Modal_depth
「モーダル深度」
モーダル ロジックでは、式のモーダルの深さは、モーダル演算子の最も深い入れ子です(通常、 ◻ { Box }と ◊
{ ダイヤモンド}
）。モーダル演算子を含まないモーダル式のモーダル深度はゼロです。
コンテンツ
1 意味
2 例
3 モーダル深度とセマンティクス
4 参考文献
意味
モーダル深度は次のように定義できます。させてM D( φ ) { MD(phi )}
モーダル式のモーダル深度を計算する関数 φ { phi }
: M D( p) = 0
{ MD(p)=0}
、 どこ p { p}
は原子式です。M D( ⊤) = 0
{ MD(top )=0}
M D( ⊥) = 0
{ MD(bot )=0}
M D( ¬φ ) = M D( φ ) { MD(neg varphi )=MD(varphi )}
M D( φ∧ ψ ) =
メートル aX ( M D ( φ
) M D ( ψ) )
{ MD(varphi wedge psi )=max(MD(varphi )，MD(psi ))}
M D( φ∨ ψ ) =
メートル aX ( M D ( φ
) M D ( ψ) )
{ MD(varphi vee psi )=max(MD(varphi )，MD(psi ))}
M D( φψ ) =
メートル aX ( M D ( φ
) M D ( ψ) )
{ MD(varphi rightarrow psi )=max(MD(varphi )，MD(psi ))}
M D( ◻φ ) = 1 + M D( φ ) { MD(Box varphi )=1+MD(varphi )}
M D( ◊φ ) = 1 + M D( φ ) { MD(Diamond varphi )=1+MD(varphi )}
例
次の計算は、モーダル深さを与えます ◻ ( ◻p p )
{ Box (Box prightarrow p)}
: M D( ◻( ◻p p ) ) =
{ MD(Box (Box prightarrow p))=}
1 + M D( ◻p p ) =
{ 1+MD(Box prightarrow p)=}
1 +
メートル aX ( M D ( ◻ p ) M D ( p) ) =
{ 1+max(MD(Box p)，MD(p))=}
1 +
メートル aX ( 1+ M D ( p ) 0) =
{ 1+max(1+MD(p)，0)=}
1 +
メートル aX ( 1+ 0 0 ) =
{ 1+max(1+0，0)=}
1 + 1=: 2 { 1+1=:2}
モーダル深度とセマンティクス
式のモーダル深さは、式の有効性をチェックする際にクリプキ モデルを「どこまで」調べる必要があるかを示します。モーダル オペレータごとに、モデル内の世界からアクセシビリティ関係を通じてアクセス可能な世界に移行する必要がモーダル深度は、数式の有効性を検証するために必要な、世界から次の世界への遷移の最長の「チェーン」を示します。
たとえば、M w ⊨ ◊ ◊ φ
{ M，wmodels Diamond Diamond varphi }
、アクセス可能な世界が存在するかどうかを確認する必要があります v { v}
そのためにM v ⊨ ◊ φ
{ M，vmodels Diamond varphi }
. だとすれば、世界も存在するかどうかを確認する必要が
あなた
{ u}
そのような
M あなた⊨ φ
{ M，umodels varphi }
と あなた
{ u}
からアクセスできます v { v}
. 私たちは世界から2歩進みました w { w}
（から w { w}
v
{ v}
そしてから v { v}
あなた
{ u}
) 式が成り立つかどうかを判断するためのモデル内。これは、定義上、その数式のモーダル深度です。
モーダル深度は、ボックスの場合と同様に遷移数の上限 (包括的) です。モーダル式は、ワールドにアクセス可能なワールドがない場合 (つまり、◻ φ
{ Box varphi }
すべてに当てはまる φ { varphi }
世界で w { w}
いつ∀ v ε W( w v) ∉ R
{ forall vin W (w，v)not in R}
、 どこ W { W}
は世界の集合であり、 R { R}
アクセシビリティ関係です）。かどうかを確認するにはM w ⊨ ◻ ◻ φ
{ M，wmodels Box Box varphi }
、モデルで 2 つの手順を実行する必要がある場合がありますが、モデルの構造によってはそれより少ない場合もでアクセスできるワールドはないとします。 w { w}
; 数式は、ボックスを外部演算子として使用した数式の有効性に関する以前の観察によって自明に成り立つようになりました。
参考文献
^ グエン、リン・アン。「正の様相論理プログラムの最小モデルの構築」 (PDF) . p。32. 2019 年 1 月 26 日のオリジナル (PDF)からのアーカイブ。2019年1月26日閲覧。”