プランクの法則 – 日本語百科事典辞書

Planck’s_law

プランク関係と混同しないで
物理学では、プランクの法則は、物体とその環境の間に物質やエネルギーの正味の流れがないときに、特定の温度Tで熱平衡にある黒体によって放出される電磁放射のスペクトル密度を記述します。
プランクの法則は黒体放射を正確に説明します。ここに示されているのは、さまざまな温度に対する一連の曲線です。古典的な (黒の) 曲線は、高周波数 (短波長) で観察された強度から発散しています。
19 世紀末、物理学者は、その時までに正確に測定されていた黒体放射の観測スペクトルが、より高い周波数で既存の理論によって予測されたスペクトルから大きく乖離する理由を説明できませんでした。1900 年、ドイツの物理学者マックスプランクは、黒体放射を含む空洞内の仮想の帯電振動子は、周波数に比例する最小限の増分Eでのみエネルギーを変化できると仮定することにより、観測されたスペクトルの公式を発見的に導き出しました。それに伴う電磁波の影響。プランクは当初、エネルギーを増分に分割するという仮説を、単に正しい答えを得るために導入された数学的人工的なものとみなしていましたが、アルバート・アインシュタインを含む他の物理学者は彼の研究に基づいて構築され、現在ではプランクの洞察は量子論にとって根本的に重要であると認識されています。
コンテンツ
1 法律
2 黒体放射
3 さまざまな形式
3.1 スペクトル変数形式間の対応関係 3.2 スペクトルエネルギー密度形式 3.3 第 1 および第 2 の放射定数
4 物理
4.1 フォトン 4.2 キルヒホッフの熱放射の法則
4.2.1 熱放射のスペクトル依存性
4.2.2 吸収率と放射率の関係
4.3 ブラックボディ 4.4 ランバートの余弦法則 4.5 ステファン・ボルツマンの法則 4.6 放射伝達 4.7 アインシュタイン係数
5 プロパティ
5.1 ピークス 5.2 近似値 5.3 パーセンタイル
5.3.1 太陽スペクトルとの比較
6 導出
7 歴史
7.1 バルフォア・スチュワート 7.2 グスタフ・キルヒホッフ 7.3 プランクの法則の科学的帰納のための経験的および理論的要素 7.4 経験的事実以前のプランクの見解が、彼に最終的な法則を発見させた 7.5 経験則を見つける 7.6 法則の物理的な説明を見つけようとしている 7.7 後発事象
8 こちらも参照
9 参考文献
9.1 参考文献
10 外部リンク

法律
すべての物体は自発的かつ継続的に電磁放射線を放出し、物体の分光放射輝度B νは、特定の放射線周波数の単位面積、単位立体角、単位周波数あたりの分光放射パワーを表します。以下に示すプランクの放射法則によって与えられる関係は、温度が上昇すると、物体の総放射エネルギーが増加し、放射スペクトルのピークがより短い波長にシフトすることを示しています。これによれば、絶対温度Tにおける周波数 νに対する物体の分光放射輝度は次のように与えられます。
B ν ( ν T) = 2 h ν
3 c2 1 経験値( hν k B T ) −
1{ B_{nu }(nu ，T)={frac {2hnu ^{3}}{c^{2}}}{frac {1}{exp left({frac {hnu }{k_{mathrm {B} }T}}right)-1}}，}
${$
ここで、k Bはボルツマン定数、hはプランク定数、cは物質または真空の媒質中の光の速度です。B νのSI単位はW · sr −1 · m −2 · Hz −1です。
分光放射輝度は、単位周波数ごとではなく、単位波長λごとに表すこともできます。さらに、法則は、特定の波長で放出される光子の数や放射線量内のエネルギー密度など、他の用語で表現される場合も
低周波数 (つまり、長波長) の限界では、プランクの法則はレイリー・ジーンズの法則に従う傾向がありますが、高周波数 (つまり、短波長) の限界では、ウィーン近似に従う傾向が
マックスプランクは、経験的に決定された定数のみを使用して 1900 年に法則を開発し、その後、それがエネルギー分布として表される、熱力学的平衡における放射線の固有の安定分布であることを示しました。エネルギー分布としては、ボーズ・アインシュタイン分布、フェルミ・ディラック分布、マクスウェル・ボルツマン分布を含む熱平衡分布のファミリーの 1 つです。

黒体放射
詳細は「黒体放射」を参照

太陽は黒体放射体に近似します。その有効温度は約5777K。
黒体は、すべての放射線周波数を吸収および放出する理想的な物体です。熱力学的平衡に近い状態では、放出される放射線はプランクの法則によって厳密に記述され、温度に依存するため、プランク放射線は熱放射線であると言われ、物体の温度が高くなるほど、あらゆる波長でより多くの放射線が放出されます。
プランク放射は、体の温度に依存する波長で最大強度を持ちます。たとえば、室温（〜300 K )、物体はほとんどが赤外線で目に見えない熱放射を放出します。温度が高くなると、赤外線放射の量が増加し、熱として感じられるようになり、より多くの可視放射が放出されるため、体が目に見えて赤く輝きます。温度が高くなると、体は明るい黄色または青白色になり、紫外線やX 線などの短波長放射線を大量に放出します。太陽の表面 (~6000 K ) は赤外線と紫外線の両方を大量に放出します。その発光は可視スペクトルでピークに達します。温度によるこの変化は、ウィーンの変位則と呼ばれます。
プランク輻射は、化学組成や表面構造に関係なく、熱平衡にある物体がその表面から放出できる輻射の最大量です。媒体間の界面を横切る放射線の通過は、通常記号εで表される界面の放射率(理論上のプランク放射輝度に対する実際の放射輝度の比)によって特徴付けることができます。一般に、それは化学組成と物理構造、温度、波長、通過角、偏光に依存します。自然界面の放射率は常にε = 0と 1 の間に
ε = 1であり、入射するすべての放射線を吸収する別の媒体と接触する物体は、黒体と言われます。黒体の表面は、あらゆる波長で完全に反射しない不透明な壁で均一な温度に維持される大きな筐体の壁にある小さな穴によってモデル化できます。平衡状態では、この囲い内の放射線は、小さな穴から出る放射線と同様に、プランクの法則によって記述されます。
マクスウェル・ボルツマン分布が熱平衡にある材料粒子のガスの固有の最大エントロピーエネルギー分布であるのと同様に、光子のガスのプランク分布も同様です。粒子の質量と数が役割を果たす材料ガスとは対照的に、熱平衡における光子ガスのスペクトル放射輝度、圧力、エネルギー密度は完全に温度によって決まります。
光子ガスがプランク気体でない場合、熱力学の第 2 法則により、相互作用 (光子と他の粒子の間、または十分に高い温度では光子同士の間の相互作用) によって光子エネルギー分布が変化し、プランク分布に近づくことが保証されます。このような熱力学的平衡へのアプローチでは、光子が適切な数と適切なエネルギーで生成または消滅され、平衡温度に達するまでプランク分布で空洞を満たすことができます。あたかもガスが波長帯域ごとに 1 つずつサブガスの混合物であるかのようで、各サブガスは最終的に共通の温度に達します。
量B ν ( ν ， T )は、温度と周波数の関数としての分光放射輝度です。単位はSI 系でW · m -2 · sr -1 · Hz -1です。微小量のパワーB ν ( ν ， T ) cos θ dA d Ω dν は、幅が無限小の周波数帯域で、微小な表面積dAから微小な立体角d Ωに、表面法線から角度θで表される方向に放射されます。dν は周波数νを中心とします。任意の立体角に放射される総パワーは、これら 3 つの量に対するB ν ( ν ， T )の積分であり、ステファン・ボルツマンの法則によって与えられます。黒体からのプランク放射の分光放射輝度は、偏光のすべての方向および角度に対して同じ値を示すため、黒体はランバート放射体であると言われます。

さまざまな形式
プランクの法則は、さまざまな科学分野の慣例や好みに応じて、さまざまな形で現れることが分光放射輝度の法則のさまざまな形式を以下の表にまとめます。左側の形式は実験分野で最もよく見られ、右側の形式は理論分野で最もよく見られます。
さまざまなスペクトル変数で表現されるプランクの法則
hと一緒に ħと変数分布変数分布
周波数νB ν( ν T) = 2 h ν 3 c2 1 e h )0 )1( kB T ) 1 { B_{nu }(nu ，T)={frac {2hnu ^{3}}{c^{2}}}{frac {1}{e^{hnu /( k_{mathrm {B} }T)}-1}}}

角周波数ωB ω( ω T) = ℏ
ω3 4π 3 c2 1 e ℏ ω /( kB T ) 1 { B_{omega }(omega ，T)={frac {hbar omega ^{3}}{4pi ^{3}c^{2}}}{frac {1}{ e^{hbar omega /(k_{mathrm {B} }T)}-1}}}

波長λB λ( λ T) = 2 h c 2
λ5 1e h c /( λk B T ) 1 { B_{lambda }(lambda ，T)={frac {2hc^{2}}{lambda ^{5}}}{frac {1}{e^{hc/(lambda k_ {mathrm {B} }T)}-1}}}

角波長yB y( y T) = ℏ c2 4 π 3 y5 1 e ℏ )0 )1( yk B T ) 1 { B_{y}(y，T)={frac {hbar c^{2}}{4pi ^{3}y^{5}}}{frac {1}{e^{ hbar c/(yk_{mathrm {B} }T)}-1}}}

波数ν̃B ν ～( ν
～ T) = 2 h 2 ν
～3 e h c ν ～ /( kB T ) 1 { B_{tilde {nu }}({tilde {nu }}，T)=2hc^{2}{tilde {nu }}^{3}{frac {1}{e ^{hc{チルダ {nu }}/(k_{mathrm {B} }T)}-1}}}

角波数kB k( k T) = ℏ c 2 k3 4
π3 1e ℏ c k /( kB T ) 1 { B_{k}(k，T)={frac {hbar c^{2}k^{3}}{4pi ^{3}}}{frac {1}{e^{ hbar ck/(k_{mathrm {B} }T)}-1}}}

これらの分布は、黒体の分光放射輝度、つまり発光面の単位投影面積あたり、単位立体角あたり、スペクトル単位（周波数、波長、波数、またはそれらの角度に相当するもの）あたり、発光面から放射されるパワーを表します。放射輝度は等方性（つまり、方向に依存しない）であるため、法線に対してある角度で放出されるパワーは投影面積に比例し、したがってランバートの余弦則に従ってその角度の余弦に比例し、偏光されません。

スペクトル変数形式間の対応関係
スペクトル変数が異なれば、対応する法則の表現形式も異なります。一般に、ある変数を別の変数に置き換えるだけでは、プランクの法則のさまざまな形式間で変換することはできません。これは、異なる形式の単位が異なることが考慮されていないためです。波長と周波数の単位は逆数です。
対応する表現形式は、同一の物理的事実を表現するため関連しています。つまり、特定の物理スペクトル増分に対して、対応する特定の物理エネルギー増分が放射されます。
これは、周波数の増分d νで表されても、それに応じて波長d λで表されても同様です。マイナス記号を導入すると、周波数の増加が波長の減少に対応することを示すことができます。同じ量を同じ単位で表すように対応する形式を変換するには、スペクトル増分を掛けます。次に、特定のスペクトル増分について、特定の物理エネルギー増分を書き込むことができます。B λ( λ T) d λ = − B ν ( ν ( λ
) T) d
ν{ B_{lambda }(lambda ，T)，dlambda =-B_{nu }(nu (lambda )，T)，dnu ，}

それはにつながります
B λ ( λ T) = − d ν d λ B ν( ν( λ ) T ){ B_{lambda }(lambda ，T)=-{frac {dnu }{dlambda }}B_{nu }(nu (lambda )，T).}

また、ν ( λ ) =c/λ、となることによって
ディν/dλ= −
c/λ2 _。置換により、周波数と波長の形式が、異なる次元と単位で対応することがわかります。したがって、 B λ( T) B ν ( T) = c λ 2 = ν 2
c{ {frac {B_{lambda }(T)}{B_{nu }(T)}}={frac {c}{lambda ^{2}}}={frac {nu ^{2}}{c}}.}

明らかに、プランクの法則のスペクトル分布のピークの位置は、スペクトル変数の選択に依存します。それにもかかわらず、ある意味、この式は、ウィーンの変位則に従って、スペクトル分布の形状が温度に依存しないことを意味します。これについては、「プロパティ」セクションのサブセクション「パーセンタイル」で詳しく説明します。

スペクトルエネルギー密度形式
プランクの法則は、 Bに次の値を乗算することにより、スペクトルエネルギー密度( u )に関して記述することもできます。
4π/c:
あなた I ( T) = 4 π cB I ( T
){ u_{i}(T)={frac {4pi }{c}}B_{i}(T).}

これらの分布には、スペクトル単位ごとの体積あたりのエネルギーの単位が

第 1 および第 2 の放射定数
プランクの法則の上記の変形では、波長と波数の変形では2 hc 2および2 hc 2という用語が使用されます。
HC/kB _物理定数のみで構成されます。したがって、これらの項は物理定数そのものと考えることができ、したがって、第 1 放射定数 c 1 Lおよび第 2 放射定数 c 2と呼ばれます。
c 1 L = 2 hc 2 と c 2 =
HC/kB _。
放射定数を使用すると、プランクの法則の波長変化は次のように単純化できます。 L ( λ T) = c 1 L
λ5 1
経験値( c2 λ T ) − 1
{ L(lambda ，T)={frac {c_{1L}}{lambda ^{5}}}{frac {1}{exp left({frac {c_{2}} {lambda T}}right)-1}}}

それに応じて波数変数も単純化できます。
L は分光放射輝度の SI 記号であるため、ここではBの代わりに L が使用されています。c 1 LのLはそれを指します。この参照が必要なのは、プランクの法則を再公式化して、分光放射輝度L ( λ ， T )ではなく分光放射発散度M ( λ ， T )を与えることができるためです。この場合、 c 1 はc 1 Lを次のように置き換えます
c 1 = 2π hc 2、
したがって、分光放射発散度に関するプランクの法則は次のように書くことができます。 M ( λ T) = c 1
λ5 1
経験値( c2 λ T ) − 1
{ M(lambda ，T)={frac {c_{1}}{lambda ^{5}}}{frac {1}{exp left({frac {c_{2}} {lambda T}}right)-1}}}

