面応力

Plane_stress
連続力学では、特定の平面上で応力ベクトルがゼロの場合、材料は平面応力を受けていると言われます。薄板の場合によくあることですが、そのような状況が構造の要素全体にわたって発生する場合、応力状態は 2 次元のテンソル(むしろ 2×2 行列として表現できる)で表すことができるため、応力解析が大幅に簡素化されます。 3×3より）。関連する概念である平面ひずみは、非常に厚い部材に適用できることがよく
図 7.1 連続体における面応力状態。
平面応力は通常、プレートに平行な荷重のみが作用する薄い平らなプレートで発生します。特定の状況では、応力解析の目的で、緩やかに湾曲した薄板にも平面応力があると想定される場合がこれは、たとえば、圧力のかかった流体で満たされた薄壁のシリンダーの場合です。このような場合、プレートに垂直な応力成分は、プレートに平行な応力成分に比べて無視できます。
ただし、他の状況では、薄板の曲げ応力が無視できません。2 次元領域を使用することで解析を簡素化することはできますが、各点の平面応力テンソルを曲げ項で補完する必要が

コンテンツ
1 数学的定義
2 構成方程式
3 曲面における平面応力
4 平面ひずみ（ひずみマトリックス）
5 面応力と面ひずみにおける応力変換
6 こちらも参照
7 参考文献

数学的定義
数学的には、3 つの主応力(コーシー応力テンソルの固有値) の 1 つが 0の場合、材料のある点の応力は平面応力になります。つまり、応力テンソルが次の形式を持つデカルト座標系がσ =
[ σ11 0 0 0
σ22 0 0 0 0】 ≡
[ σX0 0 0 σ y0 0 0 0 】 { sigma ={begin{bmatrix}sigma _{11}&0&0\0&sigma _{22}&0\0&0&0end{bmatrix}}equiv {begin{bmatrix}sigma _{ x}&0&0\0&sigma _{y}&0\0&0&0end{bmatrix}}}
& 0
& 0end{bmatrix} equiv begin{bmatrix}sigma_{x} & 0 & 0 \0 & sigma_{y} & 0 \0
& 0
& 0end{bmatrix}””>
たとえば、長さ 10、40、および 5 cmの材料の長方形のブロックを考えてみましょう。X
{ x}
y
{ y}

、 と z { z}

、で引き伸ばされています。X
{ x}

方向に圧縮され、 y { y}

それぞれ、大きさが 10 Nと 20 Nの対向する力のペアによって、対応する面に均一に分布します。ブロック内の応力テンソルは次のようになります。σ =
[ 500 P ある0 0 0− 4000 P
ある0 0 0 0 】 { sigma ={begin{bmatrix}500mathrm {Pa} &0&0\0&-4000mathrm {Pa} &0\0&0&0end{bmatrix}}}
& 0
& 0end{bmatrix}””>
より一般的には、最初の 2 つの座標軸を任意に、しかしゼロ応力の方向に垂直に選択すると、応力テンソルは次の形式になります。σ =
[ σ11 12 0
σ21 22 0 0 0 0】 ≡
[ σXX y 0 τ yX σ y0 0 0 0 】 { sigma ={begin{bmatrix}sigma _{11}&sigma _{12}&0\sigma _{21}&sigma _{22}&0\0&0&0end{bmatrix} }equiv {begin{bmatrix}sigma _{x}&tau _{xy}&0\tau _{yx}&sigma _{y}&0\0&0&0end{bmatrix}}}
& 0
& 0end{bmatrix} equiv begin{bmatrix}sigma_{x} & tau_{xy} & 0 \tau_{yx} & sigma_{y} & 0 \0
& 0
& 0end{bmatrix}””>
したがって、2 × 2 行列で表すことができます。σ I j =
[ σ11 12
σ21 22】 ≡
[ σXX y τ yX
σy 】
{ sigma _{ij}={begin{bmatrix}sigma _{11}&sigma _{12}\sigma _{21}&sigma _{22}end{bmatrix}} equiv {begin{bmatrix}sigma _{x}&tau _{xy}\tau _{yx}&sigma _{y}end{bmatrix}}}

構成方程式
フックの法則#Plane_stress を参照して

曲面における平面応力
場合によっては、平面応力モデルは緩やかな曲面の解析に使用できます。たとえば、リムに沿って均一に分布した軸方向の圧縮荷重を受け、加圧流体で満たされた薄壁のシリンダを考えてみましょう。内部圧力により、壁に反力フープ応力、つまりシリンダー軸に垂直で表面の接線方向に向けられた垂直引張応力が生成されます。シリンダーは概念的に展開され、プレートに平行な一方向の引張荷重と別の方向の圧縮荷重を受ける平らで薄い長方形のプレートとして解析できます。

