Modal_matrix
線形代数では、モード行列は、固有値と固有ベクトルを含む対角化プロセスで使用されます。
具体的にはモーダルマトリックス M { M}
マトリックスの あ { A}
の固有ベクトルで形成されたn × n行列です。 あ { A}
の列として M { M}
. 相似変換で利用されるD = M − 1 あ
M { D=M^{-1}AM，}
どこ D { D}
の固有値を持つn × n対 角行列です。 あ { A}
の主対角線上 D { D}
他の場所ではゼロです。マトリックス D { D}
のスペクトル行列と呼ばれます。 あ { A}
. 固有値は、対応する固有ベクトルが左から右に配置されるのと同じ順序で、左から右、上から下に表示される必要が M { M} . コンテンツ
1 例
2 一般化モーダル マトリックス
2.1 例
3 ノート
4 参考文献
例
マトリックスあ =( 32 0 2 0 0 1 0 2 ) { A={begin{pmatrix}3&2&0\2&0&0\1&0&2end{pmatrix}}}
固有値と対応する固有ベクトルを持つλ 1 = − 1 b 1 =( −
3 6 1
) { lambda _{1}=-1，quad ，mathbf {b} _{1}=left(-3，6，1right)，}
2= 2 b 2 =( 0 0 1
) { lambda _{2}=2，qquad mathbf {b} _{2}=left(0，0，1right)，}
3= 4 b 3 =( 2 1 1 ) .
{ lambda _{3}=4，qquad mathbf {b} _{3}=left(2，1，1right)}
対角行列 D { D}
、類似_ あ { A}
は D =( −1 0 0 0 2 0 0 0 4) .
{ D={begin{pmatrix}-1&0&0\0&2&0\0&0&4end{pmatrix}}.}
可逆行列の選択肢の 1 つ M { M}
そのようなD = M
−1
M { D=M^{-1}AM，}
は M =( −3 0 2 6 0 1 1 1 1) .
{ M={begin{pmatrix}-3&0&2\6&0&1\1&1&1end{pmatrix}}.}
固有ベクトル自体は一意ではないことに注意して M { M}
と D
{ D}
交換することができます。 M { M}
と D
{ D}
一意ではありません。
一般化モーダル マトリックス
させて あ { A}
n × n行列になります。一般化されたモーダル マトリックス M { M}
為に あ { A}
n × n行列で、その列はベクトルと見なされ、 あ { A}
そして登場 M { M}
次の規則に従って:
1 つのベクトル (つまり、長さが 1 つのベクトル) で構成されるすべてのJordan チェーンは、次の最初の列に表示されます。 M { M}
. 1 つのチェーンのすべてのベクトルは、隣接する列にまとめて表示されます。 M { M}
. 各チェーンは M { M}
ランクの昇順 (つまり、ランク 1 の一般化固有ベクトルは、同じチェーンのランク 2 の一般化固有ベクトルの前に表示され、同じチェーンのランク 3 の一般化固有ベクトルの前に表示されるなど)。
それを示すことができますあ M = M
J { AM=MJ，}
( 1 )
どこ J { J}
ジョルダン標準形の行列です。を事前に乗算することによりM − 1
{ M^{-1}}
、 私達は手に入れましたJ = M − 1 あ M .