測定技術が向上するにつれて、度量衡総会はc 2の推定値を修正しました。詳細については、プランク軌跡 § 国際温度スケールを参照して

物理

高エネルギー発振器のフリーズアウト
プランクの法則は、物質やエネルギーの正味の流れがないときの、熱力学的平衡における電磁放射の独特で特徴的なスペクトル分布を説明します。その物理学は、硬くて不透明な壁を持つ空洞内の放射線を考えると最も簡単に理解できます。壁の動きは放射線に影響を与える可能性が壁が不透明でない場合、熱力学的平衡は孤立しません。熱力学的平衡がどのようにして達成されるかを説明することは興味深い。主なケースは 2 つあります: (a) 熱力学的平衡へのアプローチが物質の存在下で行われる場合、空洞の壁がすべての波長に対して不完全な反射を示す場合、または空洞に小さな黒体が含まれているときに壁が完全に反射する場合 (これはプランクが検討した主なケースでした）。または (b) 物質が存在しない状態で平衡に近づくとき、つまり壁がすべての波長に対して完全に反射し、キャビティに物質が含まれていないとき。このような空洞に囲まれていない物質の場合、熱放射はプランクの法則を適切に使用することで近似的に説明できます。
古典物理学は、等分配定理を介して、黒体放射の総強度が無限であるという予測である紫外線災害を導きました。何らかの理由で放射が有限であるという古典的に正当化できない仮定によって補足される場合、古典的熱力学は、ステファン・ボルツマンの法則やウィーン変位の法則など、プランク分布のいくつかの側面の説明を提供します。物質が存在する場合については、以下の「アインシュタイン係数」という見出しのセクションにあるように、量子力学が適切な説明を提供します。これはアインシュタインによって検討されたケースであり、現在では量子光学に使用されています。物質が存在しない場合には、粒子数が固定された非相対論的量子力学では十分な説明が得られないため、場の量子理論が必要となります。

フォトン
プランクの法則の量子理論的説明では、放射線を、熱力学的平衡状態にある質量のない、荷電していないボソン粒子、つまり光子の気体と見なします。光子は、荷電した素粒子間の電磁相互作用のキャリアと見なされます。光子数は保存されません。光子は、プランク分布でキャビティを満たすために、適切な数と適切なエネルギーで生成または消滅されます。熱力学的平衡にある光子ガスの場合、内部エネルギー密度は完全に温度によって決まります。さらに、圧力は完全に内部エネルギー密度によって決まります。これは、内部エネルギーが温度だけでなく、異なる分子のそれぞれの数によっても独立して決定され、また、再び独立して、異なる分子の固有の特性によっても独立して決定される、材料ガスの熱力学的平衡の場合とは異なります。分子。所定の温度で異なる材料ガスの場合、圧力と内部エネルギー密度は独立して変化します。これは、異なる分子が独立して異なる励起エネルギーを運ぶことができるためです。
プランクの法則は、熱力学的平衡における非相互作用ボーソンを記述するエネルギー分布であるボース・アインシュタイン分布の極限として生じます。光子やグルーオンなどの質量のないボソンの場合、化学ポテンシャルはゼロであり、ボース・アインシュタイン分布はプランク分布に減少します。もう 1 つの基本的な平衡エネルギー分布がそれは、熱平衡にある電子などのフェルミ粒子を記述するフェルミ・ディラック分布です。複数のボソンは同じ量子状態を占有することができるが、複数のフェルミオンは占有することができないため、2 つの分布は異なります。低密度では、粒子ごとに利用可能な量子状態の数が多くなり、この違いは無関係になります。低密度限界では、ボーズ・アインシュタイン分布とフェルミ・ディラック分布はそれぞれマクスウェル・ボルツマン分布に還元されます。

キルヒホッフの熱放射の法則
詳細は「キルヒホッフの熱放射の法則」を参照
キルヒホッフの熱放射の法則は、複雑な物理的状況を簡潔に説明したものです。以下はその状況の導入スケッチであり、厳密な物理的議論からは程遠いものです。ここでの目的は、状況における主な物理的要因と主な結論を要約することだけです。

熱放射のスペクトル依存性
伝導熱伝達と放射熱伝達には違いが放射熱伝達をフィルタリングして、放射周波数の明確な帯域のみを通過させることができます。
一般に、物体が熱くなると、あらゆる周波数でより多くの熱が放射されることが知られています。
どの周波数でも完全に反射しない硬い壁を持つ不透明な本体の空洞では、熱力学的平衡状態では温度が 1 つだけ存在し、その温度はすべての周波数の放射によって共有されなければなりません。
それぞれが独立した放射および熱力学的平衡状態にある 2 つのそのような空洞を想像するかもしれません。放射周波数の明確な帯域のみを通過させるようにフィルタリングされ、2 つのキャビティ間の放射熱伝達を可能にする光学デバイスを想像するかもしれません。空洞内の放射線の分光放射輝度の値がその周波数帯域で異なる場合、熱は高温側から低温側へ通過すると予想されます。このような帯域内でフィルタリングされた熱の伝達を使用して、熱エンジンを駆動することを提案する人もいるかもしれません。2 つの物体が同じ温度にある場合、熱力学の第 2 法則により、熱機関は機能しません。2 つの物体に共通の温度の場合、通過帯域内のスペクトル放射輝度の値も共通でなければならないと推測できます。これはすべての周波数帯域に当てはまります。このことはバルフォア・スチュワート、そして後にキルヒホッフに明らかになった。Balfour Stewart は、さまざまなフィルターで判断したすべての表面のうち、ランプブラックの 1 つがあらゆる放射の質において最大量の熱放射を放出することを実験的に発見しました。
キルヒホッフは理論的に考えて、もう少し進んで、熱力学的平衡にあるそのような空洞の放射周波数の関数としてのスペクトル放射が温度の一意の普遍関数であるに違いないことを示唆していると指摘しました。彼は、そこに降り注ぐすべての放射線を吸収するような方法で周囲と結合する理想的な黒体を仮定しました。ヘルムホルツの相反則により、そのような物体の内部からの放射線は、界面で反射することなく直接周囲に妨げられることなく通過します。熱力学的平衡では、そのような物体から放出される熱放射は、温度の関数として独特の普遍的なスペクトル放射を持ちます。この洞察は、キルヒホッフの熱放射の法則の根源です。

吸収率と放射率の関係
温度T XでXとラベル付けされた小さな均質な球状の物質体が、温度T YでYとラベル付けされた材料の壁を備えた大きな空洞内の放射場に置かれていると想像できます。物体X はそれ自身の熱放射を放出します。特定の周波数νで、ある意味ではXの中心を通って特定の断面からその断面に垂直な方向に放射される放射線は、 Xの材料に特有のI ν ， X ( TX )で表すことができます。。その周波数νで、壁からその断面へのその方向とは反対の方向の放射パワーは、壁温度T Yに対してI ν ， Y ( T Y )で表される場合がXの材料について、吸収率α ν ， X ， Y ( T X ， T Y )をXによって吸収される入射放射線の割合として定義すると、その入射エネルギーはα ν ， X ， Y ( T X )の速度で吸収されます。、T Y ) I ν、Y ( T Y )。
ある意味での身体の断面へのエネルギーの蓄積率q ( ν ， T X ， T Y )は次のように表すことができます。 q ( ν TX TY ) = α
ν X Y( TX TY ) I
ν Y( TY ) − I
ν X ( TX ){ q(nu ，T_{X}，T_{Y})=alpha _{nu ，X，Y}(T_{X}，T_{Y})I_{nu ，Y}(T_ {Y})-I_{nu ，X}(T_{X}).}

先ほど述べたキルヒホッフの独創的な洞察は、温度Tでの熱力学的平衡において、今日ではB ν ( T )で示される独特の普遍的な放射分布が存在し、材料XおよびYの化学的特性とは無関係であるというものでした。以下に示すように、あらゆる物体の放射交換平衡についての非常に貴重な理解が得られます。
温度Tで熱力学的平衡が存在する場合、壁からの空洞放射は固有の普遍値を持ち、I ν ， Y ( T Y ) = B ν ( T )となります。さらに、物体Xの材料の放射率ε ν ， X ( TX )を、温度T X = Tでの熱力学的平衡においてI ν ， X ( TX ) = I ν ， Xとなるように定義することもできます。 ( T ) = ε ν、X ( T ) B ν ( T )。
温度T = TX = T Yで熱平衡が優勢になると、エネルギーの蓄積速度は消失し、q ( ν ， TX ， T Y ) = 0 になります。したがって、熱力学的平衡では、T = TX = T Yの場合、0 = α
ν X Y( T T) B ν( T) − ϵ
ν X( T) B ν ( T ){ 0=alpha _{nu ，X，Y}(T，T)B_{nu }(T)-epsilon _{nu ，X}(T)B_{nu }(T) 。}

キルヒホッフは、熱力学的平衡において、T = TX = T Yのとき、次のことが起こると指摘しました。 α ν X Y( T T) = ϵ
ν X ( T ){ alpha _{nu ，X，Y}(T，T)=epsilon _{nu ，X}(T).}

温度Tでの熱力学的平衡における材料Xの吸収率に特別な表記α ν ， X ( T )を導入すると (以下に示すように、アインシュタインの発見によって正当化されます)、さらに次の等式が成り立ちます。 α ν X( T) = ϵ
ν X( T ) { alpha _{nu ，X}(T)=epsilon _{nu ，X}(T)}

熱力学的平衡状態にある。
ここで実証された吸収率と放射率の等しいことは、温度Tでの熱力学的平衡に特有のものであり、熱力学的平衡の条件が成立しない場合には一般に成立すると期待されません。放射率と吸収率はそれぞれ材料分子の個別の特性ですが、アインシュタインによって発見された「誘導放出」として知られる現象により、その時々の分子励起状態の分布によって異なります。材料が熱力学的平衡または局所熱力学的平衡として知られる状態にある場合、放射率と吸収率は等しくなります。非常に強い入射放射線またはその他の要因により、熱力学的平衡または局所的な熱力学的平衡が破壊される可能性が気体中の局所的な熱力学的平衡は、分子の励起状態の分布を決定する際に、分子の衝突が発光と吸収をはるかに上回ることを意味します。
キルヒホッフは、 B ν ( T )の正確な性質は知らないが、それを明らかにすることが重要であると考えたと指摘しました。キルヒホッフがその存在と性質の一般原理を洞察してから 40 年後、プランクの貢献は、その平衡分布B ν ( T )の正確な数学的表現を決定することでした。

ブラックボディ
詳細は「ブラックボディ」を参照
物理学では、理想的な黒体 (ここではBとラベル付け) を考慮します。これは、あらゆる周波数νでそれに当たるすべての電磁放射を完全に吸収するものとして定義されます(したがって、「黒」という用語が使用されます)。キルヒホッフの熱放射の法則によれば、これは、温度Tでの熱力学的平衡において、あらゆる周波数νに対してα ν、B ( T ) = ε ν、B ( T ) = 1を有することを意味します。黒体は常にプランクの法則で指定された量の全額に等しくなります。物理体は黒体の熱放射を超える熱放射を放出することはできません。これは、物理体が放射場と平衡にある場合、入射したエネルギーよりも多くのエネルギーを放出するためです。
完全に黒いマテリアルは存在しませんが、実際には黒い表面を正確に近似することができます。物質の内部に関しては、周囲との明確な界面を持つ凝縮物質、液体、固体、またはプラズマの物体は、完全に不透明な場合、放射線に対して完全に黒になります。つまり、身体と周囲の界面を透過して体内に侵入する放射線をすべて吸収することになります。これを実際に達成するのはそれほど難しいことではありません。一方、完全に黒い界面は自然界には存在しません。完全に黒いインターフェースは放射線を反射しませんが、どちらの側からでもそこに当たるすべてのものを透過します。効果的に黒色のインターフェースを作成するための最も実際的な方法は、どの周波数でも完全に反射しない完全に不透明な剛体材料の大きな空洞の壁にある小さな穴によって「インターフェース」をシミュレートし、その壁をある角度でシミュレートすることです。管理された温度。これらの要件を除けば、壁の構成材料には制限がありません。穴に入った放射線は、壁との複数回の衝撃によって吸収されずに空洞から逃げる可能性はほとんどありません。

ランバートの余弦法則
詳細は「ランバートの余弦法則」を参照
Planck によって説明されているように、放射体は物質からなる内部と、通常、物体の表面からの放射が観察される媒体である隣接する隣接する物質媒体との界面を持っています。界面は物理的な物質で構成されているのではなく、理論上の概念、数学的な 2 次元表面、2 つの隣接する媒体の共同特性であり、厳密に言えば、どちらにも別々に属しません。このような界面は物理的な物質で構成されていないため、吸収も放出もできません。しかし、それは光学特性の不連続面であるため、放射線の反射と透過の場所になります。界面での放射線の反射と透過は、ストークス・ヘルムホルツの相反則に従います。
温度Tで熱力学的平衡にある空洞内に位置する黒体の内部のどの点でも、放射線は均一で等方性で偏光し黒体は、入射する電磁放射線をすべて吸収し、反射しません。ヘルムホルツの相反則によれば、黒体の内部からの放射は、その表面では反射されず、その外部に完全に伝達されます。体内の放射線は等方性であるため、体内から表面を通って外部に伝わる放射線の分光放射輝度は方向に依存しません。
これは、熱力学的平衡にある黒体の表面からの放射はランバートの余弦法則に従うということで表現されます。これは、黒体の実際の発光面の面積dAの特定の微小要素からのスペクトル束d Φ( dA ， θ ， d Ω， dν )を、特定の方向から検出したものであることを意味します。 dAにおける実際の放射面の法線との角度θ を、周波数帯域幅dνの要素で、 θで示される方向を中心とする検出立体角d Ωの要素に変換すると、次のように表すことができますd Φ ( d あ θ d
Ω dν ) d Ω = L 0 ( d あ dν ) d あ d ν
コス θ { {frac {dPhi (dA，theta ，dOmega ，dnu )}{dOmega }}=L^{0}(dA，dnu )，dA，d nu ，cos θ }