平面ひずみ（ひずみマトリックス）

図 7.2 連続体における平面ひずみの状態。
詳細は「微小ひずみ理論」を参照
1 つの寸法が他の寸法に比べて非常に大きい場合、最も長い寸法の方向の主ひずみは制限され、一定であると仮定できます。つまり、その方向に沿ったひずみは事実上ゼロになり、したがって平面ひずみ条件が得られます (図 7.2) 。）。この場合、すべての主応力はゼロではありませんが、最長寸法方向の主応力は計算上無視できます。したがって、応力の 2 次元解析が可能になります。たとえば、貯水池によって負荷がかかる断面で解析されるダムなどです。
対応するひずみテンソルは次のとおりです。ε I j =
[ ε11 12 0
ε21 22 0 0 0 0 】 { varepsilon _{ij}={begin{bmatrix}varepsilon _{11}&varepsilon _{12}&0\varepsilon _{21}&varepsilon _{22}&0\0&0&0終了{bmatrix}}，!}

対応する応力テンソルは次のとおりです。σ I j =
[ σ11 12 0
σ21 22 0 0 0σ 33 】
{ sigma _{ij}={begin{bmatrix}sigma _{11}&sigma _{12}&0\sigma _{21}&sigma _{22}&0\0&0&シグマ _{33}end{bmatrix}}，!}

ここで、非ゼロσ 33
{ sigma _{33}，!}

この用語はポアソン効果から生じます。ただし、この項を応力解析から一時的に削除して面内項のみを残し、事実上解析を 2 次元に減らすことができます。

面応力と面ひずみにおける応力変換
ポイントを考慮してください P { P，!}

応力成分を伴う平面応力または平面ひずみの状態の連続体内( σX σ
y τX y) { (sigma _{x}，sigma _{y}，tau _{xy})，!}

他のすべての応力成分はゼロに等しい (図 8.1)。微小な材料要素の静的平衡から P { P，!}
(図 8.2)、垂直応力σ n
{ sigma _{mathrm {n} }，!}

そしてせん断応力τ n
{ tau _{mathrm {n} }，!}

に垂直な任意の平面上で、X
{ x，!}
– y
{ y，!}

通過する飛行機 P { P，!}

単位ベクトルを使用して n { mathbf {n} ，!}

角度を付ける θ { theta ，!}

水平方向、つまり
コス θ { cos theta ，!}

は方向余弦です。X
{ x，!}

方向は次のように与えられます。σ n =1 2 ( σX+ σ y ) +1 2 ( σX− σ y )
コス2 θ + τX y sin 2 θ
{ sigma _{mathrm {n} }={frac {1}{2}}(sigma _{x}+sigma _{y})+{frac {1}{2}} (sigma _{x}-sigma _{y})cos 2theta +tau _{xy}sin 2theta ，!}
τ n =
−1 2( σX− σ y ) sin 2 θ + τX y
コス2 θ
{ tau _{mathrm {n} }=-{frac {1}{2}}(sigma _{x}-sigma _{y})sin 2theta +tau _{ xy}cos 2theta ，!}

これらの方程式は、平面応力または平面ひずみ条件において、全方向の点における応力成分を、つまり次の関数として決定できることを示しています。 θ { theta ，!}

応力成分がわかっていれば( σX σ
y τX y) { (sigma _{x}，sigma _{y}，tau _{xy})，!}

その時点での任意の 2 つの直交方向。無限小要素の単位面積を、平面に平行な方向に考慮していることを覚えておくことが重要です。 y { y，!}
– z
{ z，!}

飛行機。

図 8.1 – 平面応力条件下での連続体のある点での応力変形。

図 8.2 – 平面応力条件下での連続体の点を通過する平面での応力成分。
主方向 (図 8.3)、つまり、せん断応力成分がゼロになる平面の方向は、せん断応力に関する前述の式を作成することで取得できます。τ n
{ tau _{mathrm {n} }，!}

ゼロに等しい。したがって、次のようになります。τ n =
−1 2( σX− σ y ) sin 2 θ + τX y
コス2 θ = 0
{ tau _{mathrm {n} }=-{frac {1}{2}}(sigma _{x}-sigma _{y})sin 2theta +tau _{ xy}cos 2theta =0，!}

そして私たちは得る
黄褐色2 θ p = 2 τX y σX − 20 21
{ tan 2theta _{mathrm {p} }={frac {2tau _{xy}}{sigma _{x}-sigma _{y}}}，!}

この方程式は 2 つの値を定義しますθ p
{ theta _{mathrm {p} }，!}

それは90 ○
{ 90^{circ }，!}

離れてください (図 8.3)。角度を求めても同じ結果が得られます θ { theta ，!}

それが通常のストレスを生みますσ n
{ sigma _{mathrm {n} }，!}

最大値、つまり d σn d θ = 0
{ {frac {dsigma _{mathrm {n} }}{dtheta }}=0，!}

主なストレスσ 1
{ sigma _{1}，!}
と σ 2
{ sigma _{2}，!}

、または最小および最大垂直応力 σ メートル
あるX
{ sigma _{mathrm {max} }，!}
と σ
メートルI n
{ sigma _{mathrm {分} }，!}

