Rng (代数) – 日本語百科事典辞書

Rng_(algebra)
·
数学、より具体的には抽象代数において、rng (または非一体環または擬似環) は、環と同じ性質を満たす代数構造ですが、乗法単位の存在を仮定しません。rng (IPA: / r ʊ ŋ / )という用語は、iのない環、つまり単位要素の要件のない環であることを示唆することを意図しています。
乗法恒等式の存在が環の公理の 1 つでなければならないかどうかについては、コミュニティ内でコンセンサスがありません(環 (数学) § 歴史を参照)。rngという用語は、乗法恒等の公理を使わずに環を明示的に参照したい場合に、この曖昧さを軽減するために作られました。
解析で考慮される関数の代数の多くは単一ではありません。たとえば、無限大でゼロに減少する関数の代数、特にある (非コンパクトな) 空間上でコンパクトなサポートを持つ関数の代数です。
コンテンツ
1 意味
2 例
2.1 例: 偶数の整数 2.2 例: 有限の 5 進数列
3 プロパティ
4 単位要素に隣接する (Dorroh 拡張)
5 アイデンティティを持つよりも弱い特性
6 平方ゼロの Rng
7 ユニタル準同型性
8 こちらも参照
9 ノート
10 参考文献

意味
正式には、rngは、加算と乗算と呼ばれる2 つの二項演算(+， ·)を含む集合 Rであり、次のようになります。( R ， +) はアーベル群です。( R ， ·) は半群です。
乗算は加算よりも分配されます。
rng準同型性は、ある rng から別の rng への関数f : R Sです。
f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y )
f ( x · y ) = f ( x ) · f ( y )
R内のすべてのxとyについて。
RとSが環の場合、環準同型 R Sは 1 から 1 に写像するrng 準同型R Sと同じです。

例
すべてのリングは RNG です。リングではない rng の簡単な例は、通常の整数の加算と乗算による偶数の整数によって示されます。別の例は、最下行が 0 であるすべての 3 行 3 列の実数行列のセットによって示されます。これらの例は両方とも、すべての (片面または両面の)イデアが rng であるという一般的な事実の例です。
Rng は、無限次元ベクトル空間上の線形演算子を考慮する場合、関数解析で自然に現れることがよくたとえば、任意の無限次元ベクトル空間Vを取り上げ、有限ランク(つまりdim f ( V ) < ∞ ) を持つすべての線形演算子f : V Vのセットを考えます。演算子の追加と合成を合わせて、これは rng ですが、リングではありません。別の例は、コンポーネントごとの演算を使用して 0に収束するすべての実数シーケンスの rng です。
また、分布理論で発生する多くのテスト関数空間は、たとえばシュワルツ空間のように、無限大でゼロに減少する関数で構成されます。したがって、どこでも 1 に等しい関数 (点単位の乗算で唯一可能な単位要素) は、そのような空間には存在できません。したがって、これは (点単位の加算と乗算の) rng になります。特に、ある位相空間上で定義されたコンパクトなサポートを備えた実数値連続関数は、点ごとの加算と乗算とともに rng を形成します。基礎となる空間がコンパクトでない限り、これはリングではありません。

例: 偶数の整数
偶数整数の集合 2 Zは加算と乗算で閉じられており、加法的な単位 0 を持つため rng ですが、乗法的な単位を持たないため、環ではありません。
2 Zでは、唯一の乗法冪等は 0、唯一の冪等は 0、再帰逆元を持つ唯一の要素は 0 です。

例: 有限の5 進数列
直接和 ⨁ I = 1 ∞ Z 5 Z
{textstyle {mathcal {T}}=bigoplus _{i=1}^{infty }mathbf {Z} /5mathbf {Z} }
${textstyle$
座標単位の加算と乗算を備えた rng は、次のプロパティを備えています。
その冪等な要素は、上限のない格子を形成します。
すべての要素xには再帰逆関数、つまりxyx = xおよびyxy = yとなる要素yが
有限のサブセットごとに、 T { {mathcal {T}}}

、に冪等が存在します。 T { {mathcal {T}}}

これは、サブセット全体の ID として機能します。つまり、サブセット内のシーケンスのその位置に非ゼロ要素があり、他のすべての位置に 0 がある、すべての位置に 1 を持つシーケンスです。

プロパティ
イデアル、商リング、およびモジュールは、リングの場合と同じ方法で rng に対して定義できます。
ただし、リングの代わりに rng を使用すると、関連する定義がいくつか複雑になります。たとえば、リングRでは、要素fによって生成された左イデアル ( f ) は、 fを含む最小の左イデアルとして定義され、単にRfになりますが、 R が単なる rng である場合、Rfにはf が含まれない可能性があるため、代わりに( f) = R f + Z f = {
あるf + n f :
ある∈ R
そしてn ∈ Z
}{ (f)=Rf+mathbf {Z} f={af+nf:ain R~{text{and}}~nin mathbf {Z} }，}

