Plancherel_theorem
数学では、プランシュレルの定理(パーセヴァル- プランシュレルの恒等式とも呼ばれます) は、調和解析の結果であり、1910 年にミシェル プランシュレルによって証明されました。これは、関数の二乗係数の積分は二乗係数の積分に等しいと述べています。周波数スペクトルの係数。つまり、もしf (X )
{ f(x)}
は実数直線上の関数であり、 f ^ ( ξ ) { {ワイドハット {f}}(xi )}
はその周波数スペクトルであり、∫ − ∞ ∞ |
f(X ) | 2 dX = ∫ − ∞ (X0 (X1 f ^ ( ξ) | 2 d ξ
{ int _{-infty }^{infty }|f(x)|^{2}，dx=int _{-infty }^{infty }|{widehat {f} }(xi )|^{2}，dxi }
より正確な公式は、関数が両方のLp 空間にある場合です。L 1 R )
{ L^{1}(mathbb {R} )}と L 2 R )
{ L^{2}(mathbb {R} )}
、そのフーリエ変換は次のようになります。L 2 R )
{ L^{2}(mathbb {R} )}
、フーリエ変換マップはL 2ノルムに関するアイソメトリです。これは、フーリエ変換マップが次のように制限されることを意味します。L 1 R ) ∩ L 2 R )
{ L^{1}(mathbb {R} )cap L^{2}(mathbb {R} )}
線形等角投影マップに対する独自の拡張機能がありますL 2 R ) ↦ L 2 R )
{ L^{2}(mathbb {R} )mapsto L^{2}(mathbb {R} )}
、プランシュレル変換と呼ばれることもこのアイソメトリは実際にはユニタリーマップです。実際、これにより、二次積分可能な関数のフーリエ変換について話すことが可能になります。
プランチェレルの定理は、n次元ユークリッド空間で述べられているように引き続き有効ですR n
{ mathbb {R} ^{n}}
。この定理は、局所的にコンパクトなアーベル群でもより一般的に成り立ちます。特定の技術的な仮定を満たす非可換の局所コンパクト群にとって意味のあるプランチェレル定理のバージョンもこれは非可換調和解析の主題です。
フーリエ変換のユニタリティーは、フーリエ級数のユニタリティーを証明するために使用された以前の (しかしあまり一般的ではない) 結果に基づいて、科学および工学の分野でパーセヴァルの定理と呼ばれることがよく
分極恒等式により、プランシュレルの定理を次の式に適用することもできます。L 2( R)
{ L^{2}(mathbb {R} )}
2 つの関数の内積。つまり、もしf (X )
{ f(x)}と g (X )
{ g(x)}
二人ですL 2 R )
{ L^{2}(mathbb {R} )}
機能、および P { {mathcal {P}}}
はプランチェレル変換を表し、∫ − ∞
∞f (X ) g (X )
￣dX = ∫ − ∞ ∞ ( Pf )( ξ ) ( Pg )( ξ ) ￣ d ξ{ int _{-infty }^{infty }f(x){overline {g(x)}}，dx=int _{-infty }^{infty }({ mathcal {P}}f)(xi ){overline {({mathcal {P}}g)(xi )}}，dxi ，}
で、もしf (X )
{ f(x)}と g (X )
{ g(x)}
さらにL 1( R ) { L^{1}(mathbb {R} )}
関数、その後( Pf )( ξ) = f
^ ( ξ) = ∫ − ∞
∞f (X ) e − 2 π I ξX
dX{ ({mathcal {P}}f)(xi )={widehat {f}}(xi )=int _{-infty }^{infty }f(x)e^{ -2pi ixi x}，dx，} と ( Pg )( ξ) = g
^ ( ξ) = ∫ − ∞
∞g (X ) e − 2 π I ξX
dX{ ({mathcal {P}}g)(xi )={widehat {g}}(xi )=int _{-infty }^{infty }g(x)e^{ -2pi ixi x}，dx，}
それで∫ − ∞ ∞ f (X ) g (X ∫0 ∫1 ∫2 ∫3∫ − ∞ ∞ f
^ ( ξ) g
^ ( ξ) ￣ d
ξ { int _{-infty }^{infty }f(x){overline {g(x)}}，dx=int _{-infty }^{infty }{widehat {f}}(xi ){overline {{widehat {g}}(xi )}}，dxi .}
こちらも参照
球面関数のプランシェル定理
参考文献
^ コーエン＝タンヌージ、クロード; デュポン・ロック、ジャック。ギルバート・グリンバーグ (1997)。光子と原子: 量子電気力学の入門。ワイリー。p. １１．ISBN 0-471-18433-0。
Plancherel、Michel (1910)、「Contribution à l’étude de la représentation d’une fonction arbitraire par des intégrales définies」、パレルモのレンディコンティ・デル・チルコロ・マテマティコ、30 (1): 289–335、doi : 10.1007/BF03014877、S2CID 122509369。
Dixmier， J. (1969)、Les C*-algebres et leurs Représentations、Gauthier Villars。
Yosida， K. (1968)、機能分析、Springer Verlag。
外部リンク
「プランシュレルの定理」、数学百科事典、EMS Press、2001
Mathworld のプランシュレルの定理 · 
この数学的解析”