Prandtl%E2%80%93Batchelor_theorem
流体力学におけるプラントル・バチェラーの定理は、高レイノルズ数の二次元層流で閉じた流線が発生する場合、閉じた流線領域の渦度は一定でなければならないと述べています。同様のことが軸対称の流れにも当てはまります。この定理は、ルートヴィヒ プラントルとジョージ バチェラーにちなんで名付けられました。プラントルは1904 年の有名な論文でこの定理を議論の中で述べました。 ジョージ・バチェラーはこの研究を知らなかったが 1956 年に定理を証明しました この問題は同じ年にリチャード・ファインマンとパコ・ラガーストロームおよび 1957 年の WW ウッド著
数学的証明
高いレイノルズ数では、オイラー方程式はストリーム関数の問題を解くことになります。∇ 2 ψ = − ω( ψ
) ψ= ψ
ああ
の上 ∂ D { nabla ^{2}psi =-omega (psi )，quad psi =psi _{o}{text{ }}partial D.}
現状では、渦度分布が次のように設定されているため、この問題は不適切に設定されています。 ω ( ψ ) { omega (psi )}
には無限の数の可能性があり、そのすべてが方程式と境界条件を満たします。流線が閉じていない場合、これは当てはまりません。その場合、すべての流線を無限に遡ることができます。 ω ( ψ ) { omega (psi )}
処方されるものと思われます。この困難は、高いレイノルズ数の流れの中に閉じた流線が発生する場合にのみ発生します。 ω ( ψ ) { omega (psi )}
は一意に定義され定理は次のように主張します ω ( ψ ) { omega (psi )}
このような場合、制限プロセスを調べることによって一意に定義されます。R e ∞
{ Rerightarrow infty }
ちゃんと。
2 次元の流れでは、唯一の非ゼロ成分は z 方向にこの場合の定常の無次元渦度方程式は次のようになります。
あなた
⋅ ∇ ω 1 e ∇ 2
ω { mathbf {u} cdot nabla mathbf {omega } ={frac {1}{mathrm {Re} }}nabla ^{2}omega .}
面上で方程式を積分します S { S}
閉じた流線があり、閉じた等高線で囲まれた領域に完全に存在する C { C}
∫ S
あなた
⋅∇ ω d S 1 e ∫ S ∇ 2 ω d
S { int _{S}mathbf {u} cdot nabla mathbf {omega } ，dmathbf {S} ={frac {1}{mathrm {Re} }}int _ {S}nabla ^{2}omega ，dmathbf {S} .}
左辺項の被積分関数は次のように書くことができます。∇ ⋅( ω
あなた ) { nabla cdot (omega mathbf {u} )}
以来∇ ⋅
あなた= 0
{ nabla cdot mathbf {u} =0}
。発散定理により、次のようになります。∮ C ω
あなた
⋅ n d I =1 e ∮ C ∇ ω ⋅ n d I { oint _{C}omega mathbf {u} cdot mathbf {n} dl={frac {1}{mathrm {Re} }}oint _{C}nabla omega cdot mathbf {n} dl.}
どこ n { mathbf {n} }
等高線要素に垂直な外向きの単位ベクトルですd I
{ dl}
。等高線の場合、左側の被積分関数をゼロにすることができます。 C { C}
輪郭に垂直に投影された速度ベクトルはゼロになるため、閉じた流線の 1 つとみなされます。つまり、
あなた⋅ n = 0
{ mathbf {u} cdot mathbf {n} =0}
。したがって、次のようになります1 e ∮ C ∇ ω ⋅ n
d I = 0
{ {frac {1}{mathrm {Re} }}oint _{C}nabla omega cdot mathbf {n} dl=0}
以前に粘性項を無視していないため、この式は有限ではあるが大きなレイノルズ数に当てはまります。
二次元の非粘性流れとは異なり、ω = ω( ψ ) { omega =omega (psi )}
以来
あなた⋅ ∇ ω = 0
{ mathbf {u} cdot nabla omega =0}
関数形式に制限はありません ω { omega }
粘性のある流れの中で、ω ≠ ω( ψ ) { omega neq omega (psi )}
。しかし、大きくても有限なものにR e { mathrm {再} }
、 我々は書けるω = ω( ψ) + s
メートル
あるI 私 c
ああr r e c t I
ああn s
{ omega =omega (psi )+{rm {小さな 修正}}}
、そしてレイノルズ数が増加するにつれて、この小さな補正はますます小さくなります。したがって、限界内では、R e ∞
{ mathrm {再} rightarrow infty }
、最初の近似 (小さな修正を無視) では、次のようになります。1 e ∮ C ∇ ω ⋅ n
d I=1 e ∮ C d ω
dψ ∇ ψ ⋅ n
d I = 0.
