S-双対 – 日本語百科事典辞書

S-duality

は、物理学におけるS-二重性（強双対性）についてです。数学的S-双対（スパニエ-ホワイトヘッド双対）については、S-双対（ホモトピー論）を参照してください
で理論物理学、s-双対（ショート強弱双対性は）のいずれであってもよい2つの物理的理論の等価である量子場の理論や弦理論。S-双対は、計算が難しい理論と計算が簡単な理論を関連付けるため、理論物理学で計算を行うのに役立ちます。
場の量子論では、S-双対は古典電磁気学から確立された事実、つまり電場と磁場の交換の下でのマクスウェルの方程式の不変性を一般化します。場の量子論におけるS-双対の最も初期の既知の例の1つは、N = 4超対称ヤンミルズ理論と呼ばれる場の量子論の2つのバージョンに関連するモントネン-オリーブ双対性です。アントン・カプスティンとエドワード・ウィッテンの最近の研究は、モントネン・オリーブ双対性が幾何学的ラングランズプログラムと呼ばれる数学の研究プログラムと密接に関連していることを示唆しています。。場の量子論におけるS-双対のもう1つの実現は、Seiberg双対です。これは、N = 1超対称ヤンミルズ理論と呼ばれる理論の2つのバージョンに関連しています。
弦理論におけるS-双対の例もたくさんこれらの弦双対性の存在は、一見異なる弦理論の定式化が実際には物理的に同等であることを意味します。これにより、1990年代半ばに、5つの一貫した超弦理論はすべて、M理論と呼ばれる単一の11次元理論の異なる限定的なケースであることがわかりました。

コンテンツ
1 概要
2 場の量子論におけるS-双対
2.1 マクスウェルの方程式の対称性 2.2 モントネン・オリーブ双対性 2.3 ラングランズプログラムとの関係 2.4 サイバーグ双対
3 弦理論におけるS-双対
4 も参照してください
5 ノート
6 参考文献

概要
場の量子論と弦理論では、結合定数は理論の相互作用の強さを制御する数です。たとえば、重力の強さは、ニュートンの定数と呼ばれる数で表されます。これは、ニュートンの重力の法則や、アルバートアインシュタインの一般相対性理論の方程式にも現れます。同様に、電磁力の強さは、単一の陽子によって運ばれる電荷に関連する結合定数によって表されます。
場の量子論または弦理論で観測可能な量を計算するために、物理学者は通常、摂動論の方法を適用します。摂動論では、さまざまな物理的プロセスが発生する確率を決定する確率振幅と呼ばれる量は、無限に多くの項の合計として表されます。ここで、各項は結合定数の累乗に比例します。 {g}
$g""$
： = 0+ 1 + 2 2+ 3 3+ …
{A = A_ {0} + A_ {1} g + A_ {2} g ^ {2} + A_ {3} g ^ {3} + dots}

。
このような式が意味をなすためには、結合定数が1未満である必要がこれにより、 {g}

無視できるほど小さくなり、合計は有限になります。結合定数が1以上の場合、この合計の項はどんどん大きくなり、式は無意味な無限の答えを与えます。この場合、理論は強く結合していると言われ、摂動理論を使用して予測を行うことはできません。
特定の理論では、S-双対は、弱結合理論でこれらの計算を異なる計算に変換することにより、強結合で計算を行う方法を提供します。S-双対は、物理学における二重性の一般的な概念の特定の例です。二重性という用語は、一見異なる2つの物理システムが重要な方法で同等であることが判明した状況を指します。2つの理論が二重性によって関連付けられている場合、一方の理論を何らかの方法で変換して、もう一方の理論と同じように見えるようにすることができることを意味します。その場合、2つの理論は、変換の下で互いに二重であると言われます。言い換えれば、2つの理論は同じ現象の数学的に異なる記述です。
S-双対は、理論を結合定数と関連付けるため、便利です。 {g}

