線正接です。
特定の角周波数に対して ω { omega}

、波数 k { k}

これら 2 つの量を水深に関連付ける分散方程式から解かなければなりません。
時間
{ h}

.

非同次ヘルムホルツ方程式への変換
変革を通してψ = η cp c g{ psi ，=，eta ，{sqrt {c_{p}，c_{g}}}，}

緩やかな勾配の方程式は、不均一なヘルムホルツの方程式の形でキャストできます: △ ψ +
k c 2 ψ =0 k c 2 = 2 − △( cp c g ) c
p c g{ Delta psi ，+，k_{c}^{2}，psi ，=，0qquad {text{with}}qquad k_{c}^{2} ，=，k^{2}，-，{frac {Delta left({sqrt {c_{p}，c_{g}}}right)}{sqrt {c_{p }，c_{g}}}}，}

どこ △ { Delta }

はラプラス演算子です。

伝搬波
伝播波の空間的にコヒーレントなフィールドでは、複素振幅を分割すると便利です η (X y ) { eta (x，y)}

その振幅と位相では、両方とも実数値: η (X y) = a(X y ) eI θ (X y ){ eta (x，y)，=，a(x，y)，e^{i，theta (x，y)}，}

どこa =
| | η | |
{ a=|eta |，}

の振幅または絶対値です。 η { eta ，}