Plane_wave_expansion
物理学では、平面波展開は、平面波を球面波の線形結合として表します。e I k
⋅r = ∑ ℓ =0 ( 2ℓ + 1 ) I ℓ j ℓ( kr ) P ℓ ( k ^ ⋅ r ^ ){ e^{imathbf {k} cdot mathbf {r} }=sum _{ell =0}^{infty }(2ell +1)i^{ell }j_{ ell }(kr)P_{ell }({hat {mathbf {k} }}cdot {hat {mathbf {r} }})，}
どこ
iは虚数単位です。
kは長さkの波数ベクトルです。
rは長さrの位置ベクトルです。
j ℓは球面ベッセル関数、
P ℓはルジャンドル多項式であり、
ハット^は単位ベクトルを表します。
k がz軸と整列している特殊なケースでは 、e I k r
コスθ = ∑ ℓ =0 ( 2ℓ + 1 ) I ℓ j ℓ( kr ) P ℓ( コス θ ){ e^{ikrcos theta }=sum _{ell =0}^{infty }(2ell +1)i^{ell }j_{ell }(kr)P_{ ell }(cos theta )，}
ここで、θ はrの球面極角です。
コンテンツ
1 球面調和関数の展開
2 アプリケーション
3 こちらも参照
4 参考文献
球面調和関数の展開
球面調和加算定理を使用すると、方程式は次のように書き換えることができます。e I k
⋅r = 4 π ∑ ℓ=0 ∑ メートル= − ℓ
ℓI ℓ j ℓ( kr ) Y ℓ
メートル ( k ^ )Y ℓ
メートル ∗ ( r
^ ){ e^{imathbf {k} cdot mathbf {r} }=4pi sum _{ell =0}^{infty }sum _{m=-ell }^{ ell }i^{ell }j_{ell }(kr)Y_{ell }^{m}{}({hat {mathbf {k} }})Y_{ell }^{m* }({hat {mathbf {r} }})，}
どこ
Y ℓ mは球面調和関数であり、
上付き文字* は複素共役を表します。
対称性により、複素共役は 2 つの球面調和関数間で交換できることに注意して
アプリケーション
平面波展開は次のように適用されます。 音響 光学
Sマトリックス
こちらも参照
ヘルムホルツ方程式
計算電磁気学における平面波展開法
ワイル展開
参考文献
数学関数デジタル ライブラリ、式 10.60.7、国立標準技術研究所
Rami Mehrem （2009)、「平面波展開、球面ベッセル関数を含む無限積分と恒等式」、arXiv : 0909.0494、Bibcode : 2009arXiv0909.0494M
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