S行列

S-matrix

「散乱行列」は線形電気ネットワークでの意味については、散乱パラメータを参照して
素粒子物理学への1960年代のアプローチについては、S行列理論を参照してください 物理学、Sの-マトリックス又は散乱行列は、初期状態と受け物理システムの最終状態に関する散乱プロセス。それはで使用されている量子力学、理論散乱や場の量子論（QFT）を。
より正式には、QFTのコンテキストでは、S行列は、物理状態のヒルベルト空間で漸近的に自由な粒子状態のセット（イン状態とアウト状態）を接続するユニタリ行列として定義されます。多粒子状態であると言われている自由があれば（非相互作用）変換の下でローレンツ変換としてテンソル積、または直接製品の物理学の用語で、1粒子の状態方程式によって規定される（1）の下。漸近的に自由 次に、州が遠い過去または遠い未来のいずれかにこの外観を持っていることを意味します。
しながらSの-マトリックスは、任意の背景（のために定義されてもよい時空漸近的に解けると全く有していない）イベントの視野を、それがの場合に単純な形状を有するミンコフスキー空間。この特別な場合、ヒルベルト空間は、不均一なローレンツ群（ポアンカレ群）の還元不可能なユニタリ表現の空間です。Sの-マトリックスは、発展演算子の間 =− ∞
{t =- infty}（遠い過去）、そして =+ ∞
{t = + infty}（遠い未来）。これは、ゼロエネルギー密度（または無限の粒子分離距離）の限界でのみ定義されます。
ミンコフスキー空間の場の量子論に質量ギャップがある場合、漸近的過去と漸近的未来の状態は両方ともフォック空間によって記述されることを示すことができます。

コンテンツ
1 歴史
2 動機
3 使用する
4 一次元量子力学において
4.1 意味 4.2 ユニタリプロパティ 4.3 時間反転対称性 4.4 透過係数と反射係数 4.5 一次元の光学定理
5 場の量子論における定義
5.1 相互作用図 5.2 インとアウトの状態
5.2.1 真空から
5.2.2 ハイゼンベルク画像
5.2.3 自由粒子状態から
5.2.4 アウトステートとして表されるインステート
5.3 S -マトリックス
6 進化演算子U
7 ダイソン級数
8 非S行列
9 も参照してください
10 備考
11 ノート
12 参考文献

歴史
Sの-マトリックスは、最初で導入されたジョン・ホイーラー「レゾネートグループ体制の法による軽い核の数学的記述では、」1937年の論文で。この論文で、Wheelerは散乱行列を導入しました。これは、「任意の特定の解の漸近的振る舞いを標準形式の解の漸近的振る舞い」と結び付ける係数のユニタリ行列ですが、開発されませんでした。それを完全に。
1940年代に、ヴェルナーハイゼンベルクは、S行列のアイデアを独自に開発し、実証しました。当時の場の量子論に存在する問題のある発散のために、ハイゼンベルグは、理論が発展するにつれて将来の変化によって影響を受けないであろう理論の本質的な特徴を分離するように動機づけられました。そうすることで、彼は単一の「特徴的な」S行列を導入するように導かれました。
しかし、今日、正確なS行列の結果は、共形場理論、可積分系、および場の量子論と弦理論のいくつかのさらなる領域の最高の成果です。S行列は、フィールド理論による処理の代わりにはなりませんが、そのような最終結果を補完します。

動機
高エネルギー素粒子物理学では、散乱実験でさまざまな結果が得られる確率を計算することに関心がこれらの実験は、次の3つの段階に分けることができます。
入ってくる粒子のコレクション（通常は高エネルギーの2つの粒子）を衝突させます。
入ってくる粒子が相互作用できるようにします。これらの相互作用により、存在する粒子のタイプが変化する可能性があります（たとえば、電子と陽電子が 消滅すると、2つの光子が生成される可能性があります）。
結果として生じる発信粒子を測定します。
入ってくる粒子が（それらの相互作用を介して）出て行く粒子に変換されるプロセスは、散乱と呼ばれます。素粒子物理学の場合、これらのプロセスの物理理論は、さまざまな入力粒子がさまざまなエネルギーと衝突したときに、さまざまな出力粒子の確率を計算できなければなりません。
場の量子論のS行列はまさにこれを実現します。これらの場合、小さなエネルギー密度の近似が有効であると想定されます。

使用する
Sの-マトリックスは、密接に転移に関連する確率振幅量子力学内とに断面様々な相互作用の、S行列の要素（個々の数値エントリ）は、散乱振幅として知られています。複素エネルギー平面のS行列の極は、束縛状態、仮想状態、または共鳴で識別されます。複素エネルギー面でのS行列の分岐カットは、散乱チャネルの開口部に関連付けられています。
場の量子論へのハミルトニアンアプローチでは、S行列は、相互作用図の積分ハミルトニアンの時間順 指数として計算できます。ファインマンの経路積分を使用して表現することもできます。どちらの場合も、S行列の摂動計算はファインマン図につながります。
で理論散乱、Sの-マトリックスは、あるオペレータのマッピング自由粒子におけるステート自由粒子にアウト状態（散乱チャネルにおいて）ハイゼンベルグ画像は。多くの場合、相互作用（少なくとも最も興味深いものではない）を正確に説明できないため、これは非常に便利です。

一次元量子力学において
説明のために、S行列が2次元である単純なプロトタイプを最初に検討します。その中で、鋭いエネルギーEを持つ粒子は、1次元量子力学の規則に従って局所的なポテンシャルVから散乱します。すでにこの単純なモデルは、より一般的なケースのいくつかの機能を表示していますが、処理が簡単です。
各エネルギーEは、Vに依存する行列S = S（E）を生成します。したがって、合計S行列は、比喩的に言えば、適切な基準で、特定のVの対角線に沿った2×2ブロックを除くすべての要素がゼロの「連続行列」として視覚化できます。

