Plane_(geometry)
「平面（ジオメトリ）」一般化については、「平面 (数学)」を参照してその応用については、「平面 (物理)」を参照して
数学では、ユークリッド平面は、 E 2で示される 2次元のユークリッド空間です。これは、各点の位置を決定するために2 つの実数が必要な幾何学的空間です。これはアフィン空間であり、特に平行線の概念が含まれます。また、円の定義や角度測定を可能にする距離によって引き起こされる計量特性も備えています。
二次元デカルト座標系 · 選択されたデカルト座標系を持つユークリッド平面は、デカルト平面と呼ばれます。セット 2
{ mathbb {R} ^{2}}
内積 を備えた実数のペア (実座標平面) は、すべてのユークリッド平面がユークリッド平面と同型であるため、よくユークリッド平面と呼ばれます。
コンテンツ
1 歴史
2 幾何学において
2.1 座標系 2.2 3次元空間への埋め込み 2.3 ポリトープ
2.3.1 凸型
2.3.2 縮退（球状）
2.3.3 非凸
2.4 丸 2.5 その他の形状
3 線形代数では
3.1 内積、角度、長さ
4 微積分学では
4.1 勾配 4.2 線積分と二重積分 4.3 線積分の基本定理 4.4 グリーンの定理
5 トポロジ内
6 グラフ理論では
7 こちらも参照
8 参考文献
8.1 引用された作品
歴史
参照:ユークリッド幾何学 § 歴史
ユークリッド原論の書籍 I から IV および VI は2 次元幾何学を扱い、形状の類似性、ピタゴラスの定理(命題 47)、角度と面積の等価性、平行度、三角形の角度の合計などの概念を発展させました。他の多くのトピックの中でも特に、三角形が「等しい」(同じ面積を持つ) 3 つのケースについて説明します。
その後、平面はいわゆるデカルト座標系で記述されるようになりました。この座標系は、数値座標のペアによって平面内の各点を一意に指定する座標系です。数値座標は、点から 2 本の固定垂直有向線までの符号付き距離であり、単位は で測定されます。同じ長さの単位。各基準線はシステムの座標軸または単に軸と呼ばれ、それらが交わる点がその原点であり、通常は順序対 (0， 0) に座標は、原点からの符号付き距離として表される、2 つの軸上への点の垂直投影の位置として定義することもできます。
このシステムのアイデアは 1637 年にデカルトの著作で開発され、ピエール ド フェルマーは独立して開発しましたが、フェルマーは 3 次元でも研究しており、この発見は公表しませんでした。どちらの著者も治療に単一の軸を使用し、この軸を基準にして測定された可変長を持っています。一対の軸を使用するという概念は、デカルトの『幾何学』が 1649 年にフランス ファン スホーテンとその生徒たちによってラテン語に翻訳された後、後に導入されました。これらの解説者は、デカルトの著作に含まれるアイデアを明確にしながら、いくつかの概念を導入しました。
その後、平面はフィールドとして考えられ、任意の 2 つの点を乗算したり、0 を除いて除算したりすることができます。これは複素平面として知られていました。複素平面は、アルガンド図で使用されるため、アルガン平面と呼ばれることもこれらはジャン=ロベール・アルガン(1768～1822)にちなんで名付けられましたが、最初に記載されたのはデンマークとノルウェーの土地測量士で数学者のカスパー・ヴェッセル(1745～1818)でした。アルガンド図は、複素平面内の関数の極と零点の位置をプロットするためによく使用されます。
幾何学において
参照:ユークリッド幾何学
座標系
詳細は「直交座標系」と「極座標系」を参照
「平面座標」座標平面と混同しないで
数学では、解析幾何学(デカルト幾何学とも呼ばれます) は、2 つの座標を使用して 2 次元空間内のすべての点を記述します。原点で互いに交差する2 つの直交する座標軸が与えられます。通常、それらにはxおよびyというラベルが付けられます。これらの軸を基準とした、2 次元空間内の任意の点の位置は、順序付けされた実数のペアによって与えられます。各数値は、指定された軸に沿って測定された原点からのその点の距離を示し、その距離はその点の距離に等しくなります。他の軸からのポイント。
もう 1 つの広く使用されている座標系は極座標系です。これは、原点からの距離と右向きの基準光線に対する角度によって点を指定します。