{ J=M^{-1}AM.}
( 2 )
これらの行列を計算する場合、式 ( 1 ) は行列を逆にする必要がないため、2 つの式の中で最も簡単に検証できます。
例
この例は、4 つの Jordan チェーンを持つ一般化モーダル マトリックスを示しています。残念ながら、低次の興味深い例を構築するのは少し難しいです。マトリックスあ =( −1 0
−1 1 1 3 0 0 1 0 0 10 11 12 131 2− 1 − 1
−6 0
−2 0
−1 2 1 3 0 0 0 0 0 10 11 12 130 0 0 0 1 0− 1
−1 0 1 2 4 1 ) { A={begin{pmatrix}-1&0&-1&1&1&3&0\0&1&0&0&0&0&0\2&1&2&-1&-1&-6&0\-2&0&-1&2&1&3&0\0&0&0&0&1&0&0\0&0&0&0&0&1&0\-1&-1&0&1&2&endpmatrix{ }}
単一の固有値を持つ
λ1 1
{ lambda _{1}=1}
代数的多重度で
μ1 7
{ mu _{1}=7}
. の標準的な基礎 あ { A}
ランク 3 の 1 つの線形独立一般化固有ベクトル (一般化固有ベクトル ランク。一般化固有ベクトルを参照)、ランク 2 の 2 つ、およびランク 1 の 4 つから構成されます。または同等に、3 つのベクトルの 1 つのチェーン{X X X
1 } { left{mathbf {x} _{3}，mathbf {x} _{2}，mathbf {x} _{1}right}}
、2 つのベクトルの 1 つのチェーン{ y y
1 } { left{mathbf {y} _{2}，mathbf {y} _{1}right}}
、および 1 つのベクトルの 2 つのチェーン{ ぜ 1 }
{ left{mathbf {z} _{1}right}}
{w 1 }
{ left{mathbf {w} _{1}right}}
. 「ほぼ対角」の行列 J { J}
ヨルダンの標準形で、に似ています あ { A}
は次のように取得されます。M =( ぜ1 w 1X 1X 2X 3 y 1 y2 ) =( 0 1 −1 0 0
−2 1 0 3 0 0 1 0 0
−1 1 1 1 0 2 0
−2 0
−1 0 0
−2 0 1 0 0 0 0 0 0 20 21 22 230 0 0 0 0 0
−1 0
−1 0
) { M={begin{pmatrix}mathbf {z} _{1}&mathbf {w} _{1}&mathbf {x} _{1}&mathbf {x} _{2} &mathbf {x} _{3}&mathbf {y} _{1}&mathbf {y} _{2}end{pmatrix}}={begin{pmatrix}0&1&-1&0&0&-2&1\ 0&3&0&0&1&0&0\-1&1&1&1&0&2&0\-2&0&-1&0&0&-2&0\1&0&0&0&0&0&0\0&1&0&0&0&0&0\0&0&0&-1&0&-1&0end{pmatrix}}，}
J =( 10 0 0 0 0 0 0 1 0 00 01 02 03
00 1 1 0 0 0 0 0 0 00 01 02 03
00 0 0 1 0 0 0 0 0 00 01 02 030 0 0 0 0 0 1
) { J={begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\0&1&0&0&0&0&0\0&0&1&1&0&0&0\0&0&0&1&1&0&0\0&0&0&0&1&0&0\0&0&0&0&1&1\0&0&0&0&0&0&1end{pmatrix}}，
どこ M { M}
の一般化モーダル行列です。 あ { A}
列 M { M}
の標準的な基礎です あ { A}
、 とあ M = M J
{ AM=MJ}
. 一般化された固有ベクトル自体は一意ではないことに注意して M { M}
と J
{ J}
交換することができます。 M { M}
と J
{ J}
一意ではありません。
ノート
^ ブロンソン (1970 年、pp. 179–183)
^ ブロンソン (1970、p. 181)
^ Beauregard & Fraleigh (1973 ， pp. 271， 272)
^ ブロンソン (1970、p. 181)
^ ブロンソン (1970 年、p. 205)
^ ブロンソン (1970 年、pp. 206–207)
^ ネリング (1970年、pp.122、123)
^ ブロンソン (1970 年、pp. 208、209)
^ ブロンソン (1970、p. 206)
参考文献
Beauregard、Raymond A.; Fraleigh， John B. (1973)， A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups， Rings， and Fields ， Boston: Houghton Mifflin Co. ， ISBN 0-395-14017-X
Bronson， Richard (1970)、Matrix Methods: An Introduction、ニューヨーク: Academic Press、LCCN 70097490
Nering， Evar D. (1970)， Linear Algebra and Matrix Theory (2nd ed.)， New York: Wiley ， LCCN 76091646″