ここで、 n はRの要素を表す必要がないため、加算/減算を繰り返して解釈する必要が同様に、 rng Rの要素f 1 ， …， f mによって生成される左イデアルは次のようになります。 ( f 1 … f
メートル) = {
ある
1 f 1+ ⋯ +
ある
メートル f メートル+ n
1 f 1+ ⋯ n
メートル f メートル : ある
I∈ R る n d n
I∈ Z
}{ (f_{1}，ldots ，f_{m})={a_{1}f_{1}+cdots +a_{m}f_{m}+n_{1}f_{1}+ cdots n_{m}f_{m}:a_{i}in R;mathrm {and} ;n_{i}in mathbf {Z} }，}

これはエミー・ネーターに遡る公式です。モジュールの要素のセットによって生成されるサブモジュールの定義でも、同様の複雑な問題が発生します。
環の定理の中には、rng では偽となるものもたとえば、リングでは、すべての適切なイデアルは最大イデアルに含まれるため、非ゼロのリングには常に少なくとも 1 つの最大イデアルがこれらのステートメントはどちらも rng に対して失敗します。
rng 準同型f : R S は、べき等要素をべき等要素にマップします。
f : R S が環から rng への rng 準同型であり、fのイメージにSの非ゼロ約数が含まれる場合、Sは環であり、fは環準同型です。

単位要素に隣接する (Dorroh 拡張)
すべての環R は、単位元に隣接することによって環R ^ に拡張できます。これを行う一般的な方法は、単位元 1 を形式的に追加し、ゼロ以外の整数倍が一致しない、またはRに含まれないという前提で、R ^ を 1 とRの要素の整数線形結合で構成することです。つまり、R ^ の要素は次の形式になります。
n ⋅ 1 + r
ここで、n は整数であり、r ∈ Rです。乗算は線形性によって定義されます。( n 1 + r 1 ) ⋅ ( n 2 + r 2 ) = n 1 n 2 + n 1 r 2 + n 2 r 1 + r 1 r 2。
より正式には、 R ^ をデカルト積 Z × Rとして取り、加算と乗算を次のように定義できます。( n 1 ， r 1 ) + ( n 2 ， r 2 ) = ( n 1 + n 2 ， r 1 + r 2 )、( n 1 ， r 1 ) · ( n 2 ， r 2 ) = ( n 1 n 2 ， n 1 r 2 + n 2 r 1 + r 1 r 2 )。
R ^の乗法単位は(1， 0)になります。j ( r ) = (0， r )によって定義される自然な rng 準同型性j : R R ^が存在します。このマップには次のような普遍的な特性が
任意の環Sと任意の rng 準同型f : R Sが与えられると、 f = gjとなるような固有の環準同型g : R ^ Sが存在します。
マップg は、 g ( n ， r ) = n · 1 S + f ( r )によって定義できます。( n ， r )をnに送信する自然射出環準同型R ^ Zがこの準同型性の核は、 R ^のRのイメージです。jは単射であるため、 R はZと同型の商環R ^/ Rを持つ(両側)イデアルとしてR ^に埋め込まれていることがわかります。したがって、
すべての RNG は、あるリングにおける理想であり、リングのすべての理想は RNG です。
j は決して全射ではないことに注意してしたがって、 R がすでに単位元を持っている場合でも、環R ^ は異なる単位を持つより大きな環になります。リングR ^ は、最初にリングを構築したアメリカの数学者ジョー・リー・ドーローにちなんで、 Rのドーロー拡張と呼ばれることがよく
恒等要素を rng に隣接させるプロセスは、圏論の言語で定式化できます。すべての環と環準同型の圏をRingで表し、すべての rng と rng 準同型の圏をRngで表すと、RingはRngの(非完全な)サブ圏になります。上で与えられたR ^の構築により、包含関手Iの左随伴関数 : Ring Rngが生成されます。包含関手は完全ではないため、Ring はRngの反射サブカテゴリではないことに注意して