結合定数を持つ同等の理論に 1 / {1 / g}

。したがって、それは強く結合された理論に関連しています（結合定数 {g}

は1よりはるかに大きい）弱結合理論（結合定数 1 / {1 / g}

は1よりはるかに小さく、計算が可能です）。このため、S-双対性は強弱双対性と呼ばれます。

場の量子論におけるS-双対

マクスウェルの方程式の対称性
古典物理学の挙動電気および磁界として知られている方程式のシステムによって記述されるマクスウェル方程式。ベクトル計算の言語で作業し、電荷や電流が存在しないと仮定すると、これらの方程式を書くことができます。
∇ = 0∇
⋅ =0∇ ×
E= −
∂ ∂ 、 ∇ ×× =1 2 ∂ E ∂ 。
{{ begin {aligned} nabla cdot mathbf {E}＆= 0、\ nabla cdot mathbf {B}＆= 0、\ nabla times mathbf {E}＆= -{ frac { partial mathbf {B}} { partial t}}、\ nabla times mathbf {B}＆= { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { partial mathbf {E}} { partialt}}。 end {aligned}}}
ここ E { mathbf {E}}

は、電場を表すベクトル（より正確には、大きさと方向が空間内の点ごとに異なる可能性があるベクトル場）です。 { mathbf {B}}

は磁場を表すベクトルであり、 {t}

時間です、そして {c}

ある光の速度。これらの方程式の他の記号は、ベクトル計算からの概念である発散と回転を示します。
これらの方程式の重要な特性は、電場を同時に置き換える変換の下での不変性です。 E { mathbf {E}}

磁場によって { mathbf {B}}

と置き換えます { mathbf {B}}

に− 1
/ 2 E {-1 / c ^ {2} mathbf {E}}

： E − 1 2 E {{ begin {aligned} mathbf {E}＆ rightarrow mathbf {B} \ mathbf {B}＆ rightarrow-{ frac {1} {c ^ {2}}} mathbf { E}。 end {aligned}}}
言い換えれば、マクスウェルの方程式を解く一対の電場と磁場が与えられると、これらの電場と磁場が本質的に交換される新しい物理的設定を記述することが可能であり、新しい場は再びマクスウェルの方程式の解を与えます。この状況は、場の量子論におけるS-双対の最も基本的な兆候です。

モントネン・オリーブ双対性
モントネン・オリーブ双対性
場の量子論では、電磁界は電磁場と呼ばれる単一の実体に統合され、この場はゲージ理論またはヤンミルズ理論と呼ばれる特殊なタイプの場の量子論によって記述されます。ゲージ理論では、物理場は高度な対称性を持っており、リー群の概念を使用して数学的に理解することができます。このリー群はゲージ群として知られています。電磁界は、アベリアゲージ群U（1）に対応する非常に単純なゲージ理論によって記述されますが、より複雑な非アーベルゲージ群を持つ他のゲージ理論も
マクスウェルの方程式の電場と磁場を交換する対称性のゲージ理論に類似点があるかどうかを尋ねるのは自然なことです。答えはで1970年代後半に与えられたクラウスMontonenとデヴィッド・オリーブ、の初期の作品に構築ピーター・ゴダード、ジャンNuyts、とオリーブ。彼らの研究は、現在モントネン・オリーブ双対性として知られているS双対の例を示しています。モントネン-オリーブ双対性は、N = 4超対称ヤン-ミルズ理論と呼ばれる非常に特殊なタイプのゲージ理論に適用され、そのような2つの理論は特定の正確な意味で同等である可能性があると述べています。理論の1つにゲージ群がある場合 {G}

、そして二重理論はゲージ群を持っています
L {{^ {L}} G}

どこ
L {{^ {L}} G}

一般的にとは異なるラングランズ双対群を示します {G}

。
場の量子論で重要な量は、複雑な結合定数です。これは、式で定義される複素数です。τ = θ 2 π + 4 π I 2 { tau = { frac { theta} {2 pi}} + { frac {4 pi i} {g ^ {2}}}}
どこ θ { theta}

