平面波

Plane_wave
物理学において、平面波は波または場の特殊なケースです。つまり、空間内の固定方向に垂直などの平面でもその値がいつでも一定である物理量です。
どのポジションでもX
{ {vec {x}}}
いつでも、どんな空間でも t { t}
、そのようなフィールドの値は次のように書くことができます。F (X t ) = G (X ⋅ n F0
) { F({vec {x}}，t)=G({vec {x}}cdot {vec {n}}，t)，}
どこ n { {vec {n}}}
は単位長ベクトル、および G ( d t ) { G(d，t)}
は、フィールドの値を 2 つの実際のパラメータのみに依存するものとして与える関数です: 時間 t { t}
、およびスカラー値の変位d =X ⋅ n
{ d={vec {x}}cdot {vec {n}}}
ポイントのX
{ {vec {x}}}
方向に沿って n { {vec {n}}}
。変位は、垂直な各平面上で一定です。 n { {vec {n}}} フィールドの値 F { F}
スカラー、ベクトル、またはその他の物理量または数学的量を指定できます。複素指数平面波のように、複素数にすることもできます。
の値が F { F}
がベクトルであり、ベクトルが常にベクトルと同一線上にある場合、その波は縦波であると言われます。 n { {vec {n}}}
、常に直交（垂直）している場合は横波です。
コンテンツ
1 特殊なタイプ
1.1 進行する平面波 1.2 正弦波平面波 1.3 平面定在波
2 プロパティ
3 こちらも参照
4 参考文献
5 情報源

特殊なタイプ

進行する平面波

3空間を伝わる平面波の波面
多くの場合、「平面波」という用語は、特に進行する平面波を指します。その時間の経過に伴う変化は、一定の波速での場の単純な変換として説明できます。 c { c}

波面に垂直な方向に沿って。このようなフィールドは次のように書くことができますF (X t ) = G (X ⋅ n F0 F1 F2 F3
{ F({vec {x}}，t)=Gleft({vec {x}}cdot {vec {n}}-ctright)，}

どこ G ( あなた ) { G(u)}

は単一の実数パラメータの関数になりました
あなた= d − c t
{ u=d-ct}

、波の「プロファイル」、つまり時間におけるフィールドの値を記述します。t = 0
{ t=0}

、変位ごとにd =X ⋅ n
{ d={vec {x}}cdot {vec {n}}}

。その場合、 n { {vec {n}}}

は伝播方向と呼ばれます。変位ごとに d { d}

、に垂直な移動平面 n { {vec {n}}}

遠くでd + c t
{ d+ct}

原点からの距離は「波面」と呼ばれます。この平面は伝播方向に沿って移動します n { {vec {n}}}

速度とともに c { c}

; そして、フィールドの値は、そのすべての点で同じであり、時間の経過とともに一定になります。

正弦波平面波
詳細は「正弦波平面波」を参照
この用語は、さらに具体的には、「単色」または正弦波平面波、つまりそのプロファイルを持つ進行平面波を意味するためにも使用されます。 G ( あなた ) { G(u)}

は正弦関数です。あれは、F (X t ) = あ
sin( 2π f (X ⋅ n − c t ) π0 π1 π2
{ F({vec {x}}，t)=Asin left(2pi f({vec {x}}cdot {vec {n}}-ct)+varphi 右）、}

パラメータ あ { A}

はスカラーまたはベクトルであり、波の振幅と呼ばれます。スカラー係数 f { f}

はその「空間周波数」です。そしてスカラー φ { varphi }

それはその「位相」です。
真の平面波はすべての空間を満たさなければならないため、物理的に存在することはできません。それにもかかわらず、平面波モデルは重要であり、物理学で広く使用されています。空間の大きな均一な領域に有限の広がりを持ったソースから放射される波は、ソースからの距離に比べて十分に小さい領域の任意の部分で見ると、平面波でよく近似できます。たとえば、遠くの星から望遠鏡に届く光波がこれに該当します。

平面定在波
定在波は、その値が 2 つの関数の積として表現できる場であり、1 つは位置のみに依存し、もう 1 つは時間のみに依存します。特に平面定在波は次のように表すことができます。F (X t ) = G (X ⋅ n F0 F1( t ) { F({vec {x}}，t)=G({vec {x}}cdot {vec {n}})，S(t)}

どこ G { G}

は 1 つのスカラー パラメータ (変位) の関数です。d =X ⋅ n
{ d={vec {x}}cdot {vec {n}}}

) スカラー値またはベクトル値、および S { S}

は時間のスカラー関数です。
次の場合には同じフィールド値が取得されるため、この表現は一意ではありません。 S { S}
と G
{ G}

逆数係数によってスケールされます。もしも| S( t) |
{ |S(t)|}

対象の時間間隔内に制限されている (物理的なコンテキストでは通常これが当てはまります)、 S { S}
と G
{ G}

の最大値が最大になるようにスケーリングできます。| S( t) |
{ |S(t)|}

は 1 です。| G (X ⋅ n ) |
{ |G({vec {x}}cdot {vec {n}})|}

その点で見られる最大磁場の大きさになりますX
{ {vec {x}}}
プロパティ

平面波は、方向ベクトルに垂直な方向を無視して調べることができます。 n { {vec {n}}}

; つまり、関数を考慮すると、 G ( z t) = F( zn t )
{ G(z，t)=F(z{vec {n}}，t)}

一次元媒体内の波として。
線形かどうかにかかわらず、ローカル演算子を平面波に適用すると、平面波が生成されます。同じ法線ベクトルを持つ平面波の線形結合 n { {vec {n}}}

も平面波です。
2 次元または 3 次元のスカラー平面波の場合、場の勾配は常に方向と同一線上に n { {vec {n}}}

; 具体的には、∇ F (X t ) =
n 1 (X ⋅ n t )
{ nabla F({vec {x}}，t)={vec {n}}partial _{1}G({vec {x}}cdot {vec {n}}， t)}

、 どこ
∂1
{ partial _{1}G}

の偏導関数です G { G}

最初の引数に関して。
ベクトル値の平面波の発散はベクトルの射影のみに依存します。 G ( d t ) { G(d，t)}

方向 n { {vec {n}}}

。具体的には、( ∇⋅ F ) (X t ) = n ⋅ ⋅0 ⋅1 ⋅2 ⋅3⋅ n t )
{ (nabla cdot F)({vec {x}}，t);=;{vec {n}}cdot partial _{1}G({vec {x}} cdot {vec {n}}，t)}

特に、横方向の平面波は次の条件を満たします。∇ ⋅ F = 0
{ nabla cdot F=0}

すべてのためにX
{ {vec {x}}}
と t
{ t}
こちらも参照

平面波 平面波展開
直線伝播
波動方程式
ワイル展開

参考文献
^ ブレホフスキフ 1980、p. 1-3. ^ ジャクソン、1998、p. 296.

情報源
Brekhovskikh、L. (1980)。レイヤードメディアの波(第 2 版)。ニューヨーク：アカデミックプレス。ISBN 9780323161626。
ジャクソン、ジョン・デヴィッド(1998)。古典電気力学(第 3 版)。ニューヨーク:ワイリー。ISBN 9780471309321。”