Q_factor
Q、Q 係数、品質係数 という
用語のその他の用法については、「 Q 値 」を参照して
物理学および工学において、品質係数またはQ係数は、発振器または共振器の減衰がどの程度であるかを表す無次元パラメータです。これは、共振器に蓄えられた初期エネルギーと、振動サイクルの1ラジアンで失われるエネルギーの比として定義されます。 Q 係数は、振動駆動力を受けたときの共振器の中心周波数とその帯域幅の比として定義されます。これら 2 つの定義では、数値的に類似した結果が得られますが、同一ではありません。より高いQ はエネルギー損失率が低いことを示し、振動はよりゆっくりと消滅します。高品質のベアリングで吊り下げられ、空気中で振動する振り子はQ が高くなりますが、油に浸された振り子は Q が低くなります。高品質係数を持つ共振器は減衰が低いため、鳴動または振動が長くなります。
減衰振動。Q 係数が低い (ここでは約 5) ということは、発振が急速に消滅することを意味します。
コンテンツ
1 説明
2 意味
2.1 帯域幅の定義 2.2 貯蔵エネルギーの定義
3 Q値と減衰
3.1 いくつかの例
4 物理的解釈
5 電気システム
5.1 Qと帯域幅の関係 5.2 RLC回路 5.3 個々の反応性コンポーネント
6 機械システム
7 音響システム
8 光学系
9 こちらも参照
10 参考文献
11 参考文献
12 外部リンク
説明
Q 係数は、不足減衰の調和発振器(共振器) の共振動作を記述するパラメータです。より高いQファクターを持つ正弦波駆動の共振器は、(共振周波数で) より大きな振幅で共振しますが、共振する周波数付近の周波数範囲は狭くなります。発振器が共振する周波数の範囲は帯域幅と呼ばれます。したがって、ラジオ受信機の高Q同調回路は同調がより困難になりますが、選択性は高くなります。スペクトル上で近くにある他の局からの信号をフィルタリングして除去する方がうまく機能します。高Q発振器は、より狭い範囲の周波数で発振し、より安定しています。
発振器の品質係数は、その構造に応じてシステムごとに大きく異なります。減衰が重要なシステム (ドアがバタンと閉まらないようにするダンパーなど) では、Q は1 ⁄ 2に近くなります。強い共振または高周波数の安定性を必要とする時計、レーザー、およびその他の共振システムには、高い品質係数が必要です。音叉の品質係数は約 1000 です。原子時計、加速器で使用される超伝導 RF空洞、および一部の高Q レーザーの品質係数は、 10 11以上に達することがあります。
物理学者や技術者が発振器の減衰の程度を説明するために使用する代替の量が多数重要な例には、減衰比、相対帯域幅、線幅、およびオクターブ単位で測定された帯域幅が含まれます。
Qの概念は、Western Electric Companyのエンジニアリング部門の KS Johnson がコイル (インダクター) の品質を評価する際に発案しました。彼が記号Qを選択したのは、当時、アルファベットの他の文字がすべて採用されていたからにすぎません。この用語は、「品質」または「品質係数」の略語として意図されたものではありませんが、これらの用語はそれに関連付けられるようになりました。
意味
Q の定義は、1914 年に初めて使用されて以来、コイルとコンデンサー、共振回路、共振装置、共振伝送線路、空洞共振器に適用されるように一般化され 、エレクトロニクス分野を超えて動的システム一般に適用されるように拡張されました。 : 機械的共振器および音響共振器、物質 Q およびスペクトル線や粒子共鳴などの量子システム。
帯域幅の定義
共振器のコンテキストでは、Qには 2 つの一般的な定義がありますが、それらは完全に同等ではありません。Qが大きくなるにつれて、それらはほぼ等価になります。これは、共振器の減衰が小さくなることを意味します。これらの定義の 1 つは、共振器の周波数対帯域幅比です: Q =
確かにf r Δ f = ω r Δ
ω { Qmathrel {stackrel {text{def}}{=}} {frac {f_{r}}{Delta f}}={frac {omega _{r}}{Delta オメガ }}，}
ここで、 f rは共振周波数、 Δ fは共振幅または半値全幅(FWHM)、つまり振動のパワーが共振周波数におけるパワーの半分よりも大きくなる帯域幅、ω r = 2π f rは次のようになります。角共振周波数、Δ ωは角パワー半値帯域幅です。
この定義では、Q は部分帯域幅の逆数です。
貯蔵エネルギーの定義
Qのもう 1 つの一般的なほぼ同等の定義は、振動する共振器に蓄えられるエネルギーと、減衰プロセスによってサイクルごとに消費されるエネルギーの比です: Q = 確かに 2π ×
蓄えられたエネルギー