{ {frac {1}{mathrm {Re} }}oint _{C}nabla omega cdot mathbf {n} dl={frac {1}{mathrm {Re} } }oint _{C}{frac {domega }{dpsi }}nabla psi cdot mathbf {n} dl=0.}
以来d ω / d ψ
{ domega /dpsi }
が与えられた流線に対して一定である場合、その項を積分の外に取り出すことができます。1 e d ω
dψ ∮ C ∇ ψ ⋅ n
d I = 0.
{ {frac {1}{mathrm {Re} }}{frac {domega }{dpsi }}oint _{C}nabla psi cdot mathbf {n} dl =0.}
積分が循環の負であることに気づくかもしれません。Γ = − ∮ C あなた ⋅d I=− ∫ S ω d S=∫ S ∇ 2 ψ d S=∮ C ∇ ψ ⋅ n
d I { Gamma =-oint _{C}mathbf {u} cdot dmathbf {l} =-int _{S}omega dmathbf {S} =int _{S} nabla ^{2}psi dmathbf {S} =oint _{C}nabla psi cdot mathbf {n} dl}
ここでは循環にストークスの定理を使用しました。ω = −
∇2
{ omega =-nabla ^{2}psi }
。したがって、私たちは、 Γ Re d ω
dψ = 0.
{ {frac {Gamma }{mathrm {Re} }}{frac {domega }{dpsi }}=0.}
これらの閉じた流線の周りの循環はゼロではありません (流線の各点での速度がゼロであり、流線を横切る不連続な渦度ジャンプが発生する可能性がある場合を除く)。上の方程式が満たされる唯一の方法は、次の場合のみです。
d ω dψ =
0 { {frac {domega }{dpsi }}=0，}
つまり、渦度はこれらの閉じた流線全体では変化していないため、定理が証明されています。もちろん、この定理は境界層領域内では有効ではありません。この定理はオイラー方程式から導出することができません。
参考文献
^ プラントル、L. (1904)。Über Flussigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung です。ヴェルハンドル。Ⅲ、インターナショナル。Math.-Kong.、ハイデルベルク、トイブナー、ライプツィヒ、1904 年、484–491。
^ バチェラー、GK (1956)。大きなレイノルズ数で閉じた流線を持つ定常層流上。流体力学ジャーナル、1(2)、177–190。
^ ペンシルベニア州デイビッドソン （2016)。磁気流体力学入門 (Vol. 55)。ケンブリッジ大学出版局。
^ ファインマン、RP、ラガーストローム、ペンシルバニア州 (1956)。有限領域における高レイノルズ数の流れについての解説。プロセスで。IX 国際応用力学会議 (Vol. 3、pp. 342-343)。
^ ウッド、WW (1957)。流線が閉じた境界層。流体力学ジャーナル、2(1)、77-87。
^ ペンシルバニア州ラガーストロム (1975)。大きなレイノルズ数でのナビエ・ストークス方程式の解。応用数学に関する SIAM ジャーナル、28(1)、202-214。”