意味
エネルギーEの量子粒子のビームにさらされた局所的な一次元ポテンシャル障壁 V（x）を考えてみましょう。これらの粒子は、左から右にポテンシャル障壁に入射します。
ポテンシャル障壁の外側のシュレディンガー方程式の解は、次の式で与えられる平面波です。ψ L（（ ）。= e I k + e− I
k { psi _ { rm {L}}（x）= Ae ^ {ikx} + Be ^ {-ikx}}
  ポテンシャル障壁の左側の領域、および
ψ （（ ）。= e I k + e− I
k { psi _ { rm {R}}（x）= Ce ^ {ikx} + De ^ {-ikx}}
  ポテンシャル障壁の右側の領域では、k =
2 E 2
{k = { sqrt {2mE / hbar ^ {2}}}}
  は波数ベクトルです。概要では時間依存性は必要ないため、省略しています。係数Aの項は入力波を表し、係数Cの項は出力波を表します。Bは反射波を表します。入ってくる波を正の方向（左から来る）に移動するように設定しているので、Dはゼロであり、省略できます。
「散乱振幅」、つまり、発信波と着信波の遷移の重なりは、S行列を定義する線形関係です。（（）。 = （（ 11 12 21 22 ）。 （（）。 {{ begin {pmatrix} B \ C end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} S_ {11}＆S_ {12} \ S_ {21}＆S_ {22} end {pmatrix}} { begin {pmatrix} A \ D end {pmatrix}}。}
  上記の関係は次のように書くことができますΨ o
u = Ψ
I { Psi _ { rm {out}} = S Psi _ { rm {in}}}
  どこΨ o
u =（（）。 Ψ
I =（（）。
、 =（（ 11 12 21 22
）。 { Psi _ { rm {out}} = { begin {pmatrix} B \ C end {pmatrix}}、 quad Psi _ { rm {in}} = { begin {pmatrix} A \ D end {pmatrix}}、 qquad S = { begin {pmatrix} S_ {11}＆S_ {12} \ S_ {21}＆S_ {22} end {pmatrix}}。}
  Sの要素は、ポテンシャル障壁V（x）の散乱特性を完全に特徴づけます。

ユニタリプロパティ
S行列のユニタリ特性は、量子力学における確率流束の保存に直接関係しています。
確率電流Jの波動関数 ψ（x）はのように定義されます = ℏ 2 私（（ ψ∗ ∂ ψ
∂ −ψ ∂ ψ ∗
∂ ）。
{J = { frac { hbar} {2mi}} left（ psi ^ {*} { frac { partial psi} { partial x}}- psi { frac { partial psi ^ {*}} { partial x}} right）}

 。
バリアの左側の電流密度は L= ℏ
k （（ | |2
| | 2 ）。
{J _ { rm {L}} = { frac { hbar k} {m}} left（| A | ^ {2}-| B | ^ {2} right）}

 、
一方、バリアの右側の電流密度は = ℏ k （（ | |2
| | 2 ）。
{J _ { rm {R}} = { frac { hbar k} {m}} left（| C | ^ {2}-| D | ^ {2} right）}

 。
確率電流密度の保全のため、J Lは= J Rを。これは、S行列がユニタリ行列であることを意味します。
証拠 L= | |2
| |2
| |2
| | 2 | |2
| |2
| |2
| |2 Ψ o
u †Ψ o
u = Ψ I † Ψ 私Ψ
I † †Ψ
I = Ψ I † Ψ 私† = I {{ begin {aligned}＆J _ { rm {L}} = J _ { rm {R}} \＆| A | ^ {2}-| B | ^ {2} = | C | ^ { 2}-| D | ^ {2} \＆| B | ^ {2} + | C | ^ {2} = | A | ^ {2} + | D | ^ {2} \＆ Psi _ { rm {out}} ^ { dagger} Psi _ { rm {out}} = Psi _ { rm {in}} ^ { dagger} Psi _ { rm {in}} \ ＆ Psi _ { rm {in}} ^ { dagger} S ^ { dagger} S Psi _ { rm {in}} = Psi _ { rm {in}} ^ { dagger} Psi _ { rm {in}} \＆S ^ { dagger} S = I \ end {aligned}}}

時間反転対称性
ポテンシャルV（x）が実数の場合、システムは時間反転対称性を持ちます。この条件下で、ψ（x）がシュレディンガー方程式の解である場合、ψ*（x）も解です。
時間反転解は次の式で与えられます。ψ L ∗（（ ）。 = ∗ e− I
k + ∗
e I k { psi _ { rm {L}} ^ {*}（x）= A ^ {*} e ^ {-ikx} + B ^ {*} e ^ {ikx}}
  ポテンシャル障壁の左側の領域、および
ψ ∗（（ ）。 = ∗ e− I
k + ∗
e I k { psi _ { rm {R}} ^ {*}（x）= C ^ {*} e ^ {-ikx} + D ^ {*} e ^ {ikx}}
  ポテンシャル障壁の右側の領域の場合、係数B *、C *の項は入力波を表し、係数A *、D *の項は出力波を表します。
それらは再びS行列によって関連付けられます。（（ ∗ ∗
）。 = （（ 11 12 21 22 ）。 （（ ∗ ∗ ）。 {{ begin {pmatrix} A ^ {*} \ D ^ {*} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} S_ {11}＆S_ {12} \ S_ {21}＆S_ { 22} end {pmatrix}} { begin {pmatrix} B ^ {*} \ C ^ {*} end {pmatrix}} 、}