Prandtl_number
「プラントル番号」 –
プラントル数( Pr ) またはプラントル群は、ドイツの物理学者ルートヴィヒ プラントルにちなんで名付けられた無次元数で、運動量拡散率と熱拡散率の比として定義されます。プラントル数は次のように与えられます。P r=ν α =
運動量の拡散率
熱拡散率= μ / ρ
k / ( cp ρ ) = c p μ k
{ mathrm {Pr} ={frac {nu }{alpha }}={frac {mbox{運動量拡散率}}{mbox{熱拡散率}}}={frac {mu / rho }{k/(c_{p}rho )}}={frac {c_{p}mu }{k}}}
どこ： ν { nu }
: 運動量拡散率 (動粘度)、ν = μ / ρ { nu =mu /rho }
、（SI単位：m 2 /s） α { alpha }
:熱拡散率、α = k /( ρc p )
{ alpha =k/(rho c_{p})}
、(SI 単位: m 2 /s) μ { mu }
:動粘度、(SI 単位: Pa s = N s/m 2 ) k { k}
：熱伝導率、（SI単位：W/(m・K)）c p
{ c_{p}}
：比熱、（SI単位：J/(kg・K)） ρ { rho }
:密度、(SI 単位: kg/m 3 )。
レイノルズ数とグラスホフ数にはスケール変数が添え字として付けられていますが、プラントル数にはそのような長さのスケールは含まれず、流体と流体の状態のみに依存することに注意してプラントル数は、粘度や熱伝導率などの他の特性と並んで特性表でよく使用されます。
プラントル数の物質移動類似体はシュミット数であり、プラントル数とシュミット数の比はルイス数です。
コンテンツ
1 実験値
1.1 代表的な値 1.2 空気と水のプラントル数の計算式
2 物理的解釈
3 こちらも参照
4 参考文献
4.1 一般的な参考文献
実験値
代表的な値
ほとんどのガスでは、幅広い温度と圧力にわたって、Prはほぼ一定です。したがって、対流の形成により実験的に測定することが難しい高温でのガスの熱伝導率を測定するために使用できます。
Prの一般的な値は次のとおりです。
975 K の溶融カリウムの場合は 0.003
水銀の場合は約0.015
975 K の溶融リチウムの場合は 0.065
希ガスまたは希ガスと水素の混合物の場合は約 0.16 ～ 0.7
酸素の場合は 0.63
空気やその他の多くのガスでは約 0.71
アンモニアガスの場合は 1.38
R-12 冷媒の場合は 4 ～ 5
水の場合約 7.56 (18 °Cの場合)
海水の場合は 13.4 および 7.2 (それぞれ 0 °C および 20 °C)
n-ブタノールの場合は 50
エンジンオイルの場合は100〜40，000
グリセロールの場合は 1000
ポリマーメルトの場合は 10，000
1 × 10程度地球のマントルは25 です。
空気と水のプラントル数の計算式
圧力 1 bar の空気の場合、-100 °C ～ +500 °C の温度範囲でのプラントル数は、以下の式を使用して計算できます。温度は摂氏の単位で使用されます。文献値からの偏差は最大 0.1 % です。
P r 空気 10 1.1 ⋅ 3 1200
⋅ 2 322000⋅ ϑ + 1.393
⋅0 9
{ mathrm {Pr} _{text{air}}={frac {10^{9}}{1.1cdot vartheta ^{3}-1200cdot vartheta ^{2}+322000 cdot vartheta +1.393cdot 10^{9}}}}
水 (1 bar) のプラントル数は、以下の式を使用して 0 °C ～ 90 °C の温度範囲で決定できます。温度は摂氏の単位で使用されます。文献値からの偏差は最大 1% です。
P r 水 50000
ϑ2 155⋅ ϑ + 3700
{ mathrm {Pr} _{text{water}}={frac {50000}{vartheta ^{2}+155cdot vartheta +3700}}}
物理的解釈
プラントル数Pr ≪ 1の小さい値は、熱拡散率が支配的であることを意味します。一方、大きな値 ( Pr ≫ 1)では、運動量の拡散率が挙動を支配します。たとえば、液体水銀のリストにある値は、対流と比較して熱伝導がより重要であるため、熱拡散率が支配的であることを示しています。しかし、エンジンオイルは粘度が高く熱伝導率が低いため、熱拡散率に比べて運動量拡散率の方が大きくなります。
