S-estimator
S推定器の目標は、M推定器の柔軟性と優れた漸近特性を共有する、単純な高分解 回帰推定量を持つことです。「S-estimators」という名前は、スケールの推定量に基づいているために選択されました。
関数によって定義されるスケールの推定量を検討します ρ { rho}
、満足する
R1 – ρ
{ rho}
対称的で、継続的に微分可能であり、 ρ （（ 0
）。= 0
{ rho（0）= 0} R2 –存在する >> 0 {c> 0}
そのような ρ { rho}
厳密に増加しています
[ 、∞ ] {} 任意のサンプル
{{ 1
、 。 、}
{ {r_ {1}、…、r_ {n} }}
実数の場合、スケール推定値を定義します （（ 1
、 。 、 NS）。
{s（r_ {1}、…、r_ {n}）}
の解決策として
1 ∑I = 1ρ（（ 私
/ ）。= K
{ textstyle { frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} rho（r_ {i} / s）= K} どこ K {K}
の期待値です ρ { rho}
以下のための標準正規分布。（上記の方程式の解が他にもある場合は、sの解が最も小さいものを使用します。解がない場合は、 （（ 1
、 。 、 NS）。= 0
{s（r_ {1}、…、r_ {n}）= 0}
。） 意味： させて（（ 1 y
1）。
、 （（ NS、 y NS）。
{ displaystyle（x_ {1}、y_ {1}）、…、（x_ {n}、y_ {n}）}
p次元の回帰データのサンプルである 私
{x_ {i}}
。各ベクトルについて θ { theta}
、残差を取得します （（ 1（（ θ ）。 、 。 、（（ θ ）。 ）。
{s（r_ {1}（ theta）、…、r_ {n}（ theta））}
上記のスケール方程式を解くことにより、ここで ρ { rho}
R1とR2を満たします。S推定量θ
^ {{ hat { theta}}}
によって定義されますθ ^ =
最小
θ （（ 1（（ θ ）。 、 。 、（（ θ ）。 ）。
{{ hat { theta}} = min _ { theta} 、s（r_ {1}（ theta）、…、r_ {n}（ theta））}
そして最終的なスケール推定量σ
^ {{ hat { sigma}}}
その後ですσ ^= （（ 1（（ θ ^ ）。
、 。 、（（ θ ^ ）。 ）。 {{ hat { sigma}} = s（r_ {1}（{ hat { theta}}）、…、r_ {n}（{ hat { theta}}））}
。
参考文献
^ P.RousseeuwおよびV.Yohai、S-estimatorsによるロバスト回帰、本から：ロバストおよび非線形時系列分析、256〜272ページ、1984年