アイデンティティを持つよりも弱い特性
文献では、アイデンティティ要素を持つよりも弱いと考えられているプロパティがいくつかありますが、それほど一般的ではありません。例えば：
十分なべき等性を持つ環: 直交(すなわち、 Eのすべてのe ≠ fについてef = 0 ) 冪等性 (すなわち、すべてについてe 2 = e )によって与えられるRの部分集合Eが存在するとき、rng R は十分な冪等性を持つ環であると言われます。 eのE ) は、R = ⊕ e ∈ E eR = ⊕ e ∈ E Reとなります。
ローカル単位を持つリング: R 内のすべての有限集合r 1、r 2、…、r tについて、 e 2 = eとなるようなR内のeを見つけることができる場合、 A rng R はローカル単位を持つリングであると言われます。すべてのiに対してer i = r i = r i e となります。
s -unital リング: R 内のすべての有限集合r 1、r 2、…、r tについて、 sri = r i = rとなるようなR内のsを見つけることができる場合、A rng R はs -unitalであると言われます。iはすべてのiです。
しっかりしたリング: r ⊗ s ↦ rsによって与えられる正準準同型R ⊗ R R R が同型である場合、rng R はしっかりしていると言われます。
冪等リング: R 2 = Rの場合、 rng R は冪等 (または irng) であると言われます。つまり、Rのすべての要素rについて、次のようなR内の要素r iとs iを見つけることができます。r = ∑ I r I s I
{textstyle r=sum _{i}r_{i}s_{i}}
これらのプロパティが恒等要素を持つよりも弱いこと、および前の要素よりも弱いことを確認するのは難しくありません。
リングは、 E = {1}を使用する、十分な冪等を持つリングです。十分な冪等を持ち、同一性を持たないリングとは、たとえば、有限数の非ゼロエントリだけを含むフィールド上の無限行列のリングです。主対角要素の 1 つだけが 1 で、それ以外の場合は 0 を持つ行列は、直交冪等です。
十分な冪等を持つリングとは、定義を満たすために直交冪等の有限和をとるだけのローカル単位を持つリングです。
局所単位を持つ環は特にs -unital です。s -unital リングはファームであり、ファームリングは冪等です。

平方ゼロの Rng
平方ゼロの rng は、 R内のすべてのxおよびyについてxy = 0となるrng Rです。すべてのxとyに対してxy = 0となるように乗算を定義することで、任意のアーベル群を平方ゼロの rng にすることができます。したがって、すべてのアーベル群はある rng の加法群です。乗算単位を持つ平方ゼロの唯一の rng は、ゼロリング{0} です。
平方ゼロの rng の加法部分群はすべて理想です。したがって、平方ゼロの rng は、その加法群が単純なアーベル群、つまり素数次数の巡回群である場合にのみ単純です。

ユニタル準同型性
2 つのユニタル代数AおよびBが与えられた場合、代数準同型性
f : A B
Aの単位要素をBの単位要素にマップする場合、は単体となります。
体K上の結合代数A が単位でない場合、次のように恒等要素に隣接できます。A × K を基礎となるK -ベクトル空間として取り、乗算 ∗ を次のように定義します。( x ， r ) ∗ ( y ， s ) = ( xy + sx + ry ， rs )
Aのx、yとKのr、sについて。この場合、 ∗ は単位元(0， 1)との結合演算になります。古い代数A は新しい代数に含まれており、実際、普遍的な構成という意味では、A × KはAを含む「最も一般的な」単位代数です。

こちらも参照
セミリング

ノート
^ ジェイコブソン、1989 年、155–156 ページ。
^ ネーター 1921、p. 30、§1.2 ^ Bourbaki (1998 ， p. 102)を参照。そこでは、それは平方ゼロの擬似リングと呼ばれています。他の著者の中には、平方ゼロの任意の rng を指すために「ゼロリング」という用語を使用する人もいます。例えば、 Szele (1949)およびKreinovich (1995)を参照して
^ ブルバキ 1998、p. 102 ^ ザリスキーとサミュエル、1958 年、p. 133

参考文献
ブルバキ、N. (1998)。代数 I、第 1 章から第 3 章まで。スプリンガー。
とんでもない、デビッド S.。フット、リチャード M. （2003)。抽象代数(第 3 版)。ワイリー。ISBN 978-0-471-43334-7。
ＪＬドロロー（1932年）。「代数への付属物について」。ブル。アメール。数学。社会。38 (2): 85-88。土井：10.1090/S0002-9904-1932-05333-2。
ジェイコブソン、ネイサン (1989)。基本代数(第 2 版)。ニューヨーク：WHフリーマン。ISBN 0-7167-1480-9。
クライノビッチ、V. (1995)。「多項式恒等式が、環上のすべての半順序を拡張できることを保証する場合、この恒等式はゼロ環に対してのみ当てはまります。」代数普遍性。33 (2): 237–242。土井：10.1007/BF01190935。MR 1318988。S2CID 122388143。
インディアナ州ハースタイン(1996)。抽象代数(第 3 版)。ワイリー。ISBN 978-0-471-36879-3。
ケビン・マクリモン（2004)。ジョーダン代数の味。スプリンガー。ISBN 978-0-387-95447-9。
ネーター、エミー(1921)。””Idealtheorie in Ringbereichen” 。Mathematische Annalen (ドイツ語)。83（1-2）：24-66。土井：10.1007/BF01464225。S2CID 121594471。
ティボール・ゼレ（1949年）。「ゼロリンゲの理論」。数学アンナレン。121 : 242–246。土井：10.1007/bf01329628。MR 0033822。S2CID 122196446。
ザリスキー、オスカー。サミュエル、ピエール (1958)。可換代数。Vol. 1. ヴァン・ノストランド。”