気体のプラントル数は約 1 であり、これは運動量と熱の両方がほぼ同じ速度で流体を介して放散することを示しています。熱は、液体金属 ( Pr ≪ 1 )では非常に速く拡散しますが、油では運動量に比べて非常にゆっくりと拡散します ( Pr ≫ 1 )。したがって、速度境界層と比較して、熱境界層は液体金属では非常に厚く、油では非常に薄くなります。
熱伝達の問題では、プラントル数によって運動量と熱境界層の相対的な厚さが制御されます。Prが小さいということは、速度（運動量）に比べて熱が早く拡散することを意味します。これは、液体金属の場合、熱境界層が速度境界層よりもはるかに厚いことを意味します。
層流境界層では、平板上の熱境界層の厚さと運動量境界層の厚さの比は次の式でよく近似されます
δ t δ= P r − 1
3 0.6≤ P r ≤ 50 { {frac {delta _{t}}{delta }}=mathrm {Pr} ^{-{frac {1}{3}}}，quad 0.6leq mathrm {Pr} leq 50，}
どこδ t
{ delta _{t}}
は熱境界層の厚さであり、 δ { delta }
は運動量境界層の厚さです。
平板上の非圧縮性流れの場合、2 つのヌッセルト数相関は漸近的に正確です。 N あなたX= 0.339 R eX1 2 P r 1 3 P r
∞ { mathrm {Nu} _{x}=0.339mathrm {Re} _{x}^{frac {1}{2}}mathrm {Pr} ^{frac {1}{3}} ，quad mathrm {Pr} to infty ，}
N あなたX= 0.565 R eX1 2 P r 1 2 P r
0 { mathrm {Nu} _{x}=0.565mathrm {Re} _{x}^{frac {1}{2}}mathrm {Pr} ^{frac {1}{2}} ，quad mathrm {Pr} to 0，}
どこR e
{ mathrm {再} }
はレイノルズ数です。これら 2 つの漸近解は、ノルム (数学)の概念を使用して組み合わせることができます: N あなたX= 0.3387 R eX1 2 P r1 3( 1 + ( 0.0468P r
)2 3) 1 4 R e P r> 100。
{ mathrm {Nu} _{x}={frac {0.3387mathrm {Re} _{x}^{frac {1}{2}}mathrm {Pr} ^{frac {1} {3}}}{left(1+left({frac {0.0468}{mathrm {Pr} }}right)^{frac {2}{3}}right)^{frac { 1}{4}}}}，quad mathrm {Re} mathrm {Pr} >100.}
100.}”>
こちらも参照
乱流プラントル数
磁気プラントル数
参考文献
^ g h i コールソン、JM; ジョン・F・リチャードソン (1999)。化学工学第 1 巻(第 6 版)。エルゼビア。ISBN 978-0-7506-4444-0。
^ テックサイエンス （2020-05-10). 「プラントル数」。テックサイエンス。。
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^ チェンゲル、ユヌス A. （2003)。熱伝達: 実践的なアプローチ(第 2 版)。ボストン：マグロウヒル。ISBN 0072458933。OCLC 50192222。
^ リーンハルト4世、ジョン・ヘンリー; リーンハルト 5 世、ジョン・ヘンリー （2017)。伝熱教科書（第4版）。マサチューセッツ州ケンブリッジ：フロギストン・プレス。
^ リーンハルト4世、ジョン・ヘンリー; リーンハルト 5 世、ジョン・ヘンリー （2017)。伝熱教科書（第4版）。マサチューセッツ州ケンブリッジ：フロギストン・プレス。
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一般的な参考文献
ホワイト、FM （2006)。粘性流体の流れ(第 3 版)。ニューヨーク：マグロウヒル。ISBN 0-07-240231-8。 · “