の両方の値を置き換えることで、それぞれを取得できます。θ p
{ theta _{mathrm {p} }，!}

前の式に代入すると、σ n
{ sigma _{mathrm {n} }，!}

。これは、次の方程式を整理することで実現できます。σ n
{ sigma _{mathrm {n} }，!}
と τ n
{ tau _{mathrm {n} }，!}

まず最初の方程式の最初の項を転置し、各方程式の両辺を二乗してから加算します。したがって、私たちは
[ σ n −1 2( σX+ σ y ) 】 2 + τ n +0 +1
[ 1 2 ( σX− σ y ) 】 2 + τX y −0
{ left[sigma _{mathrm {n} }-{tfrac {1}{2}}(sigma _{x}+sigma _{y})right]^{2}+ tau _{mathrm {n} }^{2}=left[{tfrac {1}{2}}(sigma _{x}-sigma _{y})right]^{2} +タウ _{xy}^{2}，!}
( σn − σ
あるv g ) 2 + τ n 2 = v0 v1
{ (sigma _{mathrm {n} }-sigma _{mathrm {avg} })^{2}+tau _{mathrm {n} }^{2}=R^{2 }，!}

どこR =
[ 1 2 ( σX
−σ y)
】2 X y 2 と σ
あるv g =1 2 ( σX+ σ y )
{ R={sqrt {left[{tfrac {1}{2}}(sigma _{x}-sigma _{y})right]^{2}+tau _{xy }^{2}}}quad {text{and}}quad sigma _{mathrm {avg} }={tfrac {1}{2}}(sigma _{x}+sigma _ {y})，!}

これは半径の円の方程式です R { R，!}

座標のある点を中心とする
[ σ
あるv g 0 】
{ [sigma _{mathrm {avg} }，0]，!}

、モール円と呼ばれます。しかし、主応力にせん断応力がかかることを知っていると、τ n = 0
{ tau _{mathrm {n} }=0，!}

、そして、この方程式から次のことが得られます。σ 1 = σ
メートル
あるX =1 2 ( σX+ σ y ) +
[ 1 2 ( σX
−σ y)
】2 X y 2
{ sigma _{1}=sigma _{mathrm {max} }={tfrac {1}{2}}(sigma _{x}+sigma _{y})+{sqrt {left[{tfrac {1}{2}}(sigma _{x}-sigma _{y})right]^{2}+tau _{xy}^{2}}} 、!}
2= σ
メートルI n =1 2 ( σX+ σ y ) −
[ 1 2 ( σX
−σ y)
】2 X y 2
{ sigma _{2}=sigma _{mathrm {min} }={tfrac {1}{2}}(sigma _{x}+sigma _{y})-{sqrt {left[{tfrac {1}{2}}(sigma _{x}-sigma _{y})right]^{2}+tau _{xy}^{2}}} 、!}


図 8.3 – 2 次元での応力の変換。主応力の作用面と最大および最小のせん断応力を示します。
いつτX y 0
{ tau _{xy}=0，!}

微小要素は主面の方向に配向されているため、長方形要素に作用する応力は主応力です。 σX =σ 1
{ sigma _{x}=sigma _{1}，!}
と σ y=σ 2
{ sigma _{y}=sigma _{2}，!}

。すると、通常のストレスがσ n
{ sigma _{mathrm {n} }，!}

とせん断応力τ n
{ tau _{mathrm {n} }，!}

主応力の関数として次のように決定できます。τX y 0
{ tau _{xy}=0，!}

。したがって、私たちはσ n =1 2 ( σ1 + σ 2 ) +1 2 ( σ1 − σ 2 )
コス2 θ
{ sigma _{mathrm {n} }={frac {1}{2}}(sigma _{1}+sigma _{2})+{frac {1}{2}} (sigma _{1}-sigma _{2})cos 2theta ，!}
τ n =
−1 2( σ1 − σ 2 ) sin 2 θ
{ tau _{mathrm {n} }=-{frac {1}{2}}(sigma _{1}-sigma _{2})sin 2theta ，!}

次に、最大せん断応力 τ メートル
あるX
{ tau _{mathrm {max} }，!}

発生するときsin 2 θ = 1
{ sin 2theta =1，!}

、つまりθ = 45 ○
{ theta =45^{circ }，!}
(図 8.3): τ メートル
あるX =1 2 ( σ1 − σ 2 )
{ tau _{mathrm {max} }={frac {1}{2}}(sigma _{1}-sigma _{2})，!}

次に、最小せん断応力 τ メートルI n
{ tau _{mathrm {min} }，!}

発生するときsin 2 θ = − 1
{ sin 2theta =-1，!}

、つまりθ = 135 ○
{ theta =135^{circ }，!}
(図 8.3): τ メートルI n =
−1 2( σ1 − σ 2 )
{ tau _{mathrm {min} }=-{frac {1}{2}}(sigma _{1}-sigma _{2})，!}

こちらも参照
平面ひずみ

参考文献
^ マイヤーズとチャウラ (1999): 「材料の機械的挙動」、66-75。”