無限遠の平面 – 日本語百科事典辞書

Plane_at_infinity
射影幾何学では、無限遠平面は 3 次元射影空間の無限超平面、またはより高次元の射影空間の無限超平面に含まれる任意の平面です。、3 次元の場合のみを扱います。
コンテンツ
1 意味
2 分析表現
3 プロパティ
4 ノート
5 参考文献

意味
無限遠の平面を定義するには 2 つのアプローチがあり、射影 3 空間から始めるかアフィン 3 空間から始めるかによって異なります。
射影 3 空間が与えられた場合、無限遠の平面は空間の任意の区別された射影平面になります。この観点は、この平面が他の平面と幾何学的に異なっていないという事実を強調します。一方、アフィン 3 空間が与えられた場合、無限遠の平面は、入射特性の閉包を与えるためにアフィン 3 空間に追加される射影平面です。これは、無限遠にある平面の点はアフィン 3 空間の平行線が交わる点であり、線はアフィン3 空間の平行な平面が交わる線であることを意味します。加算の結果は射影 3 空間です。P 3
{ P^{3}}
$P^{3}""$
。この視点は、無限遠の平面の内部構造を強調しますが、空間の他の平面と比較してそれが「特別」に見えるようにします。
アフィン 3 空間が実数である場合、 3
{ mathbb {R} ^{3}}

、次に実射影平面を追加します。 R 2 { mathbb {R} P^{2}}

無限遠では実射影 3 空間が生成されます R 3 { mathbb {R} P^{3}}
分析表現

射影 3 空間内の任意の 2 つの射影平面は等しいため、無限遠にある平面上の任意の点が ( X : Y : Z :0)として表されるように同次座標系を選択できます。アフィン 3 空間内の任意の点は ( X : Y : Z :1)として表されます。無限遠の平面上の点には 3 つの自由度があるように見えますが、同次座標は再スケーリングまで同等です。(X : Y : Z : 0 ) ≡( あるX : あるY :
あるZ : 0 )
{ (X:Y:Z:0)equiv (aX:aY:aZ:0)}
座標 ( X : Y : Z :0) を正規化できるため、自由度が 2 に減ります (つまり、曲面、つまり射影平面)。
命題:原点(0:0:0:1) と点 ( X : Y : Z :1)を通る直線は、点 ( X : Y : Z :0)で無限遠の平面と交差します。
証明: 点 (0:0:0:1) と ( X : Y : Z :1)を通過する線は、指定された 2 つの点の線形結合である点で構成されます。
ある( 0: 0 : 0 : 1 ) + b :0 :1 :2 :3Z : 1 ) =( bX: b Y : b Z :
ある+ b
) { a(0:0:0:1)+b(X:Y:Z:1)=(bX:bY:bZ:a+b).}

そのような点が無限遠の平面上にあるためには、次のことが必要です。
ある+ b = 0
{ a+b=0}

。そこで、選択することで、
ある= − b
{ a=-b}

、ポイントを獲得します( bX: b Y : b Z : 0 ) :0 :1 :2 :3: Z : 0 )
{ (bX:bY:bZ:0)=(X:Y:Z:0)}

、要求に応じ。QED
3 空間内の平行線のペアは、無限遠の平面上の点で互いに交差します。また、3 空間内のすべての線は、固有の点で無限遠の平面と交差します。この点は、線の方向によってのみ決定されます。この点を決定するには、指定された線に平行であるが、線がまだ原点を通過していない場合は、原点を通過する線を考慮します。次に、この 2 番目の線上で原点以外の任意の点を選択します。この点の同次座標が ( X : Y : Z :1) の場合、1 番目と 2 番目の直線が両方とも通過する無限遠点の同次座標は ( X : Y : Z :0) になります。
例: 点 (0:0:1:1) と (3:0:1:1) を通る直線を考えます。平行線は点 (0:0:0:1) と (3:0:0:1) を通過します。この 2 番目の線は、点 (3:0:0:0) で無限遠の平面と交差します。ただし、最初の行はこの点も通過します。 λ ( 3: 0 : 1 : 1 ) + μ( 0: 0 : 1 : 1 )
{ lambda (3:0:1:1)+mu (0:0:1:1)}
= ( 3λ : 0 : λ + μ : λ λ0 λ1 λ2
{ =(3lambda :0:lambda +mu :lambda +mu )}
= ( 3: 0 : 0 : 0 )
{ =(3:0:0:0)}

いつλ + μ = 0
{ lambda +mu =0}
。■ アフィン 3 空間内の平行平面のペアは、無限遠平面内の射影線 (無限遠直線) で互いに交差します。また、アフィン 3 空間内のすべての平面は、固有の線で無限遠の平面と交差します。この線は、平面の方向によってのみ決定されます。

プロパティ
無限遠の平面は射影平面であるため、「球モジュロ対掌体」、つまり対蹠点が等価である球の表面と同相です: S 2 /{1，-1} ここで、商は次のように理解されます。グループアクションによる商 (商空間を参照)。

ノート
^ サミュエル 1988、p. 11
^ メサーブ 1983、p. 150
^ ウッズ 1961、p. 187

参考文献
バムクロット、ロバート J. (1969)、現代射影幾何学、ホルト、ラインハート、ウィンストン
ブルース E. メサーブ (1983) 、幾何学の基本概念、ドーバー、ISBN 0-486-63415-9
ダン・ペドー (1988) 、幾何学 / 総合コース、ドーバー、ISBN 0-486-65812-0
Samuel， Pierre (1988)、射影幾何学、数学における UTM Reading、Springer-Verlag、ISBN 0-387-96752-4
Woods、Frederick S. (1961) 、Higher Geometry / An Introduction to Advanced Methods in Analytic Geometry、Dover
エール大学、ポール B. (1968)、幾何学と対称性、ホールデンデイ”