ここで、L 0 ( dA ， dν )は、単位面積当たり、単位周波数当たり、単位立体角当たりの磁束を表します。その面積dA は、法線方向θ = 0で測定した場合に示されます。
係数cos θが存在するのは、分光放射輝度が直接参照する領域が、実際の発光表面積のθで示される方向に垂直な平面への投影であるためです。これが余弦則という名前の理由です。
熱力学的平衡における黒体の表面からの放射の分光放射の方向の独立性を考慮すると、L 0 ( dA ， dν ) = B ν ( T )となります。d Φ ( d あ θ d
Ω dν ) d Ω = B ν( T) d あ d ν
コス
θ{ {frac {dPhi (dA，theta ，dOmega ，dnu )}{dOmega }}=B_{nu }(T)，dA，dnu ， cos theta .}

したがって、ランバートの余弦則は、熱力学的平衡における黒体の表面の分光放射輝度B ν ( T )の方向の独立性を表します。

ステファン・ボルツマンの法則
詳細は「ステファン・ボルツマンの法則」を参照
黒体の表面で単位面積当たり放射される総パワー ( P ) は、すべての周波数にわたって、および表面上の半球 ( h ) に対応する立体角にわたって、ランバートの法則から求められる黒体のスペクトル束を積分することによって求められます。。P =
∫0 d ν ∫ h d Ω
B ν コス( θ ) { P=int _{0}^{infty }dnu int _{h}dオメガ，B_{nu }cos(theta )}

微小立体角は球面極座標で表すことができます。d Ω =
sin ( θ) d θ d
ϕ{ dOmega =sin(theta )，dtheta ，dphi .}

となることによって：P =
∫0 d ν ∫ 0 π 2 d θ
∫0 π d ϕ
B ν ( T ) コス( θ ) sin ( θ) = σ T 4
{ P=int _{0}^{infty }dnu int _{0}^{tfrac {pi }{2}}dtheta int _{0}^{2 pi }dphi ，B_{nu }(T)cos(theta )sin(theta )=sigma T^{4}}

どこσ = 2 k B 4
π 15 c 2 h 3≈ 5.670400 × 10 − 8 J s − ≈0
メートル− 2 K − 4
{ sigma ={frac {2k_{mathrm {B} }^{4}pi ^{5}}{15c^{2}h^{3}}}約 5.670400times 10^{ -8}，mathrm {J，s^{-1}m^{-2}K^{-4}} }

はステファン・ボルツマン定数として知られています。

放射伝達
詳細は「放射伝達」を参照
放射伝達の方程式は、放射が物質媒体を通過する際にどのような影響を受けるかを説明します。物質媒体が媒体内の点の近傍で熱力学的平衡にあるという特殊な場合には、プランクの法則が特に重要です。
簡単にするために、散乱のない線形定常状態を考えることができます。放射伝達の方程式は、短い距離d sを通過する光ビームの場合、エネルギーは保存されると述べています。そのビームの(スペクトル)放射輝度の変化( I ν ) は、材料媒体によって除去される量に次の値を加えたものに等しいです。物質媒体から得られる量。放射線場が物質媒体と平衡にある場合、これら 2 つの寄与は等しくなります。材料媒体は特定の放出係数と吸収係数を持ちます。
吸収係数α は、光線が距離d sを移動するときの光線の強度の部分的な変化であり、長さの単位は-1です。吸収による減少と誘導放出による増加の2つの部分から構成されます。誘導放出は、入射放射線によって引き起こされ、入射放射線に比例する物質体による放出です。吸収と同様、入射放射線の強度に比例するため、吸収項に含まれます。吸収量は一般に材料の密度ρに応じて直線的に変化するため、「質量吸収係数」 κ ν =
を定義できます。α/ρそれは素材自体の特性です。光線が短い距離d sを通過するときの吸収による光線の強度の変化は次のようになりますd I ν = − κ ν ρ I d0 d1 d2
{ dI_{nu }=-kappa _{nu }rho I_{nu }，ds}

「質量放出係数」j νは、小さな体積要素の単位体積あたりの放射輝度をその質量で割ったものに等しく (質量吸収係数に関しては、放出は放出質量に比例するため)、電力の単位を持ちます。立体角−1 ⋅周波数−1 ⋅密度−1。質量吸収係数と同様、これも材料自体の特性です。光線が短い距離d sを通過するときの変化は次のようになりますd I ν = j ν ρ d s
{ dI_{nu }=j_{nu }rho ，ds}

放射伝達の方程式は、これら 2 つの寄与の合計になります: d I
νd s = j ν ρ − κ ν d0 d1
ν{ {frac {dI_{nu }}{ds}}=j_{nu }rho -kappa _{nu }rho I_{nu }.}

放射線場が物質媒体と平衡にある場合、放射線は均一になり (位置に依存せず)、dI ν = 0となり、次のようになります。κ ν B ν = j ν
{ kappa _{nu }B_{nu }=j_{nu }}

これはキルヒホッフの法則のもう 1 つのステートメントであり、媒体の 2 つの材料特性を関連付けており、媒体が熱力学的平衡にある点での放射伝達方程式を導き出します。
d I νd s = κ ν ρ( Bν − I ν
){ {frac {dI_{nu }}{ds}}=kappa _{nu }rho (B_{nu }-I_{nu }).}

アインシュタイン係数
詳細は「原子スペクトル線」を参照
詳細平衡の原理では、熱力学的平衡において、各要素過程はその逆過程によって平衡化されると述べています。
1916 年、アルバートアインシュタインは、この原理を 2 つの特定のエネルギーレベル間の遷移による原子の放射と吸収の場合に原子レベルで適用し、この種の放射伝達の方程式とキルヒホッフの法則についてのより深い洞察を与えました。放射線の。レベル 1 がエネルギーE 1を持つ下位エネルギーレベルであり、レベル 2 がエネルギーE 2を持つ上位エネルギーレベルである場合、放射または吸収される放射線の周波数νは、ボーアの周波数条件によって決定されます。 E 2 − E 1 = h
ν{ E_{2}-E_{1}=hnu .}

n 1とn 2がそれぞれ状態 1 と状態 2 の原子の数密度である場合、これらの密度の時間変化率は 3 つのプロセスによるものになります。
自然放出 d n 1 d t ) s p
ああn = あ 21 n 2
{ left({frac {dn_{1}}{dt}}right)_{mathrm {spon} }=A_{21}n_{2}}

誘導放出 d n 1 d t ) s t I
メートル= B 21 n 2
あなた ν { left({frac {dn_{1}}{dt}}right)_{mathrm {stim} }=B_{21}n_{2}u_{nu }}

光吸収 d n 2 d t )
あるb s = B 12 n 1
あなた ν { left({frac {dn_{2}}{dt}}right)_{mathrm {abs} }=B_{12}n_{1}u_{nu }}

ここで、u ν は放射線場のスペクトルエネルギー密度です。アインシュタイン係数として知られる3 つのパラメータA 21、B 21、B 12は、 2 つのエネルギーレベル (状態) 間の遷移によって生成される光子の周波数νに関連付けられています。その結果、スペクトル内の各ラインには、関連する係数の独自のセットが含まれます。原子と放射場が平衡状態にあるとき、放射輝度はプランクの法則によって与えられ、詳細バランスの原理により、これらの比率の合計はゼロになる必要が0 = あ 21 n 2 + B 21 00 01
cB ν( T) − B 12 n1 4 π
cB ν( T ) { 0=A_{21}n_{2}+B_{21}n_{2}{frac {4pi }{c}}B_{nu }(T)-B_{12}n_{1 }{frac {4pi }{c}}B_{nu }(T)}

原子も平衡状態にあるため、2 つの準位の個体数はボルツマン因子によって関連付けられます。n 2 n 1 = g 2 g 1 n0 n1 n2 n3/ k B T
{ {frac {n_{2}}{n_{1}}}={frac {g_{2}}{g_{1}}}e^{-hnu /k_{mathrm {B } }T}}

ここで、g 1とg 2 はそれぞれのエネルギー準位の多重度です。上の 2 つの方程式を、どの温度でも有効であるという要件と組み合わせると、アインシュタイン係数間に 2 つの関係が得られます。 21B 21 = 8 π h ν 3c 3 { {frac {A_{21}}{B_{21}}}={frac {8pi hnu ^{3}}{c^{3}}}}
B 21 B 12 = g 1 g 2
{ {frac {B_{21}}{B_{12}}}={frac {g_{1}}{g_{2}}}}

したがって、1 つの係数を知ることで他の 2 つの係数が得られます。等方性の吸収と放射の場合、上記の放射伝達セクションで定義された放射係数 ( j ν ) と吸収係数 ( κ ν ) は、アインシュタイン係数で表すことができます。アインシュタイン係数間の関係により、上記の
放射伝達セクションで表現されたキルヒホッフの法則の式が得られます。j ν = κ ν B
ν{ j_{nu }=kappa _{nu }B_{nu }.}

これらの係数は原子と分子の両方に適用されます。
プロパティ編集

ピークス
詳細は「ウィーンの強制退去法」を参照
分布B ν、B ω、B ν̃およびB k は、の光子エネルギーでピークに達します。E =
[ 3+ W( −3 − 3 )
】k B T ≈ 2.821 k B
T{ E=left[3+Wleft(-3e^{-3}right)right]k_{mathrm {B} }T約 2.821 k_{mathrm {B} }T， }

ここで、Wはランベルト W 関数、eはオイラー数です。
ただし、分布B λ は異なるエネルギーでピークに達しますE =
[ 5+ W( −5 − 5 )
】k B T ≈ 4.965 k B
T{ E=left[5+Wleft(-5e^{-5}right)right]k_{mathrm {B} }T約 4.965 k_{mathrm {B} }T， }

その理由は、上で述べたように、単にνをλに置き換えるだけでは、(たとえば) B νからB λに移行することはできないためです。さらに、次の値も乗算する必要が| d ν / d λ
|= c / λ 2
{textstyle left|{dnu }/{dlambda }right|=c/{lambda ^{2}}}

、分布のピークがより高いエネルギーにシフトします。これらのピークは、それぞれ同じサイズの周波数または波長のビンを使用してビン化された場合の、光子のモードエネルギーです。hcの除算(これらのエネルギー表現により、 14 387 .770 μm・K ) がピークの波長を与えます。
これらのピークにおける分光放射輝度は次の式で与えられます。 B ν 最大( T) = 2 k B 3 T X
3 h 2c 1 e
X− 1 ≈ 1.896 × 10 − 19 W
メートル
2⋅ H z ⋅ s r ×( T/ K ) 3
{ {begin{aligned}B_{nu ，{text{max}}}(T)&={frac {2k_{mathrm {B} }^{3}T^{3}x^ {3}}{h^{2}c^{2}}}{frac {1}{e^{x}-1}}\&約 1.896times 10^{-19}{frac {mathrm {W} }{mathrm {m^{2}cdot Hzcdot sr} }}times (T/mathrm {K} )^{3}\end{aligned}}}
とX = 3 + W( −3 e −
3) { x=3+W(-3e^{-3})，}
と B
λ 最大 ( T ) 2k B 5 T
5X5 4c3 1 eX 1 ≈ 4.096 × 0
−6
メートル2 sr × ( T /) 5
{ {begin{aligned}B_{lambda ，{text{max}}}(T)&={frac {2k_{mathrm {B} }^{5}T^{5}x^ {5}}{h^{4}c^{3}}}{frac {1}{e^{x}-1}}\&約 4.096times 10^{-6}{frac {text{W}}{{text{m}}^{2}cdot {text{sr}}}times ~(T/{text{K}})^{5}end {整列}}}
とX = 5 + W( −5 e − 5
){ x=5+W(-5e^{-5}).}

一方、黒体からの光子の平均エネルギーは、E =
[ π 30 ζ ( 3) 】 k B T ≈ 2.701 k B
T{ E=left[{frac {pi ^{4}}{30 zeta (3)}}right]k_{mathrm {B} }T約 2.701 k_{mathrm { B} }T、}

どこ ζ { zeta }

はリーマンのゼータ関数です。

近似値

温度8 mK の黒体の、レイリージーンズの法則(赤) およびウィーン近似(青)と比較した、プランクの法則 (緑) の放射輝度対周波数の両対数プロット。
レイリー・ジーンズの法則を統合することが提案されています。（協議）2023年3月以降に提案。
低周波数 (つまり長波長) の限界では、プランクの法則はレイリー・ジーンズの法則になります B ν( T) ≈ 2 ν
2c 2 k B T
{ B_{nu }(T)おおよそ {frac {2nu ^{2}}{c^{2}}}k_{mathrm {B} }T}

またB λ( T) ≈ 2 c λ 4 k B T
{ B_{lambda }(T)about {frac {2c}{lambda ^{4}}}k_{mathrm {B} }T}

放射輝度は周波数の 2 乗に応じて増加し、紫外線の大惨事を示しています。高周波数 (つまり、小さな波長) の限界では、プランクの法則はウィーン近似に向かう傾向があります: B ν( T) ≈ 2 h ν
3c 2 e − h ν k B T
{ B_{nu }(T)about {frac {2hnu ^{3}}{c^{2}}}e^{-{frac {hnu }{k_{mathrm {B} }T}}}}

また
B λ ( T) ≈ 2 h c
2λ 5 e − h c
λk B
T{ B_{lambda }(T)about {frac {2hc^{2}}{lambda ^{5}}}e^{-{frac {hc}{lambda k_{mathrm { B} }T}}}.}

パーセンタイル
パーセンタイル
λ T (μm・K)
λ k B T / hc
0.01%910 0.0632
0.1%1110 0.0771 1% 1448年 0.1006 10% 2195 0.1526 20% 11100 11101
25.0%2898 0.2014 30% 3119 0.2168 40% 3582 0.2490
41.8%3670 0.2551 50% 4107 0.2855 60% 4745 0.3298
64.6%5099 0.3544 70% 5590 0.3885 80% 6864 0.4771 90% 50990 50991 50992 50993 1.5905 99.9%51613 3.5873
99.99%113374 7.8799
より強力な形式のウィーンの変位の法則は、プランクの法則の形状が温度に依存しないことを示しています。したがって、温度Tで割ったときに波長λが得られる形式で、総放射のパーセンタイル点と波長と周波数のピークをリストすることができます。次の表の 2 番目の列には、対応するλTの値、つまり波長λ が次のとおりであるxの値がリストされています。X/T 最初の列の対応するエントリによって指定される放射輝度パーセンタイル点でのマイクロメートル。
つまり、放射線の 0.01% は以下の波長に
910/T μm、20%以下
2676/T波長と周波数のピークは太字で、それぞれ 25.0% と 64.6% で発生します。41.8% ポイントは、波長-周波数-ニュートラルピーク (つまり、波長または周波数の対数の単位変化当たりのパワーのピーク) です。これらは、それぞれのプランク則が機能する点です。
1/λ5 _、ν 3および
ν2 _/λ2 _、それぞれexp ( うーん/kBT _ _) − 1 が最大値に達します。波長比の差が 99.9% ～ 99.99% (113374 は 51613 より 120% 大きい) よりも 0.1% から 0.01% (1110 は 910 より 22% 大きい) の間ではるかに小さく、短波長でのエネルギーの指数関数的減衰を反映しています (左)終わり）そして長い間多項式が減衰します。
どのピークを使用するかはアプリケーションによって異なります。従来の選択は、弱い形式のウィーンの変位則によって与えられる 25.0% の波長ピークです。目的によっては、総放射線量を 2 等分する中央値または 50% 点の方が適切な場合が後者は、放射輝度が短波長では指数関数的に低下し、長波長では多項式にのみ低下するため、波長ピークよりも周波数ピークに近くなります。同じ理由で、中性ピークは中央値よりも短い波長で発生します。