サイクルごとに消費されるエネルギー= 2 π f r ×
蓄えられたエネルギー
電力損失 { Qmathrel {stackrel {text{def}}{=}} 2pi times {frac {text{蓄積されるエネルギー}}{text{サイクルごとに消費されるエネルギー}}}=2 pi f_{r}times {frac {text{蓄えられたエネルギー}}{text{電力損失}}}.}
係数 2π により、電気的または機械的なほとんどの共振システムを記述する 2 次微分方程式の係数のみを使用して、Q をより簡単な言葉で表現できるようになります。電気システムでは、蓄積エネルギーは無損失インダクタとコンデンサに蓄積されたエネルギーの合計です。損失エネルギーは、サイクルごとに抵抗器で消費されるエネルギーの合計です。機械システムでは、蓄積されたエネルギーは、ある時点での位置エネルギーと運動エネルギーの合計です。失われたエネルギーは、振幅を維持するためにサイクルごとに外力によって行われる仕事です。
より一般的に、リアクティブ部品の仕様 (特にインダクタ) の文脈では、 Qの周波数依存の定義が使用されます: Q ( ω) = ω ×
蓄えられる最大エネルギー
電力損失 { Q(omega )=omega times {frac {text{最大貯蔵エネルギー}}{text{電力損失}}}，}
ここで、ω は蓄積エネルギーと電力損失が測定される角周波数です。この定義は、単一の無効要素 (コンデンサまたはインダクタ) を備えた回路を説明する際の使用法と一致しており、有効電力に対する無効電力の比に等しいことが示されています。(「個々の反応性コンポーネント」を参照して)
Q値と減衰
詳細は「減衰および線形時不変 (LTI) システム」を参照
Q係数は、単純な減衰発振器の定性的な動作を決定します。(これらのシステムとその動作の数学的詳細については、「調和発振器と線形時不変 (LTI) システム」を参照して)
品質係数が低い( Q 1 ⁄ 2 )システムは過減衰していると言われます。このようなシステムはまったく振動しませんが、平衡定常状態の出力から外れると、指数関数的に減衰して定常状態の出力に戻り、漸近的に定常状態の値に近づきます。これには、異なる減衰率を持つ2 つの減衰指数関数の合計であるインパルス応答が品質係数が減少するにつれて、遅い減衰モードが速いモードに比べて強くなり、システムの応答を支配し、結果としてシステムが遅くなります。非常に低い品質係数を持つ2 次のローパス フィルターは、ほぼ 1 次のステップ応答を持ちます。システムの出力は、漸近線に向かってゆっくりと上昇することによってステップ入力に応答します。
高い品質係数( Q >
1 ⁄ 2 )を持つシステムは、減衰が不十分であると言われます。不足減衰システムは、特定の周波数での発振と信号の振幅の減衰を組み合わせます。品質係数が低い ( Q =
1 ⁄ 2よりわずかに高い) 減衰不足のシステムは、消滅するまでに 1 回または数回しか発振しないことが品質係数が増加すると、相対的な減衰量が減少します。高品質のベルは、叩いてから非常に長い間、純粋な単一の音が鳴り響きます。永遠に鳴り続けるベルのような純粋に振動するシステムには、無限の品質係数がより一般的には、非常に高い品質係数を持つ 2 次ローパスフィルターの出力は、ステップ入力に応答して、すぐに上昇し、周囲を振動し、最終的には定常状態の値に収束します。
中間の品質係数( Q =
1 ⁄ 2 )を持つシステムは、臨界減衰されていると言われます。過減衰システムと同様に、出力は発振せず、定常状態の出力をオーバーシュートしません (つまり、定常状態の漸近線に近づきます)。不足減衰応答と同様に、このようなシステムの出力は単位ステップ入力に迅速に応答します。クリティカルダンピングにより、オーバーシュートなしで可能な限り最速の応答 (最終値に近づく) が得られます。実際のシステム仕様では、通常、初期応答を高速化するためにある程度のオーバーシュートを許容するか、オーバーシュートに対する安全マージンを提供するために初期応答を遅くする必要が
負のフィードバックシステムでは、支配的な閉ループ応答が 2 次システムによって適切にモデル化されることがよく開ループ システムの位相余裕は、閉ループシステムの品質係数Qを設定します。位相余裕が減少すると、近似二次閉ループ システムはより振動しやすくなります (つまり、品質係数が高くなります)。
いくつかの例
等しいコンデンサと等しい抵抗を備えたユニティゲインのSallen-Key ローパス フィルター トポロジは、臨界的に減衰されます (つまり、Q =
1 ⁄ 2 )。
2 次のベッセル フィルター(つまり、群遅延が最も平坦な連続時間フィルター) は、不足減衰のQ =