あるシータ角、に現れる量ラグランジュ理論を定義し、及び {g}

は結合定数です。たとえば、電磁界を説明するヤンミルズ理論では、この数は {g}

単に電気素量です e {e}

単一の陽子によって運ばれます。 2つの理論のゲージグループを交換することに加えて、モントネン-オリーブ双対性は複雑な結合定数で理論を変換します τ { tau}

複雑な定数を持つ理論に− 1 / τ
{-1 / tau}

。

ラングランズプログラムとの関係

幾何学的ラングランズ対応はに関連する抽象幾何学的オブジェクトの間の関係であり、
代数曲線などの
楕円曲線上に示しました。
ラングランズプログラム
数学では、古典的なラングランズ対応は、数論を表現論として知られる数学の分野に関連付ける結果と推測の集まりです。 1960年代後半にロバート・ラングランズによって定式化されたラングランズ対応は、フェルマーの最終定理を特別な場合として含む谷山-志村予想などの数論における重要な予想に関連しています。
数論におけるその重要性にもかかわらず、数論の文脈でラングランズ対応を確立することは非常に困難であることが証明されています。その結果、一部の数学者は、幾何学的ラングランズ対応として知られる関連する予想に取り組んできました。これは、元のバージョンに表示されていた数体を関数体に置き換え、代数幾何学の手法を適用することによって得られる、古典的なラングランズ対応の幾何学的再定式化です。
2007年の論文で、アントンカプスティンとエドワードウィッテンは、幾何学的ラングランズ対応はモントネン-オリーブ双対性の数学的ステートメントと見なすことができると示唆しました。 S-双対によって関連付けられた2つのヤンミルズ理論から始めて、カプースチンとウィッテンは、2次元時空で場の量子論のペアを構築できることを示しました。この次元削減がDブレーンと呼ばれる特定の物理的オブジェクトにどのように作用するかを分析することにより、幾何学的ラングランズ対応の数学的要素を回復できることを示しました。彼らの研究は、ラングランズの対応が場の量子論におけるS-双対と密接に関連しており、両方の主題に応用できることを示しています。

サイバーグ双対
サイバーグ双対
量子場の理論におけるs-双対の別の実現であるSeibergの双対性によって最初に導入され、ネーサン・サイバーグ1995の周り四次元時空で最大限超対称ゲージ理論の2つのバージョンに関するMontonenオリーブ双対性とは異なり、Seibergの二重性が関連N = 1超対称ゲージ理論と呼ばれる対称性の低い理論。サイバーグ双対に現れる2つのN = 1理論は同一ではありませんが、それらは遠距離で同じ物理学を生み出します。モントネン-オリーブ双対性と同様に、サイバーグ双対性は、電場と磁場を交換するマクスウェルの方程式の対称性を一般化します。

弦理論におけるS-双対

弦理論の双対性の図。青いエッジはS-双対を示します。赤いエッジはT-双対を示します半ばの1990年代までは、に取り組んで物理学者弦理論は、理論の5つの異なるバージョンが存在したと思わ：I型、IIA型、IIBを入力して、の2種類たヘテロ弦理論（SO（32）とE 8 ×E 8）。異なる理論は異なるタイプのストリングを可能にし、低エネルギーで発生する粒子は異なる対称性を示します。
1990年代半ば、物理学者は、これらの5つの弦理論が実際には非常に重要な二重性によって関連していることに気づきました。これらの二重性の1つは、S-双対です。弦理論におけるS-双対の存在は、1994年にアショクセンによって最初に提案されました。結合定数を持つタイプIIB弦理論が示されました。 {g}

S-双対を介して、結合定数を持つ同じ弦理論と同等です 1 / {1 / g}

。同様に、カップリングを伴うタイプI弦理論 {g}

結合定数を持つSO（32）ヘテロティック弦理論と同等です 1 / {1 / g}
1/g
。
これらの二重性の存在は、5つの弦理論が実際にはすべての別個の理論ではないことを示しました。1995年、南カリフォルニア大学での弦理論会議で、エドワードウィッテンは、これら5つの理論すべてが、現在M理論として知られている単一の理論の単なる異なる限界であるという驚くべき提案をしました。ウィッテンの提案は、タイプIIAおよびEという観察に基づいていた8 ×E 8つのたヘテロ弦理論は密接に11次元と呼ばれる重力理論に関連している超重力。彼の発表は、現在2番目のスーパーストリング革命として知られている仕事の急増につながりました。

も参照してください
モントネン・オリーブ双対性
ニールセン–オレセン渦
デュアルグラビトン
T-双対
ミラー対称性
AdS / CFT対応

ノート
^ Frenkel 2009、p.2
^ Zwiebach 2009、p.325
^ Griffiths 1999、p.326
^ Griffiths 1999、p.327
^ ゲージ理論の基礎を含む一般的な場の量子論の紹介については、Zee2010を参照して
^ モントネンとオリーブ1977
^ Goddard、Nuyts、およびOlive 1977
^ Frenkel 2009、p.5
^ Frenkel 2009、p.12
^ Frenkel 2007
^ カプースチンとウィッテン2007
^ Aspinwall etal。2009年、p.415
^ Seiberg 1995
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