5775 Kの黒体と比較した太陽スペクトル
パーセンタイル
太陽λ (μm)
5778Kで黒体
288 K 惑星λ (μm)
0.01%0.203 0.157 3.16
0.1%0.235 0.192 3.85 1% 0.296 0.251 5.03 10% 0.415 0.2350 0.2351 0.2352 0.23530.463 9.29
25.0%0.520 0.502 10.1 30% 0.556 .540 10.8
41.8%0.650 0.635 12.7 50% 0.727 0.711 14.3 60% 0.844 0.6500 0.6501
64.6%0.911 0.882 17.7 70% 1.003 0.967 19.4 80% 1.242 0.9110 0.9111 0.9112 0.91131.623 32.6 99% 3.728 3.961 79.5
99.9%8.208 8.933 179
99.99%17.548 19.620
394

太陽スペクトルとの比較
太陽放射は、約 5778 K の黒体放射と比較できます (ただし、グラフを参照)。右側の表は、この温度での黒体の放射がどのように分割されるか、また比較のために太陽光がどのように分割されるかを示しています。また、比較のために、地球の非常に変動する温度の代表値として公称 288 K (15 °C) で放射する、黒体としてモデル化された惑星が示されています。その波長は太陽の 20 倍以上で、3 列目にマイクロメートル (数千ナノメートル) 単位で表されています。
つまり、太陽の放射のうち 296 nm より短い波長は 1% だけ、3728 nm より長い波長は 1% だけです。マイクロメートルで表すと、太陽の放射の 98% は 0.296 ～ 3.728 μm の範囲に288 K の惑星から放射されるエネルギーの対応する 98% は 5.03 ～ 79.5 μm であり、太陽放射の範囲をはるかに上回っています (周波数ν =
で表すとそれ以下です)。c/λ波長λの代わりに。
太陽放射と惑星放射の間の波長の桁違い以上の違いの結果、一方を通過させ、他方を遮断するように設計されたフィルターの構築が容易になります。たとえば、通常のガラスまたは透明なプラスチックで作られた窓は、波長 1.2 μm 以下の 5778 K の入射太陽放射の少なくとも 80% を通過させますが、5 μm 以上の波長から出射する 288 K の熱放射の 99% 以上を遮断します。この温度では、ほとんどの種類の建設グレードの厚さのガラスやプラスチックが事実上不透明になります。
太陽の放射は、大気の上部 (TOA) に到達する放射です。表からわかるように、400 nm 未満の放射線 (紫外線)は約 8% ですが、700 nm 以上の放射線 (赤外線) は約 48% 点から始まり、全体の 52% を占めます。したがって、人間の目に見えるのは TOA 日射量の 40% だけです。大気は紫外線の大部分とかなりの量の赤外線を吸収するため、これらの割合を可視光に有利にシフトさせます。

導出
参照:ボックス内のガスおよびフォトンガス
温度Tで熱平衡状態にある電磁放射で満たされた導電性の壁を持つ側面Lの立方体を考えてみましょう。壁の 1 つに小さな穴がある場合、その穴から放出される放射線は完全な黒体の特徴になります。まずキャビティ内のスペクトルエネルギー密度を計算し、次に放出された放射線のスペクトル放射輝度を決定します。
立方体の壁では、電場の平行成分と磁場の直交成分が消えるはずです。箱の中の粒子の波動関数と同様に、場は周期関数の重ね合わせであることがわかります。壁に直交する3 つの方向の 3 つの波長λ 1、λ 2、およびλ 3は次のようになります。λ I = 2 L n
私{ lambda _{i}={frac {2L}{n_{i}}}，}

ここで、n i は正の整数です。整数n iの各セットに対して、2 つの線形に独立した解 (モードと呼ばれる) が存在します。これらのn iの各セットの 2 つのモードは、スピン 1 を持つ光子の 2 つの偏光状態に対応します。量子論によれば、モードの合計エネルギーは次の式で与えられます。E n n n
3 r ) = ( r +1 2) h c 2 L n + n + )0 3 2 { E_{n_{1}，n_{2}，n_{3}}left(rright)=left(r+{frac {1}{2}}right){frac {hc {2L}}{sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}}.}
( 1 )
数値r は、モード内の光子の数として解釈できます。r = 0の場合、モードのエネルギーはゼロではありません。この電磁場の真空エネルギーがカシミール効果の原因となります。以下では、絶対温度 Tにおけるボックスの内部エネルギーを計算します。
統計力学によれば、特定のモードのエネルギーレベルにわたる平衡確率分布は次のように与えられます。P r = e − β E r ) P0( β
){ P_{r}={frac {e^{-beta Eleft(rright)}}{Zleft(beta right)}}.}

温度の逆数を使用する場合β = d e f 1 k B
T{ beta {stackrel {mathrm {def} }{=}} {frac {1}{k_{mathrm {B} }T}}.}

分母Z ( β )は、単一モードの分配関数です。これにより、P r が適切に正規化され、次のように評価できます。 Z ( β) = ∑ r=0 e − β E( r) = e − β
ε 2 1− e
− β ε{ Zleft(beta right)=sum _{r=0}^{infty }e^{-beta Eleft(rright)}={frac {e^{- beta varepsilon /2}}{1-e^{-beta varepsilon }}}，}
と ε= h c 2 L n + n + =0 3 2 { varepsilon ={frac {hc}{2L}}{sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}}.}
( 2 )
単一の光子のエネルギーです。モードの平均エネルギーは分配関数から取得できます。⟨ E ⟩ = − d
ログ( Z) d β = ε 2 + ε e
βε −
1{ leftlangle Erightrangle =-{frac {dlog left(Zright)}{dbeta }}={frac {varepsilon }{2}}+{ frac {varepsilon }{e^{beta varepsilon }-1}}.}

この式は、最初の真空エネルギー項を除けば、ボーズ・アインシュタイン統計に従う粒子の一般式の特殊なケースです。光子の総数に制限がないため、化学ポテンシャルはゼロです。
基底状態を基準にしてエネルギーを測定すると、ボックス内の総エネルギーは⟨ E ⟩ −
の合計によって求められます。ε/2許可されたすべての単一光子の状態にわたって。これは、 L が無限大に近づくときの熱力学的限界内で正確に行うことができます。この極限では、ε は連続となり、 ⟨ E ⟩ −
を積分できます。ε/2このパラメータを超えます。この方法でボックス内のエネルギーを計算するには、特定のエネルギー範囲内にフォトン状態がいくつあるかを評価する必要がεとε + dεの間のエネルギーを持つ単一光子状態の総数をg ( ε ) dεと書くと、g ( ε )は状態密度(以下で評価されます)であり、総エネルギーは次の式で与えられます。
U= ∫ 0 ∞ ε e β
ε 1 g ( ε) d
ε { U=int _{0}^{infty }{frac {varepsilon }{e^{beta varepsilon }-1}}g(varepsilon )，dvarepsilon .}
( 3 )
状態密度を計算するには、式 ( 2 ) を次のように書き換えます。ε = h c 2 L
n{ varepsilon {=} {frac {hc}{2L}}n，}

ここで、nはベクトルn = ( n 1 ， n 2 ， n 3 )のノルムです。
ゼロ以上の整数成分を持つすべてのベクトルnに対して、2 つの光子の状態が存在します。これは、 n空間の特定の領域内の光子状態の数が、その領域の体積の 2 倍であることを意味します。dεのエネルギー範囲は、厚さdn =
のシェルに対応します。2L _/HCn空間におけるd ε。nの成分は正である必要があるため、このシェルは球の八分円に広がります。したがって、エネルギー範囲dε内の光子状態の数g ( ε ) dε は次のように与えられます。 g ( ε) d ε=2 1 8 4π n 2 d n = 8 π L
3 h 3 c 3ε 2 d
ε{ g(varepsilon )，dvarepsilon =2{frac {1}{8}}4pi n^{2}，dn={frac {8pi L^{3}} {h^{3}c^{3}}}バレプシロン ^{2}，dバレプシロン .}

これを式に代入すると、( 3 ) を体積で割ると、V = L 3が総エネルギー密度を求めます。U V =
∫0
あなた ν ( T) d
ν{ {frac {U}{V}}=int _{0}^{infty }u_{nu }(T)，dnu ，}

ここで、周波数依存のスペクトルエネルギー密度u ν ( T )は次の式で与えられます。
あなた ν ( T) = 8 π h ν
3c3 1 e
hν / k B T −
1{ u_{nu }(T)={8pi hnu ^{3} over c^{3}}{1 over e^{hnu /k_{mathrm {B} } T}-1}.}

放射線は全方向に同じであり、光の速度で伝播するため、小さな穴から出る放射線の分光放射輝度は次のようになります。B ν( T) =
あなた ν ( T) c 4
π{ B_{nu }(T)={frac {u_{nu }(T)c}{4pi }}，}

これによりプランクの法則が得られますB ν( T) = 2 h ν
3c2 1 e
hν / k B T −
1{ B_{nu }(T)={frac {2hnu ^{3}}{c^{2}}}~{frac {1}{e^{hnu /k_{ mathrm {B} }T}-1}}.}

法則の他の形式は、総エネルギー積分の変数を変更することによって取得できます。上記の導出は、Brehm & Mullin 1989に基づいています。

歴史

バルフォア・スチュワート
1858 年、バルフォアスチュワートは、さまざまな物質の研磨されたプレートの熱放射放射および吸収力を、同じ温度でのランプブラックの表面のパワーと比較した実験について説明しました。スチュワートが参考としてランプブラックの表面を選んだのは、これまでのさまざまな実験結果、特にピエール・プレボとジョン・レスリーの結果によるものである。彼は、「ランプブラックは、そこに当たるすべての光線を吸収するため、可能な限り最大の吸収力を持ち、同時に最大の放射力も持つことになる。」と書いている。
スチュワート氏は、サーモパイルと高感度検流計を使用して放射電力を測定し、顕微鏡で読み取りました。彼は選択的熱放射に関心を持っており、すべての放射線の性質を最大限に利用するのではなく、さまざまな放射線の性質に対して選択的に放射および吸収する物質のプレートを用いて研究しました。彼は、反射および屈折する可能性があり、ヘルムホルツの相反則に従う光線の観点から実験について議論しました（ただし、彼はその名前を使用しませんでした）。彼はこの論文で、光線の性質が波長によって記述される可能性については言及しておらず、プリズムや回折格子などのスペクトル分解装置も使用し彼の仕事はこれらの制約の中で定量的でした。彼は室温環境で測定を行い、熱平衡に近い状態にある体を熱湯で加熱して準備した熱平衡に近い状態に素早く捉えた。彼の測定により、選択的に放出および吸収する物質は、熱平衡における放出と吸収の選択的等価性の原理が尊重されることが確認されました。
スチュワートは、これが熱放射の選択された品質ごとに個別に当てはまるはずであるという理論的証明を提供しましたが、彼の数学は厳密には有効ではありませんでした。歴史家 DM シーゲルによれば、「彼は 19 世紀の数理物理学のより洗練された技術の実践者ではありませんでした。スペクトル分布を扱う際に関数表記さえ利用しませんでした。」彼はこの論文で熱力学については言及していませんが、生体内保存については言及しています。彼は、自分の測定結果は、放射線が伝播する媒体の深さ全体にわたって物質の粒子によって吸収および放射されることを示唆していると提案した。彼はヘルムホルツの相反則を適用して、内部材料のプロセスとは異なる材料界面プロセスを説明しました。彼は、熱平衡にある筐体の内部では、反射と放出が組み合わされた放射熱が、その物質に関係なく、表面のどの部分にも残されるのと同じであることが実験で示されたと結論付けた。表面がランプブラックで構成されていた場合。彼は理想的には完全に反射する壁の可能性については言及しなかった。特に彼は、高度に磨かれた本物の物理的な金属はごくわずかに吸収することに注目しました。