1 ⁄ √ 3を持ちます。
2 次バターワース フィルター(つまり、最も平坦な通過帯域周波数応答を持つ連続時間フィルター) は、不足減衰のQ =
1 ⁄ √ 2を持ちます。
振り子の Q ファクターは次のとおりです。Q = M ω / Γ
{textstyle Q={Mオメガ }/{ガンマ }}
ここで、Mはボブの質量、ω = 2π/ Tは振り子の振動ラジアン周波数、Γ は単位速度あたりの振り子の摩擦減衰力です。
高エネルギー (THz に近い)ジャイロトロンの設計では、回折 Q 因子と、 Q D≈ 30( Lλ ) 2 {textstyle Q_{D}約 30left({frac {L}{lambda }}right)^{2}}
共振器長 ( L ) と波長 ( λ
{ lambda }
)、およびオーミック Q ファクター ( T E メートル p
{ TE_{m，p}}
–モード)Q Ω = R w 1 −
メートル2 v
メートル p 2 { Q_{Omega }={frac {R_{w}}{delta }}{frac {1-m^{2}}{v_{m，p}^{2}}}}
どこ R w
{ R_{w}}
はキャビティ壁の半径、 δ { delta }
はキャビティ壁の表皮深さ、 V メートル p
{ V_{mp}}
は固有値スカラーです (m は方位角インデックス、p は動径インデックスです。このアプリケーションでは、表皮深さはδ = 1 / π f σ
あなた
ああ
{textstyle delta ={1}/{sqrt {pi fsigma u_{o}}}}
) 医療用超音波検査では、リングダウン時間が長く、血流速度を測定できるため、高い Q ファクターを備えたトランスデューサーがドップラー超音波検査に適しています。一方、Q 値の低いトランスデューサはリングダウン時間が短く、身体器官からの広範囲の反射エコーを受信できるため、器官イメージングに適しています。
物理的解釈
物理的に言えば、Q はおよそ、振動の 1 ラジアンで散逸されるエネルギーに対する蓄積エネルギーの比です。または、ほぼ同等に、十分に高いQ値では、1 サイクルで蓄積される総エネルギーと損失されるエネルギーの比の 2π 倍になります。
これは、振動する物理システムの振幅の減衰に関する指数時定数 τをその振動周期と比較する無次元パラメーターです。同様に、システムが振動する周波数とエネルギーを散逸する速度を比較します。より正確には、使用する周波数と周期はシステムの固有周波数に基づく必要がこの固有周波数は、低いQ値では、ゼロクロスで測定される発振周波数よりも若干高くなります。
同等に ( Qの値が大きい場合)、Q係数は、自由振動系のエネルギーがe −2π 、つまり元のエネルギーの約
1 ⁄ 535 、つまり 0.2%に低下するのに必要な振動数にほぼ相当します。これは、振幅が約e −π、つまり元の振幅の 4% に低下することを意味します。
共鳴の幅（帯域幅）は（おおよそ）次のように与えられます。Δ f = f N
Q { Delta f={frac {f_{mathrm {N} }}{Q}}，，}
ここで、f Nは固有振動数、 Δ f、帯域幅は、エネルギーがピーク値の少なくとも半分になる周波数範囲の幅です。
共振周波数は、次のように、ヘルツ単位のf Nを使用するのではなく、自然単位 (ラジアン/秒) で表されることがよくω N = 2 π f
N { omega _{mathrm {N} }=2pi f_{mathrm {N} }.}
係数Q、減衰比ζ、固有振動数ω N、減衰率α、および指数時定数 τ は、次のような関係に Q =1 ζ = ω N
2α = τ ω N
2 { Q={frac {1}{2zeta }}={frac {omega _{mathrm {N} }}{2alpha }}={frac {tau omega _{ mathrm {N} }}{2}}，}
減衰比は次のように表すことができます。 ζ =1 Q = α
ω N =1 ω N { zeta ={frac {1}{2Q}}={alpha over omega _{mathrm {N} }}={1 over tau omega _{mathrm {N} } }.}
振動の包絡線はe −α tまたはe − t / τに比例して減衰します。ここで、α とτ は次のように表すことができます。α = ω N
2Q = ζ ω N = 1 τ
{ alpha ={omega _{mathrm {N} } over 2Q}=zeta omega _{mathrm {N} }={1 over tau }}
と τ = 2 Q
ω N =1 ω N = 1