デカルト座標系
極座標系
3次元空間への埋め込み
このセクションは、 「3 次元空間のユークリッド平面」
からの抜粋です。
正規形の平面方程式
ユークリッド幾何学では、平面は無限に広がる平坦な2次元 表面です。ユークリッド平面は、多くの場合、3 次元空間の部分空間として発生します。
{ mathbb {R} ^{3}}
。典型的な例は、無限に拡張され、無限に薄いと想定される部屋の壁の 1 つです。実数のペアである一方で、R 2
{ mathbb {R} ^{2}}
平面上の点を記述するには十分ですが、面外の点との関係については、周囲空間への埋め込みについて特別な考慮が必要です。R 3
{ mathbb {R} ^{3}}
ポリトープ
詳細は「ポリゴン」を参照
2 次元には、無限に多くのポリトープ、つまりポリゴンが存在します。最初のいくつかの通常のものを以下に示します。
凸型
シュレーフリのシンボル{ n }
{ {n}}
正規のn角形を表します。
名前
三角形( 2 シンプレックス)
正方形( 2 直交錯体) ( 2 立方体)
五角形 六角形 ヘプタゴン オクタゴン
シュレーフリのシンボル {3} {4} {5} {6} {7} {8} 画像
名前
九角形 デカゴン ヘンデカゴン 十二角形 トリデカゴン 14角形
シュレーフリ {9} {10} {11} {12} {13} {14}
画像
名前
五角形 ヘキサデカゴン 七角形 八角形 エネアデカゴン イコサゴン ・・・んごん
シュレーフリ {15} {16} {17} {18} {19} {20}
{ n }
画像
縮退（球状）
正単角形(または六角形) {1} と正二角形{2} は、縮退正多角形と考えることができ、 2 球、2 トーラス、または直円柱 のような非ユークリッド空間に非縮退的に存在します。
名前
モノゴン ディゴン
シュレーフリ {1} {2} 画像
非凸
2 次元には無限に多くの非凸正多面体が存在し、そのシュレーフリ記号は有理数 {n/m} で構成されます。これらは星形多角形と呼ばれ、凸正多角形と同じ頂点配置を共有しています。
一般に、任意の自然数 n に対して、m < n / 2 (厳密に言えば{ n / m } = { n / ( n − m )})、mとnは互いに素です。
名前
五芒星 七芒星 オクタグラム エニアグラム デカグラム … n-agram
シュレーフリ {5/2}
{7/2}
{7/3}
{8/3}
{9/2}
{9/4}
{10/3}
{ n/m }
画像
丸
詳細は「サークル」を参照
2 次元の超球は円であり、1次元多様体であるため、1 球 ( S 1 ) と呼ばれることもユークリッド平面では、長さは 2π rで、内部の面積は次のようになります。あ = π r 2
{ A=pi r^{2}}
どこ r { r}
は半径です。
その他の形状
詳細は「2次元幾何学的形状のリスト」を参照
2 次元には他にも無限の曲線形状があり、特に円錐部分(楕円、放物線、双曲線)が含まれます。
線形代数では
2 次元空間を数学的に見るもう 1 つの方法は、線形代数にあり、独立性の考え方が重要です。長方形の長さは幅とは無関係であるため、平面には 2 つの次元が線形代数の技術用語では、平面内のすべての点は 2 つの独立したベクトルの線形結合で記述できるため、平面は 2 次元となります。
内積、角度、長さ
詳細は「内積」を参照
2 つのベクトルA = とB = の内積は次のように定義されます。 あ ⋅ B =あ 1 B 1 + あ 2 B 2
{ mathbf {A} cdot mathbf {B} =A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}}
ベクトルは矢印として表現できます。その大きさはその長さであり、その方向は矢印が指す方向です。ベクトルAの大きさは次のように表されます。‖ あ ‖
{ |mathbf {A} |}
。この観点から、2 つのユークリッド ベクトルAとBの内積はで定義されます。 あ ⋅ B =‖ あ
‖‖ B ‖ コス
θ { mathbf {A} cdot mathbf {B} =|mathbf {A} |，|mathbf {B} |cos theta ，}