グスタフ・キルヒホッフ
1859 年、グスタフロバートキルヒホッフはスチュワートの研究を知らずに、スペクトル分解された吸収線と可視光の放射の波長が一致していることを報告しました。熱物理学にとって重要なことは、エミッターとアブソーバーの間の温度差に応じて明るい線または暗い線が現れることも観察したことです。
次にキルヒホッフは、不透明な囲いまたは空洞内で、温度Tで平衡状態にある熱放射を放出および吸収する物体を考察しました。
ここではキルヒホッフとは異なる表記が使用されています。ここで、放射パワーE ( T ， i )は次元化された量、つまり温度Tでインデックスiでラベル付けされた物体から放射される総放射線を表します。その物体の総吸収率a ( T ， i )は無次元であり、温度Tにおけるキャビティ内の入射放射線に対する吸収放射線の比です。(バルフォア・スチュワートの定義とは対照的に、キルヒホッフの吸収率の定義では、入射放射線源としてのランプブラックの表面については特に言及していませんでした。) したがって、この比は
E ( T ， i )/a ( T ， i )a ( T ， i )は無次元であるため、放射パワーと吸収の比率は、放射パワーの次元を持つ次元付きの量です。ここでも、温度Tでの物体の波長固有の発光パワーはE ( λ ， T ， i )で示され、波長固有の吸収率はa ( λ ， T ， i )で示されます。もう一度言いますが、比率は
E ( λ ， T ， i )/a ( λ ， T ， i )放射パワー対吸収比は、放射パワーの次元を伴う次元化された量です。
1859 年に作成された 2 番目の報告書で、キルヒホッフは新しい一般原理または法則を発表し、理論的および数学的証明を提供しましたが、放射線出力の定量的測定は提供しませんでした。彼の理論的証明は、一部の作家によって無効であると考えられており、今でも無効であると考えられています。しかし、彼の原則は受け継がれています。それは、同じ波長の熱線の場合、特定の温度で平衡状態にあるとき、波長固有の放射パワーと吸収比の比は、まったく同じ共通の値を持つというものでした。その波長で放射および吸収するすべての物体に適用されます。記号では、法則では波長固有の比率が次のように規定されています。
E ( λ ， T ， i )/a ( λ ， T ， i )すべてのボディ、つまりインデックスiのすべての値に対して 1 つの同じ値を持ちます。この報告書では黒体についての言及はなかった。
1860 年、キルヒホッフは、選択された質の放射線に関するスチュワートの測定をまだ知らなかったが、選択されていない質の、平衡状態にある物体によって放出および吸収される総熱放射については、次元化された総放射率が実験的に確立されていることを指摘しました。
E ( T ， i )/a ( T ， i )、すべてのボディ、つまりマテリアルインデックスiのすべての値に共通の 1 つの同じ値を持ちます。キルヒホッフは、やはり放射力の測定やその他の新しい実験データを使わずに、波長固有の比の値の普遍性に関する彼の新しい原理の新鮮な理論的証明を提供しました。
E ( λ ， T ， i )/a ( λ ， T ， i )熱平衡状態にある。彼の新鮮な理論的証明は、一部の作家によって無効であると考えられていました。
しかし、より重要なことは、それが「完全に黒い物体」という新しい理論的公準に依存していることであり、それがキルヒホッフの法則について語られる理由です。このような黒体は、その無限に薄い最も表面の表面で完全な吸収を示しました。これらは、内部放射線を持ち、ランプブラックでコーティングされたバルフォア・スチュワートの基準体に相当します。これらは、後にプランクによって考慮された、より現実的な完全に黒い天体ではありませんでした。プランクの黒体は内部の物質によってのみ放射され、吸収されます。隣接する媒体との境界面は単なる数学的表面であり、吸収も放射もできず、屈折を伴う反射と透過のみが可能でした。
キルヒホッフの証明では、 i とラベル付けされた任意の非理想的な体と、BBとラベル付けされたさまざまな完全な黒体が考慮されました。物体は空洞内で温度T の熱平衡状態に保たれる必要がありました。彼の証明は、その比率が
E ( λ ， T ， i )/a ( λ ， T ， i )部分的に透明または部分的に反射していても、非理想的な体の性質とは独立していました。
彼の証明は最初に、波長λおよび温度Tで、熱平衡状態にある、同じサイズと形状のすべての完全な黒体は、放射パワーE ( λ ， T ， BB)の同じ共通値を持ち、次の寸法を持つと主張しました。力の。彼の証明は、完全な黒体の無次元の波長固有の吸収率a ( λ ， T ， BB)が定義上正確に 1 であることを指摘しました。したがって、完全な黒体の場合、吸収率に対する放射パワーの波長固有の比は次のようになります。
E ( λ、T、 BB)/a ( λ、T、 BB)もまた単なるE ( λ ， T ， BB)であり、べき乗の次元を持ちます。キルヒホッフは、続いて、任意の非理想的な物体と、温度Tで平衡状態にある彼の空洞内の所定の位置にある、同じサイズと形状の完全に黒い物体との熱平衡を考えました。彼は、熱放射の流れはどの場合でも同じでなければならないと主張しました。したがって彼は、熱平衡では比率は次のように主張した。
E ( λ ， T ， i )/a ( λ ， T ， i )はE ( λ ， T ， BB)に等しかったが、これはB λ ( λ ， T )と表すことができます。これは、固定温度Tでのλにのみ依存する連続関数であり、固定波長λでのTの増加関数です。低温では可視光線では消失しますが、より長い波長では消失しません。高温では可視光線の波長が正の値になります。これは任意の非理想的な物体の性質iには依存しません。(キルヒホッフによって詳細に考慮された幾何学的要因は、上記では無視されています。)
したがって、キルヒホッフの熱放射の法則は次のように言えます。任意の温度Tで熱力学的平衡状態で放射および吸収するあらゆる材料について、すべての波長λに対して、放射パワーと吸収比の比は 1 つの普遍的な値を持ち、これは次の特性を持ちます。完全な黒体であり、ここではB λ ( λ ， T )で表す放射力です。(私たちの表記B λ ( λ ， T )の場合、キルヒホッフの元の表記は単にeでした。)
キルヒホッフは、克服すべき実験上の困難があることを認識していたものの、関数B λ ( λ ， T )の決定が最も重要な問題であると発表しました。彼は、個々の物体の特性に依存しない他の機能と同様に、それは単純な機能であると考えました。その関数B λ ( λ ， T )は、「キルヒホッフ (放射、普遍) 関数」と呼ばれることもありますが、その正確な数学的形式は、その後 40 年間は知られませんでした。それは 1900 年にプランクによって発見されました。キルヒホッフの普遍性原理の理論的証明は、同時期およびその後、さまざまな物理学者によって研究され、議論されました。キルヒホッフは 1860 年後半に、自分の理論的証明はバルフォア・スチュワートの理論的証明よりも優れており、ある面ではその通りだったと述べた。キルヒホッフの 1860 年の論文では熱力学第 2 法則については言及されておらず、もちろん当時確立されていなかったエントロピーの概念についても言及されていませんでした。キルヒホッフは 1862 年の本の中でより深く考えられた記述の中で、自分の法則と第 2 法則の一形態である「カルノーの原理」との関係について言及しました。
ヘルゲ・クラッハによれば、「量子理論は熱放射の研究、特にロバート・キルヒホッフが 1859 ～ 1860 年に最初に定義した「黒体」放射の研究にその起源を負っている。」

プランクの法則の科学的帰納のための経験的および理論的要素
1860 年にキルヒホッフは、黒体スペクトルの依存性を温度と波長のみの関数として記述する関数を経験的に決定することは実験的に困難であると予測しました。そして、それが判明しました。信頼できる結果を得るには、電磁放射の測定方法を改良する開発に約 40 年かかりました。
1865 年、ジョンティンダルは、電気的に加熱されたフィラメントと炭素アークからの放射線が可視と不可視であると説明しました。チンダルは、可視光線だけでなく熱も通す岩塩プリズムを使用して放射線をスペクトル分解し、熱電対列を用いて放射線強度を測定した。
1880 年、アンドレ・プロスペル・ポール・クローバは、波長と温度の関数としての熱放射の強さのグラフを三次元的に表した図を発表しました。彼はプリズムを使用してスペクトル変数を決定しました。彼は、横軸にスペクトル変数、縦軸にパワー変数を使用した単一温度のセクションである、彼が「等温」曲線と呼んだものを通じて表面を分析しました。彼は実験データポイントに滑らかな曲線を描きました。それらは、温度のスペクトル値特性に 1 つのピークを持ち、水平軸に向かってその両側に落ちています。このようなスペクトルセクションは今日でも広く示されています。
1881 年から 1886 年までの一連の論文で、ラングレーは、回折格子とプリズム、および彼が作成できる最も高感度の検出器を使用した熱放射のスペクトルの測定を報告しました。彼は、温度とともに増加するピーク強度があること、スペクトルの形状がピークに関して対称ではないこと、波長がそれぞれのおおよそのカットオフ値よりも短い場合に強度が大きく低下することを報告しました。温度の上昇とともにおおよそのカットオフ波長が減少し、温度とともにピーク強度の波長が減少するため、温度のおおよそのカットオフよりも長い短波長の強度が温度とともに大きく増加することがわかります。
ラングレーを読んだ後、ロシアの物理学者 VA マイケルソンは 1888 年に、未知のキルヒホッフ放射関数が物理的に説明され、「原子の振動の完全な不規則さ」という観点から数学的に記述できるという考えの考察を発表しました。この時点では、プランクは放射線を詳しく研究しておらず、原子も統計物理学も信じていなかった。マイケルソンは、温度のスペクトルの公式を作成しました。I λ = B 1
θ3 2
経験値( −c λ 2 θ ) λ −
6{ I_{lambda }=B_{1}theta ^{frac {3}{2}}exp left(-{frac {c}{lambda ^{2}theta }}右)lambda ^{-6}，}

ここで、I λ は波長λおよび温度θにおける比放射強度を表し、B 1およびcは経験的定数です。
1898 年、オットールマーとフェルディナンドクルルバウムは空洞放射線源の説明を発表しました。その設計は、今日に至るまで放射線測定にほとんど変更されずに使用されています。それはプラチナの箱で、隔膜で仕切られており、内部は酸化鉄で黒くなっていた。これは、プランクの法則の発見につながった、徐々に改良された測定にとって重要な要素でした。1901年に記載されたバージョンでは、内部がクロム、ニッケル、コバルトの酸化物の混合物で黒く塗られていた。
ルマー・クルルバウム空洞放射線源の重要性は、それが実験的に利用可能な黒体放射線源であり、単純に露光された白熱固体からの放射線とは異なり、黒体放射線に最も近い利用可能な実験的近似であったことであった。適切な温度範囲。以前に使用されていた単純に露光された白熱固体は、黒体スペクトルから逸脱した放射線を放出したため、実験から真の黒体スペクトルを見つけることが不可能でした。

経験的事実以前のプランクの見解が、彼に最終的な法則を発見させた
プランクは 1897 年に初めて黒体輻射の問題に注意を向けました。理論的および経験的進歩により、ルマーとプリングスハイムは 1899 年に利用可能な実験的証拠が比強度法則Cλ −5 e − c ⁄とほぼ一致していると書くことができました。 λTここで、Cとc は経験的に測定可能な定数を示し、λとT はそれぞれ波長と温度を示します。理論的な理由から、当時のプランクは短波長を効果的にカットオフするこの定式化を受け入れました。
グスタフ・キルヒホッフはマックス・プランクの教師であり、黒体放射には普遍的な法則が存在すると推測し、これは「キルヒホッフの挑戦」と呼ばれました。理論家のプランクは、ヴィルヘルム・ウィーンがこの法則を発見したと信じており、プランクはウィーンの研究を拡張して1899年にドイツ物理学会の会合でそれを発表した。実験家のオットー・ルマー、フェルディナント・クルルバウム、エルンスト・プリングスハイム・シニア、およびハインリヒ・ルーベンスは、特に高周波短波長においてウィーンの法則を支持するように見える実験を行い、プランクがドイツ物理学会で全面的に支持したため、ウィーン・プランクの法則と呼ばれるようになりました。。しかし、1900年9月までに、実験家たちはウィーン・プランクの法則がより長い波長では成り立たないことを疑いの余地なく証明した。彼らは10月19日にデータを発表する予定だった。プランクは友人のルーベンスから報告を受け、数日以内にすぐに式を作成した。同年の 6 月に、ローリー卿は、広く受け入れられている等分配理論に基づいて、短い低周波波長に有効な式を作成しました。そこでプランクは、ローリーの法則（または同様の等分配理論）とウィーンの法則の両方を組み合わせた式を提出しました。この式は、実験データと一致するように波長に応じてどちらかの法則に重み付けされます。しかし、この方程式は機能したが、プランク自身は、「幸運な直感」から導き出された公式を物理学における「真の意味」の一つに説明できなければ、真の意味を持たないと述べた。プランクはその後、人生で最も大変な仕事を続けたと説明した。プランクは原子を信じておらず、確率は絶対的な答えを提供しないため、熱力学の第 2 法則が統計的であるべきだとも考えませんでした。また、ボルツマンのエントロピー法則は原子の仮説に基づいており、統計的であると考えていました。しかしプランクは、彼の黒体方程式をマクスウェルの波動方程式などの連続法則と調和させる方法を見つけることができませんでした。そこで、プランクが「絶望の行為」と呼んだもので、彼はボルツマンのエントロピー原子法則に目を向けた。それが彼の方程式を機能させる唯一のものだったからである。したがって、彼はボルツマン定数kと新しい定数hを使用して、出版された論文を通じて広く知られるようになった黒体放射の法則を説明しました。

経験則を見つける
マックスプランクは、1896 年にヴィルヘルムウィーンによって発表されたウィーン近似の改良として、 1900 年 10 月 19 日に法則を作成しました。この近似は、短波長 (高周波数) では実験データに適合しますが、長波長ではそれから逸脱しました (低周波）。 1900 年 6 月、レイリーはヒューリスティックな理論的考察に基づいて、自分が提案した式が実験的に確認できるかもしれないと示唆しました。スチュワート・キルヒホッフの普遍関数はc 1 Tλ −4 exp(−
c2 _/λT）。これは、1905 年まで出現しなかった有名なレイリージーンズの公式8π k B Tλ −4ではありませんが、ここで関連する長波長では後者に縮小されました。クラインによれば、プランクは 1900 年と 1901 年の論文では言及しなかったものの、この提案を目にしていた可能性が高いと推測されるかもしれません。プランクは、提案された他のさまざまな公式を知っていたでしょう。 1900年10月7日、ルーベンスはプランクに対し、相補的領域（長波長、低周波数）においてのみ、レイリーの1900年の公式は観測データによく適合すると語った。
長い波長の場合、レイリーの 1900 年の発見的公式は、エネルギーが温度に比例し、U λ = 一定であることをほぼ意味しました。T . ことが知られています。
ds/dU λ=
1/Tそしてこれは次のことにつながります
ds/dU λ=
定数。/U λそしてそこから
d2S _ _/dU λ 2= −
定数。/U λ 2長波長用。しかし、短波長の場合、ウィーンの公式は次のようになります。
1/T= −定数 ln U λ + 定数そしてそこから
d2S _ _/dU λ 2= −
定数。/U λ短波長用。プランクはおそらく、長波長と短波長のこれら 2 つのヒューリスティック公式をつなぎ合わせて、公式を生成しました d 2S d U = α U λ ( β+ U λ ){ {frac {d^{2}S}{dU_{lambda }^{2}}}={frac {alpha }{U_{lambda }(beta +U_{lambda }) }}.}

これによりプランクは公式を導いたB λ( T) = C
λ 5e c λ T −
1{ B_{lambda }(T)={frac {Clambda ^{-5}}{e^{frac {c}{lambda T}}-1}}，}