α { tau ={2Q over omega _{mathrm {N} }}={1 over zeta omega _{mathrm {N} }}={frac {1}{alpha } }.}
発振エネルギー、つまり電力損失は、 e −2α tまたはe −2 t / τの 2 倍、つまり振幅の 2 乗で減衰します。
2 極ローパス フィルターの場合、フィルターの伝達関数は次のとおりです H ( s) = ω
N2 2+ ω N Q 2 ζ ω N = 2 +0 +1 +2 +3N 2
{ H(s)={frac {omega _{mathrm {N} }^{2}}{s^{2}+underbrace {frac {omega _{mathrm {N} } }{Q}} _{2zeta omega _{mathrm {N} }=2alpha }s+omega _{mathrm {N} }^{2}}}，}
このシステムでは、Q >
1 ⁄ 2の場合(つまり、システムが不足減衰している場合)、それぞれが−α の実部を持つ 2 つの複素共役極を持ちます。つまり、減衰パラメータ α は、システムへの振動 (つまり、インパルス後の出力)の指数関数的な減衰率を表します。品質係数が高いほど減衰率が低いことを意味するため、高Qシステムは多くのサイクルにわたって発振します。たとえば、高品質のベルは、ハンマーで叩いた後も長期間にわたってほぼ純粋な正弦波の音色を維持します。
フィルター種類（2次）
伝達関数
ローパス H ( s) = ω N 2 s2 ω N Q
s+ ω N 2
{ H(s)={frac {omega _{mathrm {N} }^{2}}{s^{2}+{frac {omega _{mathrm {N} }}{ Q}}s+omega _{mathrm {N} }^{2}}}}
バンドパス H ( s) = ω N Q
ss2 ω N Q
s+ ω N 2
{ H(s)={frac {{frac {omega _{mathrm {N} }}{Q}}s}{s^{2}+{frac {omega _{mathrm {N} }}{Q}}s+オメガ _{mathrm {N} }^{2}}}}
ノッチ（バンドストップ） H ( s) = s2 ω
N2 2 ω N Q
s+ ω N 2
{ H(s)={frac {s^{2}+omega _{mathrm {N} }^{2}}{s^{2}+{frac {omega _{mathrm {N} }}{Q}}s+オメガ _{mathrm {N} }^{2}}}}
ハイパス H ( s) = s 2 s2 ω N Q
s+ ω N 2
{ H(s)={frac {s^{2}}{s^{2}+{frac {omega _{mathrm {N} }}{Q}}s+omega _{ mathrm {N} }^{2}}}}
電気システム
フィルタのゲインの大きさのグラフ。電圧ゲイン 0.707 または電力帯域幅の半分での -3 dB の概念を示しています。この記号図の周波数軸は、線形または対数スケールにすることができます。
電気共振システムの場合、Q係数は電気抵抗の影響を表し、水晶などの電気機械共振器の場合は機械摩擦の影響を表します。
Qと帯域幅の関係
F 0 Hzの共振周波数に対する両側の帯域幅はF 0 / Qです。
たとえば、Q値が 10、中心周波数が 100 kHz になるように調整されたアンテナは、10 kHz の 3 dB 帯域幅になります。
オーディオでは、帯域幅はオクターブで表現されることがよくQと帯域幅の関係は次のようになります。Q = 2 B W2 2 B W − 1 =1 シン 1 2 n( 2) B W
) { Q={frac {2^{frac {BW}{2}}}{2^{BW}-1}}={frac {1}{2sinh left({frac { 1}{2}}ln(2)BWright)}}，}
ここで、BW はオクターブ単位の帯域幅です。
RLC回路
理想的な直列RLC回路および同調無線周波数受信機(TRF)では、 Q係数は次のようになります: Q = 1 R L C = ω 0 Q0 Q1 Q2 Q3ω 0 R C
{ Q={frac {1}{R}}{sqrt {frac {L}{C}}}={frac {omega _{0}L}{R}}={frac {1}{オメガ _{0}RC}}}
ここで、 R、L、Cはそれぞれ同調回路の抵抗、インダクタンス、キャパシタンスです。直列抵抗が大きいほど、回路のQは低くなります。
並列RLC回路の場合、Q係数は直列の場合の逆になります: Q = R C L = R ω 0 Q0 Q1 Q2 Q3R C
{ Q=R{sqrt {frac {C}{L}}}={frac {R}{omega _{0}L}}=omega _{0}RC}
