Ribbon_graph
トポロジカル グラフ理論では、リボン グラフはグラフの埋め込みを表現する方法であり、符号付き回転システムまたはグラフ エンコードされたマップと同等の能力を持ちます。 ( 3 次元ユークリッド空間への表面全体の埋め込みとは異なり) 自己交差のない方向のない表面 を表現でき、また、表面から遠く離れた部分を省略するため、埋め込みの視覚化に便利です。グラフに穴があり、そこから埋め込みの残りの部分が見えるようになります。リボン グラフはファット グラフとも呼ばれます。
1 つの頂点 (黄色の円盤)、3 つのエッジ (そのうち 2 つはねじれている)、および 1 つの面を持つリボン グラフ。これは、3 つの自己ループを含むグラフの射影平面への埋め込みを表します。
コンテンツ
1 意味
2 埋め込み
3 等価
4 参考文献
意味
リボン グラフ表現では、グラフの各頂点はトポロジカル ディスクで表され、各エッジは 2 つの対向する端が頂点ディスクのエッジ (場合によっては互いに同じディスク) に接着されたトポロジカル長方形で表されます。
埋め込み
リボン グラフ表現は、十分に小さい数値を選択することにより、サーフェス (およびサーフェス上のメトリック)にグラフを埋め込むことで取得できます。 ϵ ε
、各頂点とエッジをそれらによって表します。 ϵ ε
-地表の近隣。 小さい値の場合 ϵ ε
、エッジの長方形がリボンのように細長くなり、その表現に名前が付けられます。
他の方向では、リボン グラフから、リボン グラフによって形成される位相面の境界のコンポーネントとして、対応する埋め込みの面を見つけることができます。各境界コンポーネントに沿ってトポロジカル ディスクをリボン グラフに接着することにより、表面自体を復元することができます。リボン グラフとこの接着プロセスによって与えられる頂点ディスク、エッジ ディスク、および面ディスクへのサーフェスの分割は、バンド分解と呼ばれる埋め込みの別の、しかし関連した表現です。グラフが埋め込まれる表面は、それが方向付け可能かどうか(グラフ内のいずれかのサイクルが偶数のねじれを持っている場合に真) とそのオイラー特性によって決定される場合が
リボン グラフで表現できる埋め込みは、グラフが 2多様体(境界なし) に埋め込まれており、埋め込みの各面がトポロジカル ディスクであるものです。
等価
2 つのリボン グラフ表現は、これらの特徴の同一性を保持する頂点ディスクとエッジ長方形の結合によって形成される位相空間の準同型性が相互に関連している場合、等価である (および同型グラフの埋め込みを定義する) と言われます。リボン グラフ表現は、3D 空間内で一方を他方に変形することができない場合でも等価である可能性がこの等価性の概念では、表現の固有のトポロジーのみが考慮され、それがどのように埋め込まれるかは考慮されません。
ただし、リボン グラフはノット理論にも適用され、この応用では 3D 埋め込みを考慮した弱い等価概念も使用される場合が
参考文献
^ Dehmer、Matthias （2010)、複雑なネットワークの構造分析、Springer、p. 267、ISBN 9780817647896 ^ Dijkgraaf、Robbert (1992)、「交差理論、可積分階層、および位相場の理論」、Fröhlich、J.; ‘t Hooft、G. ジャッフェ、A. マック、G. ミッター、PK; Stora、R. (編)、量子場の理論における新しい対称原理: 1991 年 7 月 16 ～ 27 日にカルジェーズで開催された NATO 高等研究研究所の議事録、 NATO 高等科学研究所シリーズ B: 物理学、vol. 295、ニューヨーク: プレナム、95–158 ページ、arXiv : hep-th/9201003、MR 1204453
^ エリス＝モナハン、ジョアンナ A. ; Moffatt、Iain （2013)、「1.1.4 リボン グラフ」、「Graphs on Surfaces: Dualities， Polynomials， and Knots」、SpringerBriefs in Mathematics、Springer、pp. 5–7、ISBN 9781461469711
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