ここで、プランクは経験的フィッティング定数を示すために記号Cとcを使用しました。
プランクはこの結果をルーベンスに送り、ルーベンスはそれを彼とクルルバウムの観測データと比較し、すべての波長に非常によく適合することを発見しました。1900 年 10 月 19 日、ルーベンスとクルルバウムはデータへの適合を簡単に報告し、プランクは彼の公式を説明するための理論的スケッチを与える短いプレゼンテーションを追加しました。 1週間以内に、ルーベンスとカールバウムはプランクの法則を裏付ける測定結果の詳細な報告を行った。より長い波長の放射線をスペクトル分解するための彼らの技術は、残留光線法と呼ばれていました。光線は研磨された結晶表面から繰り返し反射され、プロセスを最後まで通過した光線は「残留」し、適切な特定の材料の結晶によって優先的に反射される波長でした。

法則の物理的な説明を見つけようとしている
プランク関係
も参照
プランクは経験的に適合する関数を発見すると、この法則の物理的な導出を構築しました。彼の思考は、温度を直接考慮するのではなく、エントロピーを中心に展開していました。プランクは完全に反射する壁を持つ空洞を考えました。キャビティ内には、有限個の異なるが同一に構成された一定の大きさの共振振動体が存在し、有限個の多くの固有周波数のそれぞれにいくつかのそのような発振器が存在する。これらの仮説的な振動子はプランクの純粋に想像上の理論的調査のためのものであり、プランクはそのような振動子について「その存在とその特性が熱力学および電気力学の法則と一致する限り、自然界のどこかに実際に存在する必要はない」と述べた。プランクは、共鳴振動子の仮説に明確な物理的重要性を認めず、むしろすべての波長で経験的データと一致する黒体スペクトルの単一式を導き出すことを可能にする数学的装置としてそれを提案した。彼は、そのような振動子と原子との関連の可能性について暫定的に言及した。ある意味、振動子はプランクの炭素の斑点に相当します。スペックが放射波長モード間でエネルギーを効果的に変換する場合、スペックのサイズはキャビティのサイズに関係なく小さくなる可能性が
ボルツマンが気体分子に対して開拓したヒューリスティックな計算方法を部分的に踏襲し、プランクは、仮想の荷電材料発振器のさまざまなモードに電磁エネルギーを分配する可能な方法を検討しました。ボルツマンに倣い、プランクが確率論的アプローチを受け入れたことは、それまでボルツマンが提案したそのような考え方に意図的に反対していた彼の以前の立場からの根本的な変化であった。プランクの言葉によれば、「私はを純粋に形式的な仮定だと考え、これ以外はあまり考えなかった。つまり、どんな状況下でも、どんな犠牲を払っても肯定的な結果が得られたということだ。」ヒューリスティックに、ボルツマンはエネルギーを任意の単なる数学的量子ϵに分配し、有限の大きさϵ は確率の数学的計算のために明確な計数を可能にするだけの役割を果たしていたため、その大きさがゼロになる傾向を作り始めました。物理的な意味はありませんでした。新しい普遍的な自然定数hを参照して、プランクは、有限の多くの固有周波数のそれぞれのいくつかの振動子において、総エネルギーはエネルギーの明確な物理単位の整数倍でそれぞれに分配されると仮定しました。ϵ、それぞれの固有周波数の特性。彼の新しい普遍的な自然定数h は、現在ではプランク定数として知られています。
プランクはさらに、エネルギーのそれぞれの明確な単位ϵは、仮想振動子のそれぞれの固有振動周波数νに比例するはずであると説明し、1901 年にこれを比例定数hで表しました。 ϵ = h
ν{ epsilon =hnu .}

プランクは、自由空間を伝播する光が量子化されるとは提案しませんでした。自由電磁場の量子化という考え方は後に開発され、最終的には現在私たちが量子場の理論として知っているものに組み込まれました。
1906 年、プランクは、彼の想像上の共振器は線形力学を持ち、周波数間のエネルギー変換を物理的に説明できないことを認めました。現在の物理学は、アインシュタインに従って、原子の存在下での周波数間の変換をその量子励起性によって説明している。プランクは、壁が完全に反射し、物質が存在しない空洞では、電磁場は周波数成分間でエネルギーを交換できないと考えました。これはマクスウェル方程式の線形性によるものです。現在の場の量子理論は、物質が存在しない場合、電磁場は非線形方程式に従い、その意味で自己相互作用すると予測しています。物質の不在下でのこのような相互作用は、非常に高い強度と非常に高感度で低ノイズの検出器が必要となるため、まだ直接測定されていないが、これらはまだ構築中である。プランクは、相互作用のない場はエネルギーの等分配の古典原理に従うことも違反することもなく、黒体場に進化するのではなく、導入されたときとまったく同じままであると信じた。したがって、彼の機械的仮定の線形性により、プランクは熱力学的平衡熱放射場のエントロピーの最大化を機械的に説明することができなかった。これが、彼がボルツマンの確率的議論に頼らざるを得なかった理由です。
プランクの法則は、熱放射の法則が最も重要であるというグスタフキルヒホッフの予測を実現したものと見なすことができます。プランクは、自身の法則の成熟したプレゼンテーションの中で、キルヒホッフの法則の徹底的かつ詳細な理論的証明を提供しましたが、それまでその理論的証明は、キルヒホッフのような非物理的な理論的対象に依存していると言われていたこともあり、それまで時々議論されてきました。無限に薄い黒い表面を完全に吸収します。

後発事象
1905年にアルバート・アインシュタインが実際に存在する光の量子を、黒体放射、光ルミネッセンス、光の革命的な説明として着想したのは、プランクがエネルギーや作用の抽象的な要素について発見的仮定を行ってから 5 年後のことでした。光電効果、紫外線によるガスのイオン化。1905年、「アインシュタインはプランクの理論は光量子の考えと一致させることはできないと信じていたが、その間違いは1906年に訂正した。」当時のプランクの信念に反して、アインシュタインは、光が空間点に局在するエネルギー量子として自由空間内で放射、吸収、伝播するというモデルと式を提案した。アインシュタインは、自身の推論への導入として、放射線の発生源および吸収源としての仮想的な共鳴物質電気振動子のプランクのモデルを要約しましたが、その後、そのモデルとは切り離された、しかし部分的にはウィーンの熱力学的な議論に基づいた新しい議論を提供しました。この場合、プランクの公式ϵ = hν は何の役割も果たしませんでした。アインシュタインは、そのような量子のエネルギー量を次の形式で与えました。
Rβν/N。したがって、アインシュタインは、プランクが主張した光の波動理論に反対していました。1910年、プランクがアインシュタインの特殊相対性理論の堅実な支持者であることを知っていたアインシュタインは、プランクから送られた原稿を批判し、「私にとって、エーテルを仮定せずにエネルギーが空間に継続的に分布することはばかげているように思えます。」と書いた。
トーマス・クーンによれば、プランクがアインシュタインの物理的議論の一部を、熱放射物理学における抽象的な数学的離散性とは異なるものとして多かれ少なかれ受け入れたのは 1908 年になってからでした。まだ 1908 年に、アインシュタインの量子伝播の提案を考慮して、プランクはそのような革命的なステップはおそらく不必要であると意見しました。それまでプランクは、作用量子の離散性は共鳴振動子にも熱放射の伝播にも見出されないと一貫して考えていた。クーンは、プランクの初期の論文と 1906 年の単行本には「不連続性についての言及も、発振器エネルギーの制限についての言及も、U = nhνのような公式も」ないと書いています。クーンは、1900年と1901年のプランクの論文と1906年の彼のモノグラフの研究が、プランクの著作を後世の観点からのみ見ていた他の人々の広範な思い込みに反して、彼を「異端的な」結論に導いたと指摘した。、時代錯誤、視点。プランクが一貫して「最初の理論」を主張していた1908年までの期間を見つけたクーンの結論は、他の歴史家によって受け入れられている。
プランクは、1912 年に出版された彼のモノグラフの第 2 版で、アインシュタインの光量子の提案に対する反対を主張しました。彼は、量子吸収とは異なり、仮想物質の共振器による光の吸収は連続的であり、平衡状態で一定の速度で起こる可能性があることをある程度詳細に提案しました。放出のみが量的であった。これはプランクの「第二理論」と呼ばれることもある。
プランクが彼のモノグラフの第 3 版で、光の放出と吸収の両方が量子的であるという彼の「第 3 理論」を多かれ少なかれ受け入れたのは 1919 年になってからでした。
「紫外線カタストロフ」というカラフルな用語は、古典統計力学の等分配定理が（誤って）黒体放射に適用されると、空洞内の総エネルギーが無限大になる傾向があるという逆説的な結果に対して、1911年にポール・エーレンフェストによって与えられたものである。しかし、これはプランクの考え方の一部ではなかった。プランクは均等分配の理論を適用しようとしていなかったからである。1900 年に発見したとき、彼はいかなる「大惨事」にも気づいていなかった。 1900 年にレイリー卿によって初めて注目され、その後 1901 年にサー・ジェームス・ジーンズによって指摘された。そしてその後、1905 年に、光は後に「光子」と呼ばれる個別のパケットとして伝播するという考えを支持したいと考えたアインシュタイン、レイリーとジーンズによって提唱されました。
1913 年、ボーアは量hνに対してさらに異なる物理的意味を持つ別の式を与えました。プランクとアインシュタインの公式とは対照的に、ボーアの公式は原子のエネルギー準位を明示的かつ明確に参照しました。ボーアの公式はW τ 2 − W τ 1 = hνで、W τ 2とW τ 1 は量子数τ 2とτ 1を持つ原子の量子状態のエネルギー準位を示します。記号ν は、原子がこれら 2 つの量子状態の間を通過するときに放出または吸収される放射線の量子の周波数を示します。プランクのモデルとは対照的に、周波数は ν { nu }

それらの量子状態自体を記述する可能性のある周波数とは直接の関係はありません。
その後 1924 年に、Satyendra Nath Bose が光子の統計力学の理論を開発し、プランクの法則の理論的導出を可能にしました。実際の「光子」という言葉は、さらに後になって、1926 年に GN ルイスによって発明されましたが、彼はボーズアインシュタインの統計に反して光子は保存されていると誤って信じていました。それにもかかわらず、「光子」という言葉は、光伝播のパケットの性質に関するアインシュタインの仮説を表現するために採用されました。プランクが考えたような、完全に反射する壁を持つ容器内の真空に隔離された電磁場では、確かにアインシュタインの 1905 年のモデルに従って光子は保存されますが、ルイスは、次のように閉じられた系とみなされる光子の場について言及していました。彼は、重度の物質を尊重していましたが、周囲の重度の物質のシステムとの電磁エネルギーの交換にオープンであり、それでも光子は原子の中に保存されて保存されていると誤って想像しました。
最終的に、プランクの黒体輻射の法則は、線形運動量を運ぶ光の量子というアインシュタインの概念に貢献し、量子力学の発展の基礎となった。
周波数成分間のエネルギー相互作用を考慮しないプランクの力学的仮定の上記の線形性は、1925 年にハイゼンベルクのオリジナルの量子力学に取って代わられました。1925 年 7 月 29 日に提出された彼の論文では、ハイゼンベルクの理論は、1913 年のボーアの上記の公式を説明しました。それは、非線形振動子を原子量子状態のモデルとして認め、場合によっては、それ自体の複数の内部離散フーリエ周波数成分間のエネルギー的相互作用を可能にしました。放射線量子の放出または吸収。放射線量子の周波数は、内部原子の準安定振動量子状態間の明確な結合の周波数でした。当時、ハイゼンベルクは行列代数について何も知らなかったが、マックス・ボルンはハイゼンベルクの論文の原稿を読み、ハイゼンベルクの理論の行列の性質を認識した。その後、ボルンとジョーダンは、ハイゼンベルクのオリジナルの量子力学に基づいていますが、それとは明らかに異なる形式の量子力学の明示的な行列理論を発表しました。それは、今日行列力学と呼ばれているボルンとジョルダンの行列理論です。プランク振動子についてのハイゼンベルクの説明は、放射線の放射または吸収の過渡過程のフーリエモードとして明らかな非線形効果として、プランク振動子がなぜ想像されるような永続的な物理的オブジェクトとしてみなされるのかを示しました。古典物理学では現象を適切に説明できませんでした。
今日では、光量子のエネルギーの記述として、式E = ħωがよく見られます。ここで、ħ =
h/2π、ω = 2π ν は角周波数を示しますが、同等の式E = hνが使用されることはあまりありません。アインシュタインの理論に基づく、実際に存在し伝播する光量子に関するこの記述は、抽象的なエネルギー単位に関するプランクの上記の記述ϵ = hνとは異なる物理的意味を持っています。彼の仮説上の共鳴材料発振器に分散されます。
Physics Worldに掲載された Helge Kragh の記事では、この歴史について説明しています。