R、L、C がすべて並列になっている回路を考えてみましょう。並列抵抗が低いほど、回路のダンピングに与える影響が大きくなり、Q が低くなります。これは、フィルタ設計で帯域幅を決定するのに役立ちます。
主な損失がインダクタンスLと直列のインダクタRの抵抗である並列LC回路では、Qは直列回路と同じです。これは共振器にとって一般的な状況であり、インダクタの抵抗を制限してQを向上させ、帯域幅を狭めることが望ましい結果となります。
個々の反応性コンポーネント
個々のリアクタンス部品のQは、それが評価される周波数 (通常、そのリアクタンス部品が使用される回路の共振周波数) によって決まります。直列損失抵抗を持つインダクタの Q は、次の式を使用した共振回路のQです。インダクタ（直列損失を含む）と完全なコンデンサです。Q L =X L R L=ω 0 L
R L { Q_{L}={frac {X_{L}}{R_{L}}}={frac {omega _{0}L}{R_{L}}}
どこ：
ω 0は共振周波数 (ラジアン/秒)、
Lはインダクタンス、
XLは誘導性リアクタンスであり、
R Lはインダクタの直列抵抗です。
直列損失抵抗を持つコンデンサのQは、そのコンデンサと完全なインダクタを使用した共振回路のQと同じです: Q C = −X C
RC 1 ω 0 C R C
{ Q_{C}={frac {-X_{C}}{R_{C}}}={frac {1}{omega _{0}CR_{C}}}}
どこ：
ω 0は共振周波数 (ラジアン/秒)、
Cは静電容量、
X Cは容量性リアクタンスであり、
R Cはコンデンサの直列抵抗です。
一般に、コンデンサとインダクタの直列結合を含む共振器のQは、損失が直列抵抗によるものであるか、あるいはその他によるものであるかに関係なく、コンポーネントのQ値から決定できます。 Q =1 1Q L 1 Q C
{ Q={frac {1}{{frac {1}{Q_{L}}}+{frac {1}{Q_{C}}}}}
機械システム
単一の減衰質量ばねシステムの場合、Q係数は単純化された粘性減衰または抗力の効果を表し、減衰力または抗力は速度に比例します。Q 係数の式は次のとおりです。Q = M k
D { Q={frac {sqrt {Mk}}{D}}，，}
ここで、 Mは質量、kはバネ定数、Dは減衰係数であり、式Fdamping = − Dvで定義されます。ここで、vは速度です。
音響システム
楽器の Q は重要です。共振器内のQが高すぎると、楽器が生成する複数の周波数が均等に増幅されなくなります。このため、弦楽器の管体は複雑な形状をしていることが多く、広範囲の周波数をほぼ均等に発生します。
金管楽器や管楽器のQは、唇やリードの広範なスペクトルから 1 つの周波数を選択できるほど十分に高い必要が対照的に、ブブゼラは柔軟なプラスチックでできているため、金管楽器としては非常に低いQを持ち、濁った息の入った音になります。より硬いプラスチック、真鍮、または木材で作られた楽器は、より高い Q を持ちます。Qが高すぎると、音を打つのが難しくなる可能性が機器のQ は周波数によって異なる場合がありますが、これは望ましくない場合が
ヘルムホルツ共鳴器は非常に狭い範囲の周波数を選択するように設計されているため、非常に高い Q を持っています。
光学系
光学では、共振空洞のQ値は次の式で与えられます。Q = 2 π f
ああ E P { Q={frac {2pi f_{o}，E}{P}}，，}
ここで、f oは共振周波数、Eはキャビティ内の蓄積エネルギー、P = −デE/dt消費される電力です。光学的Q は、空洞共振の帯域幅に対する共振周波数の比に等しくなります。空洞内の共鳴光子の平均寿命は、空洞のQに比例します。レーザーのキャビティのQ値が低い値から高い値に突然変化すると、レーザーは通常の連続出力よりもはるかに強い光パルスを放射します。この技術はQスイッチングとして知られています。Qファクターは、損失が表面プラズモン共鳴の減衰に関係するプラズモニクスにおいて特に重要です。損失は通常、プラズモニック デバイスの開発における障害であると考えられていますが、この特性を利用して新しく強化された機能を提供することは可能です。
こちらも参照
音響共鳴
減衰
チューハリントン限界
圧電材料の特性
位相余裕
Qメーター
Q乗数
誘電正接
参考文献
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参考文献
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外部リンク
・コモンズには、品質係数に関連するメディアが
中心周波数とQ値が与えられた場合のカットオフ周波数の計算
ラジオ同調回路のQ値の解説 · “