こちらも参照
放射率
ラディアンス
佐久間・服部方程式

参考文献
^ プランク 1914、p. 42
^ Gaofeng Shao 他 2019、p. ６．
^ プランク 1914、6、168 ページ
^ チャンドラセカール 1960、p. 8
^ リビッキとライトマン、1979 年、p. 22
^ スチュワート 1858
^ ハプケ 1993、pp. 362–373
^ プランク 1914
^ ラウドン 2000、3–45 ページ
^ カニウ 1999 年、p. 117
^ Kramm & Mölders 2009、p. 10
^ シャーコフ 2003、p. 210
^ グッディ＆ヨン 1989、p. 16.
^ フィッシャー 2011
^ モール、テイラー、ニューウェル、2012 年、p. 1591年
^ ラウドン2000
^ マンデルとウルフ 1995
^ ウィルソン、1957 年、p. 182
^ アドキンス 1983、147–148 ページ
^ ランズバーグ 1978、p. 208
^ シーゲル & ハウエル 2002、p. 25
^ プランク 1914、9–11 ページ
^ プランク 1914、p. 35
^ ランズバーグ 1961、pp. 273–274
^ ボーン＆ウルフ 1999、pp. 194–199
^ ボーン&ウルフ 1999、p. 195
^ リビッキとライトマン、1979 年、p. 19
^ チャンドラセカール 1960、p. 7
^ チャンドラセカール 1960、p. 9
^ アインシュタイン 1916
^ ボーア 1913
^ ジャマー 1989、113、115 ページ
^ キッテル & クローマー 1980、p. 98
^ ジーンズ 1905a、p. 98
^ レイリー 1905
^ リビッキとライトマン 1979、p. 23
^ ウィーン 1896、p. 667
^ プランク 1906、p. 158
^ ローウェン＆ブランチ 1940
^ Christian Gueymardから統合。「太陽エネルギー用途と太陽放射モデルのための太陽の総放射量と分光放射量」。太陽エネルギー。土井：10.1016/j.solener.2003.08.039。
^ シーゲル 1976
^ キルヒホッフ 1860a
^ キルヒホッフ 1860b
^ シルマッハ 2001
^ キルヒホッフ 1860c
^ プランク 1914、p. 11
^ ミルン、1930 年、p. 80
^ リビッキとライトマン 1979、16–17 ページ
^ ミハラス & ワイベル-ミハラス 1984、p. 328
^ グッディ＆ヨン 1989、27–28 ページ
^ Paschen， F. (1896)、 Hermann が引用した個人的な手紙、1971 年、p. 6
^ ヘルマン、1971、p. 7
^ クーン、1978 年、8、29 ページ
^ メーラとレッヒェンベルク、1982 年、26、28、31、39 ページ
^ キルヒホッフ 1862、p. 573
^ クラー、1999 年、p. 58
^ カングロ 1976
^ ティンダル 1865a
^ ティンダル 1865b
^ カングロ 1976、pp. 8–10
^ クローバ 1880
^ Crova 1880、p. 577、プレートI
^ カングロ 1976、10–15 ページ
^ カングロ 1976、15–26 ページ
^ マイケルソン 1888
^ カングロ 1976、30–36 ページ
^ カングロ 1976、pp. 122–123
^ ルマー＆クルルバウム 1898
^ カングロ 1976、p. 159
^ ルマー＆クルルバウム 1901
^ カングロ 1976、75–76 ページ
^ パッシェン 1895、297–301 ページ
^ クライン、1962 年、p. 460。
^ Lummer & Pringsheim 1899、p. 225
^ カングロ 1976、p. 174
^ プランク 1900d
^ レイリー 1900、p. 539
^ カングロ 1976、181–183 ページ
^ Pasupathy、J.「量子、その発見、そして続く探求」。現在の科学、vol. 79、いいえ。11、Temporary Publisher、2000 年、1609 ～ 1614 ページ、 http://www.jstor.org/stable/24104871。
^ Kumar、Manjit、 Quantum: Einstein、Bohr、および現実の性質に関する偉大な議論、第 1 アメリカ版、2008。
^ ストーン、A. ダグラス、アインシュタインと量子: 勇敢なシュヴァーベンの探求、2013 年、プリンストン大学出版局。
^ 「完全放射線の法則に関するコメント」、ロンドン、エディンバラ、ダブリンの哲学雑誌および科学ジャーナル、Vol. XLIX、1900 年 1 月～6 月、539 ～ 541 ページ、レイリー卿 (ジョンウィリアムストラット)
^ プランク、科学的自伝とその他の論文(ニューヨーク: 哲学図書館、1949 年)、41。
^ ハーマン、「量子理論の起源」、 American Journal of Physics 40、1355 (1972) p. 23.
^ Max Planck、「正常スペクトルのエネルギー分布則の理論について」、Verhandl、Dtsch、phys Ges、2、(1900)
^ Physics World、「マックスプランク: 消極的な革命家」、2000 年 12 月 1 日。引用: 「ボルツマンの分子機械的解釈によれば、システムのエントロピーは分子運動の集合的な結果です。第 2 法則は統計学的にのみ有効です。」原子と分子の存在を前提としたボルツマンの理論は、物理学を原子の概念から解放し、エネルギーと関連量に基づいて考えようとしたヴィルヘルム・オストワルトや他の「エネルギー学者」によって異議を唱えられました。プランクは勝者、あるいはすぐに勝者であることが判明した人々、つまりボルツマンと「原子学者」の側に立っていると期待する人もいるかもしれないが、そうではなかった。ボルツマンの熱力学の統計的バージョンを拒否するだけでなく、その根拠となった原子仮説も疑っている。」https://physicsworld.com/a/max-planck-the-reluctant-revolutionary/
^ プランク 1900a
^ プランク 1900b
^ レイリー 1900
^ ドゥーガル 1976
^ プランク 1943、p. 156
^ ヘットナー 1922
^ ルーベンス＆クルルバウム 1900a
^ ルーベンス＆クルルバウム 1900b
^ カングロ 1976、p. 165
^ メーラとレッヒェンベルク、1982 年、p. 41
^ プランク 1914、p. 135
^ クーン 1978、117–118 ページ
^ ヘルマン、1971、p. 16
^ プランクからロバートウィリアムウッズへ、1931 年 10 月 7 日、Armin Hermann、The Genesis of Quantum Theory (1899–1913) (マサチューセッツ州ケンブリッジ: MIT Press、1971)、24。
^ プランク 1900c
^ カングロ 1976、p. 214
^ クーン、1978 年、p. 106
^ クラフ 2000
^ プランク 1901
^ プランク 1915、p. 89
^ エーレンフェストとカメルリング・オンネス、1914 年、p. 873
^ テルハール、1967 年、p. 14
^ Stehle 1994、p. 128
^ スカリーとズバイリー、1997、p. 21.
^ プランク 1906、p. 220
^ クーン、1978 年、p. 162
^ プランク 1914、pp. 44–45、113–114
^ Stehle 1994、p. 150
^ Jauch & Rohrlich 1980、第 13 章
^ カープラスとノイマン 1951
^ トンマシーニら。2008年
^ ジェフリーズ、1973 年、p. 223
^ プランク 1906、p. 178
^ プランク 1914、p. 26
^ ボルツマン 1878
^ クーン 1978、38–39 ページ
^ プランク 1914、1–45 ページ
^ コットン 1899
^ アインシュタイン 1905
^ クラー、1999 年、p. 67
^ Stehle 1994、pp. 132–137
^ アインシュタイン 1993、p. 143、1910 年の手紙。
^ プランク 1915、p. 95
^ プランク 1906
^ クーン 1978、196–202 ページ
^ クラー 1999、63–66 ページ
^ プランク 1914、p. 161
^ クーン 1978、235–253 ページ
^ クーン 1978、253–254 ページ
^ エーレンフェスト 1911
^ クーン、1978 年、p. 152
^ クーン 1978、151–152 ページ
^ カングロ 1976、p. 190
^ クーン 1978、144–145 ページ
^ ジーンズ 1901、脚注、p. 398
^ ジーンズ 1905b
^ ジーンズ 1905c
^ ジーンズ 1905d
^ ゾンマーフェルト、1923 年、p. 43
^ ハイゼンベルク 1925、p. 108
^ ブリルアン 1970、p. 31
^ ボーズ 1924
^ ルイス 1926
^ ハイゼンベルク 1925
^ ラザヴィ 2011、39–41 ページ
^ 誕生とジョーダン 1925
^ Stehle 1994、p. 286
^ ラザヴィ 2011、42–43 ページ
^ メサイア 1958、p. 14
^ パウリ 1973、p. 1
^ ファインマン、レイトン&サンズ、1963年、p. 38-1
^ シュウィンガー 2001、p. 203
^ ボーレンとクロショー、2006 年、p. 2
^ シフ、1949 年、p. 2
^ ミハラス & ワイベル-ミハラス 1984、p. 143
^ リビッキとライトマン、1979 年、p. 20

参考文献
アドキンス、CJ (1983)。平衡熱力学(第 3 版)。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-25445-8。
アンドリュース、デイビッド（2000)。大気物理学の入門。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0511800770。
ボーア、N. (1913)。「原子と分子の構成について」 (PDF)。哲学雑誌。26 (153): 1 ～ 25。Bibcode : 1913PMag…26..476B。土井: 10.1080/14786441308634993。
ボーレン， CF州; クロショー、EE （2006)。大気放射線の基礎。ワイリー-VCH。ISBN 978-3-527-40503-9。
ボルツマン、L. (1878)。「Über die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatze der mechanischen Wärmetheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung、それぞれの den Sätzen über das Wärmegleichgewicht」。ウィーンの Sitzungsberichte Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften。76 (2): 373–435。
ボルン、M . ウルフ、E. (1999)。光学原理(第 7 版)。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-64222-4。
ボルン、M . ジョーダン、P. (1925)。「ツア・クァンテンメカニック」。物理学の時代。34 (1): 858–888。Bibcode : 1925ZPhy…34..858B。土井：10.1007/BF01328531。S2CID 186114542。van der Waerden、BL (1967)で「量子力学について」として部分的に翻訳されています
。量子力学の情報源。北オランダ出版。277–306ページ。
ボーズ、サティエンドラ・ナス(1924)。「プランクス・ゲセッツとリヒトクアンテン仮説」。Zeitschrift für Physik (ドイツ語)。26 (1): 178–181。Bibcode : 1924ZPhy…26..178B。土井：10.1007/BF01327326。S2CID 186235974。
ブレーム、JJ; ウィスコンシン州マリン（1989）。物質の構造の紹介。ワイリー。ISBN 978-0-471-60531-7。
ブリュアン、L. (1970)。相対性理論の再検討。学術出版局。ISBN 978-0-12-134945-5。
Caniou、J. (1999)。受動的赤外線検出: 理論と応用。スプリンガー。ISBN 978-0-7923-8532-5。
チャンドラセカール、S. (1960) 。Radiative Transfer (改訂再版)。ドーバー出版。ISBN 978-0-486-60590-6。
コットン、A. (1899)。「キルヒホッフの法則の現状」。天体物理学ジャーナル。9 : 237–268。ビブコード: 1899ApJ….9….237C。土井：10.1086/140585。
クローバ、APP (1880)。「白熱電球の放射光を測定します。自動温度を測定して」筋肉と肉体の分析。シリーズ 5. 19 : 472–550。
ドゥガル、RC (1976)。「プランク輻射公式のプレゼンテーション（チュートリアル）」。物理教育。11 (6): 438–443。Bibcode : 1976PhyEd..11..438D。土井: 10.1088/0031-9120/11/6/008。S2CID 250881729。
エーレンフェスト、P. (1911)。「Wärmestrahlung eine wesentliche Rolle における理論の解釈は可能ですか?」。アンナレン・デア・フィジーク。36 (11): 91–118。ビブコード: 1911AnP…341…91E。土井：10.1002/andp.19113411106。
エーレンフェスト、P. ; カメルリング・オネス、H. (1914)。「プランクが放射理論の基礎として使用する組み合わせ理論からの式の単純な演繹」。アムステルダムのオランダ王立科学アカデミーの議事録。17 (2): 870–873。Bibcode : 1914KNAB…17..870E。
アインシュタイン、A. (1905)。””Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt””。アンナレン・デア・フィジーク。17 (6): 132–148。Bibcode : 1905AnP…322..132E。土井：10.1002/andp.19053220607。AB州アーロンズで翻訳
。ペパード、MB (1965)。「アインシュタインの光子概念の提案: 1905 年のアナレン・デア・フィジーク論文の翻訳」(PDF)。アメリカ物理学雑誌。33 (5): 367。ビブコード: 1965AmJPh..33..367A。土井: 10.1119/1.1971542。2016 年 3 月 4 日のオリジナル(PDF)からアーカイブ。2011 年4 月 19 日に取得。
アインシュタイン、A. (1916)。「Zur Quantentheorie der Strahlung」。チューリッヒの物理学博物館。18：47～62。そしてほぼ同じバージョンの
Einstein， A. (1917)。「Zur Quantentheorie der Strahlung」。物理的ツァイツシュリフト。18 : 121–128。Bibcode : 1917PhyZ…18..121E。ter Haar， D. (1967)で翻訳
。「放射線の量子理論について」。古い量子理論。ペルガモンプレス。167–183ページ。LCCN 66029628。も参照して
アインシュタイン、A. (1993)。アルバート・アインシュタインの論文集。Vol. 3. Beck， A. Princeton University Pressによる英語翻訳。ISBN 978-0-691-10250-4。
ファインマン， RP ; レイトン， RB ; サンズ、M. (1963)。ファインマン物理学講義、第 1 巻。アディソン・ウェスリー。ISBN 978-0-201-02010-6。
フィッシャー、T. （2011 年 11 月 1 日)。「トピック: プランクの法則の導出」。サーマルハブ。2015 年6 月 19 日に取得。
高峰邵; ルー・ユツァオ。ドリアン・A・H・ハナオル。シェン・クイ; ジャンジャオ。シェン・シャオドン（2019）。「再利用可能な宇宙システム用の繊維状セラミック上の高放射率コーティングの耐酸化性の向上」。腐食科学。エルゼビア。146 : 233–246。arXiv : 1902.03943。土井：10.1016/j.corsci.2018.11.006。S2CID 118927116。HAL ID: hal-02308467 – HAL アーカイブ経由。
グッディ、RM。ヨン、YL (1989)。大気放射線: 理論的基礎(第 2 版)。オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-510291-8。
グッゲンハイム、EA (1967)。熱力学。化学者および物理学者のための高度な治療法(第 5 改訂版)。北オランダ出版社。
ハーケン、H. (1981)。ライト（復刻版）。アムステルダム:北オランダ出版。ISBN 978-0-444-86020-0。
ハプケ、B. (1993)。反射率と放射分光法の理論。ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ英国。ISBN 978-0-521-30789-5。
ハイゼンベルク、W. (1925)。「超量論理論的運動学と機械工学」。物理学の時代。33 (1): 879–893。Bibcode : 1925ZPhy…33..879H。土井: 10.1007/BF01328377。S2CID 186238950。van der Waerden、BL (1967)で「運動学的および機械的関係の量子理論的再解釈」として翻訳されました
。量子力学の情報源。北オランダ出版。261–276ページ。
ハイゼンベルク、W. (1930)。量子論の物理原理。エッカート、C. ホイト、FC (翻訳)。シカゴ大学出版局。
ヘルマン、A. (1971)。量子論の起源。ナッシュ、CW (翻訳)。MIT を押します。ISBN 978-0-262-08047-7。Frühgeschichte der Quantentheorie (1899–1913)の翻訳、Physik Verlag、モスバッハ/バーデン、1969 年。
ヘットナー、G. (1922)。「ルーベンス・アルバイテン・プランクシュ・シュトラールングスフォルメルの死」ナトゥールヴィッセンシャフテン。10 (48): 1033–1038。ビブコード: 1922NW….10.1033H。土井：10.1007/BF01565205。S2CID 46268714。
ジャマー、M. (1989)。量子力学の概念展開(第 2 版)。Tomash Publishers /アメリカ物理学研究所。ISBN 978-0-88318-617-6。
ジャウク、JM。Rohrlich、F. (1980) 。光子と電子の理論。スピン 1/2 の荷電粒子の相対論的量子場の理論(第 2 版の第 2 刷)。スプリンガー。ISBN 978-0-387-07295-1。
ジーンズ、JH (1901)。「分子エネルギーの分布」。王立協会の哲学的取引 A．196 (274–286): 397–430。ビブコード: 1901RSPTA.196..397J。土井：10.1098/rsta.1901.0008。JSTOR 90811。
ジーンズ、JH (1905a)。「XI. 物質とエーテルの間のエネルギーの分配について」。哲学雑誌。10 (55): 91–98。土井: 10.1080/14786440509463348。
ジーンズ、JH (1905b)。「物質とエーテルの一般力学への統計力学の応用について」。王立協会の議事録A. 76 (510): 296–311。Bibcode : 1905RSPSA..76..296J。土井: 10.1098/rspa.1905.0029。JSTOR 92714。
ジーンズ、JH (1905c)。「放射線に関する 2 つの理論の比較」。自然。72 (1865): 293–294。Bibcode : 1905Natur..72..293J。土井：10.1038/072293d0。S2CID 3955227。
ジーンズ、JH (1905d)。「放射線の法則について」。王立協会の議事録A. 76 (513): 545–552。Bibcode : 1905RSPSA..76..545J。土井: 10.1098/rspa.1905.0060。JSTOR 92704。
ジェフリーズ、H. (1973)。科学的推論(第 3 版)。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-08446-8。
カングロ・H. (1976)。プランクの放射の法則の初期の歴史。テイラー＆フランシス。ISBN 978-0-85066-063-0。
カープラス、R. ニューマン、M. (1951)。「光による光の散乱」。物理的なレビュー。83 (4): 776–784。Bibcode : 1951PhRv…83..776K。土井: 10.1103/PhysRev.83.776。
キルヒホッフ、GR (1860a)。「ユーバー・ディ・フラウンホーファー・シェン・リンニエン」。Monatsberichte der Königlich Preussischen Academy der Wissenschaften zu Berlin : 662–665。
キルヒホッフ、GR (1860b)。「Über den Zusammenhang zwischen Emission und Absorption von Licht und Wärme」。Monatsberichte der Königlich Preussischen Academy der Wissenschaften zu Berlin : 783–787。
キルヒホッフ、GR (1860c) 「ヴェルメとリヒトのための放出量と吸収量の両方を保証します」。物理学と化学のアナレン。109 (2): 275–301。Bibcode : 1860AnP…185..275K。土井：10.1002/andp.18601850205。Guthrie， F. により
Kirchhoff， GR として翻訳 (1860)。「光と熱に対するさまざまな物体の放射力と吸収力の関係について」。哲学雑誌。シリーズ 4. 20 : 1–21。
Kirchhoff、GR (1862)、「放射光と吸収の吸収」、Gessamelte Abhandlungen 、Johann Ambrosius Barth、571–598 ページ
キッテル、C . クローマー、H. (1980)。熱物理学(第 2 版)。WHフリーマン。ISBN 978-0-7167-1088-2。
MJ クライン(1962)。「マックス・プランクと量子論の始まり」。精密科学の歴史のアーカイブ。1 (5): 459–479。土井：10.1007/BF00327765。S2CID 121189755。
Kragh、H. (1999)。量子世代。20 世紀の物理学の歴史。プリンストン大学出版局。ISBN 978-0-691-01206-3。
Kragh、H. 。「マックス・プランク：消極的な革命家」 . 物理の世界。13 (12): 31–36。土井: 10.1088/2058-7058/13/12/34。
クラム、ゲルハルト。メルダース、N. （2009)。「プランクの黒体放射の法則: さまざまな領域での表現と関連する次元定数の決定」。カルカッタ数学協会のジャーナル。5 (1-2): 27-61。arXiv : 0901.1863。ビブコード: 2009arXiv0901.1863K。
クーン、TS (1978)。黒体理論と量子不連続性。オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-502383-1。
ランズバーグ、PT (1961)。量子統計図による熱力学。インターサイエンス出版社。
ランズバーグ、PT (1978)。熱力学と統計力学。オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-851142-7。
ジョージア州ルイス(1926 年)。「光子の保存」。自然。118 (2981): 874–875。Bibcode : 1926Natur.118..874L。土井: 10.1038/118874a0。S2CID 4110026。
ラウドン、R. （2000)。光の量子理論(第 3 版)。オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-850177-0。
ＡＮ州ローウェン。ブランチ、G. (1940)。「プランクの放射と光子の関数の表」。アメリカ光学学会誌。30 (2): 70。Bibcode : 1940JOSA…30…70L。土井: 10.1364/JOSA.30.000070。
ラマー、Ｏ．Kurlbaum、F. (1898)。「Der electrisch geglühte “”absolut schwarze”” Körper und seine Temperaturmessung」。Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft。17：106-111。
ラマー、Ｏ．プリングスハイム、E. (1899)。「1. Die Vertheilung der Energie in Spectrum des schwarzen Körpers und desblanken Platins; 2. Temperaturbestimmung fester glühender Körper」。Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft。1 : 215–235。
ラマー、Ｏ．Kurlbaum、F. (1901)。「Der elektrisch geglühte “”schwarze”” Körper」。アンナレン・デア・フィジーク。310 (8): 829–836。ビブコード: 1901AnP…310..829L。土井：10.1002/andp.19013100809。
マンデル、Ｌ．ウルフ、E. (1995)。光コヒーレンスと量子光学。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-41711-2。
メーラ、Ｊ．Rechenberg、H. (1982)。量子理論の歴史的発展。Vol. 1.スプリンガー・フェルラーグ。ISBN 978-0-387-90642-3。
メサイア、A. (1958)。量子力学。GG テンマー (翻訳)。ワイリー。
バージニア州マイケルソン (1888)。「固体のスペクトルにおけるエネルギー分布に関する理論的エッセイ」。哲学雑誌。シリーズ 5. 25 (156): 425–435。土井: 10.1080/14786448808628207。
ミハラス、Ｄ．Weibel-Mihalas、B. (1984)。放射流体力学の基礎。オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-503437-0。
EA、ミルン（1930年）。「星の熱力学」。天体物理学ハンドブック。3 (1): 63-255。
モール、ペンシルベニア州; バージニア州テイラー。ニューウェル、DB （2012)。「CODATA 基本物理定数の推奨値: 2010」 (PDF)。現代物理学のレビュー。84 (4): 1527–1605。arXiv : 1203.5425。Bibcode : 2012RvMP…84.1527M。CiteSeerX 10.1.1.150.1225。ドイ: 10.1103/RevModPhys.84.1527。S2CID 103378639。
パルトリッジ， GW州; プラット、CMR (1976)。気象学と気候学における放射過程。エルゼビア。ISBN 978-0-444-41444-1。
パッシェン、F. (1895)。「Über Gesetzmäßigkeiten in den Spectren fester Körper und über ein neue Bestimmung der Sonnentemperatur」。Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (数学物理学クラス) : 294–304。
パウリ、W. (1973)。Enz、CP (編)。波力学。マーグリーズ、S. ルイス、HR (翻訳)。MIT を押します。ISBN 978-0-262-16050-6。
プランク、M. (1900a)。””Über eine Verbesserung der Wien’schen Spectralgleichung””。Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft。2：202～204。ter Haar， D. (1967)で翻訳
。「スペクトルのウィーン方程式の改良について」(PDF)。古い量子理論。ペルガモンプレス。79–81ページ。LCCN 66029628。
プランク、M. (1900b)。「正常スペクトルにおけるエネルギー理論の理論」。Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft。2 : 237–245。ter Haar， D. (1967)で翻訳
。「正規スペクトルのエネルギー分布則の理論について」(PDF)。古い量子理論。ペルガモンプレス。p. 82.LCCN 66029628。_
プランク、M. (1900c)。「エントロピーと温度の変動」。アンナレン・デア・フィジーク。306 (4): 719–737。Bibcode : 1900AnP…306..719P。土井：10.1002/andp.19003060410。
プランク、M. (1900d)。「不可逆的なシュトラールングヴォルゲンゲ」。アンナレン・デア・フィジーク。306 (1): 69-122。Bibcode : 1900AnP…306…69P。土井：10.1002/andp.19003060105。
プランク、M. (1901)。「正常なエネルギーを維持するためのエネルギー」。アンナレン・デア・フィジーク。4 (3): 553–563。Bibcode : 1901AnP…309..553P。土井：10.1002/andp.19013090310。Ando， K. 「正常スペクトルにおけるエネルギー分布の法則について」(PDF)を翻訳
。2011 年 10 月 6 日のオリジナル(PDF)からアーカイブ。2011 年10 月 13 日に取得。
プランク、M. (1906)。Vorlesungen uber die Theorie der Wärmestrahlung。ヨハン・アンブロジウス・バルト。LCCN 07004527。
プランク、M. (1914)。熱放射の理論。Masius， M. 訳（第 2 版）。P. ブラキストンの息子 & Co. OL 7154661M。
プランク、M. (1915)。1909 年にコロンビア大学で行われた理論物理学に関する 8 つの講義 (PDF)。ウィルズ、APニューヨーク訳：コロンビア大学出版局。2020 年5 月 11 日に取得– Project Gutenberg 経由。
プランク、M. (1943)。””Zur Geschichte der Auffindung des physikalischen Wirkungsquantum””。ナトゥールヴィッセンシャフテン。31 (14–15): 153–159。ビブコード: 1943NW….31..153P。土井：10.1007/BF01475738。S2CID 44899488。
レイリー卿(1900)。「LIII. 完全放射の法則に関する解説」。哲学雑誌。シリーズ 5. 49 (301): 539–540。土井: 10.1080/14786440009463878。
レイリー卿(1905)。「ガスと放射線の力学理論」。自然。72 (1855): 54–55。Bibcode : 1905Natur..72…54R。土井：10.1038/072054c0。S2CID 4057048。
ラザヴィ、M. （2011)。ハイゼンベルクの量子力学。世界科学。ISBN 978-981-4304-10-8。
ルーベンス、H . Kurlbaum、F. (1900a)。「Über die Emission langer Wellen durch den schwarzen Körper」。Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft。2：181
ルーベンス、H . Kurlbaum、F. (1900b)。「Über die Emission langwelliger Wärmestrahlen durch den schwarzen Körper bei verschiedenen Tempen」。Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin : 929–941。ルーベンス、H.で翻訳
。Kurlbaum、F. (1901)。「異なる温度の黒体から放出される長波長の熱放射について」。天体物理学ジャーナル。14 : 335–348。ビブコード: 1901ApJ….14..335R。土井：10.1086/140874。
リビツキ、イギリス; AP通信ライトマン（1979年）。天体物理学における放射過程。ジョン・ワイリー＆サンズ。ISBN 978-0-471-82759-7。
シャーコフ、EA （2003)。「黒体放射」 (PDF)。地球のパッシブマイクロ波リモートセンシング。スプリンガー。ISBN 978-3-540-43946-2。
シフ、LI (1949)。量子力学。マグロウヒル。
シルマッハ、A. （2001)。実験理論: プランク前後のキルヒホッフの放射則の証明。Münchner Zentrum für Wissenschafts und Technikgeschichte。
シュウィンガー、J. （2001)。イングラート、B.-G. （編）。量子力学：原子測定の象徴性。スプリンガー。ISBN 978-3-540-41408-7。
スカリー，ミズーリ州; ミシシッピ州ズバイリー(1997)。量子光学。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-43458-4。
シーゲル、DM (1976)。「バルフォア・スチュワートとグスタフ・ロバート・キルヒホッフ：「キルヒホッフの放射線の法則」に対する 2 つの独立したアプローチ”. Isis . 67 (4): 565–600. doi : 10.1086/351669 . PMID 794025 . S2CID 37368520 .
シーゲル、Ｒ．ハウエル、JR （2002)。熱放射熱伝達、第 1 巻(第 4 版)。テイラー＆フランシス。ISBN 978-1-56032-839-1。
ゾンマーフェルト、A. (1923)。原子構造とスペクトル線。Brose， HL (翻訳) (第 3 ドイツ語版より)。メシュエン。
Stehle、P. (1994)。秩序、混沌、秩序。古典物理学から量子物理学への移行。オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-507513-7。
スチュワート、B. (1858)。「輻射熱に関するいくつかの実験の説明」。エディンバラ王立協会の取引。22：1～20。土井：10.1017/S0080456800031288。S2CID 122316368。
テル・ハール、D. (1967)。古い量子理論。ペルガモンプレス。LCCN 66-029628。
セントーサ州ソーントン。レックス、AF （2002)。現代物理学。トムソン学習。ISBN 978-0-03-006049-6。
ティサ、L. (1966)。一般化された熱力学。MIT を押します。
トンマシーニ、D. フェランド、F. ミシネル、H. セコ、M. （2008)。「エクサワットレーザーでの真空中の光子間散乱の検出」。物理的レビュー A . 77 (1): 042101. arXiv : quant-ph/0703076。ビブコード: 2008PhRvA..77a2101M。土井: 10.1103/PhysRevA.77.012101。
ティンダル、J. (1865a)。「ユーバー・ロイヒテンデとダンクル・シュトラルング」。物理学と化学のアナレン。200 (1): 36–53。Bibcode : 1865AnP…200…36T。土井：10.1002/andp.18652000103。
ティンダル、J. (1865b)。熱は運動モードとして考慮されます。D.アップルトン＆カンパニー。
ウィーン、W. (1896)。「放射スペクトルアイネスシュワルツェンケルパースからエネルギーを生み出す」。物理学と化学のアナレン。294 (8): 662–669。Bibcode : 1896AnP…294..662W。土井：10.1002/andp.18962940803。
アーヘン州ウィルソン (1957)。熱力学と統計力学。ケンブリッジ大学出版局。

外部リンク
放射線の概要
黒体の放射– プランクの法則を使ったインタラクティブなシミュレーション
プランクの法則に関するサイエンスワールドのエントリー · “