Slutsky_equation
Eugen Slutskyにちなんで名付けられた経済学のSlutsky方程式（またはSlutskyアイデンティティ）は、マーシャル（補償されていない）需要の変化をヒックス（補償された）需要の変化に関連付けます。
スルツキー方程式には、置換効果と所得効果の2つの部分が
一般に、代替効果は選択肢を制限する可能性があるため、消費者にとってマイナスになる可能性が彼は、価格が変化したときの消費者の反応を調査するためにこの式を設計しました。価格が上がると、予算セットが内側に移動し、需要量も減少します。対照的に、価格が下がると、予算セットが外側に移動し、需要量が増加します。代替効果は、一方で、相対価格変化の影響によるものである所得効果が解放された収入の影響によるものです。この方程式は、価格の変化によって引き起こされる財の需要の変化が、次の2つの効果の結果であることを示しています。
代替効果：仮想的に消費者の消費量が同じであれば、それは、比較的安価になると良いの変更の価格は、収入が商品の各以上の組み合わせに費やされる可能性が解放されるだろう。
所得効果：購買力価格の低下の結果として、消費者が増加し、消費者は現在、製品自体があるかどうかに応じて、同じ製品のより良い製品以上の余裕があるので、通常は良いか悪い良いです。
スルツキー方程式は、財jの価格の変化に応じて財iの需要の変化を分解します。
∂ 私（（ 、 w ）。
∂ =
∂ 私（（ 、 u ）。
∂ −
∂ 私（（ 、 w ）。 ∂ w （（、 w ）。 {{ partial x_ {i}（ mathbf {p}、w） over partial p_ {j}} = { partial h_ {i}（ mathbf {p}、u） over partial p_ {j}}-{ partial x_ {i}（ mathbf {p}、w） over partial w} x_ {j}（ mathbf {p}、w）、、}
どこ （（ 、 u ）。
{h（ mathbf {p}、u）}
ヒックス型需要であり、 （（ 、 w ）。
{x（ mathbf {p}、w）}
価格レベルのベクトルでのマーシャル需要です { mathbf {p}}
、富のレベル（または、代わりに、収入のレベル） w {w}
、および固定ユーティリティレベル u {u}
元の価格と収入で効用を最大化することによって与えられ、間接効用関数によって正式に与えられます v （（ 、 w ）。
{v（ mathbf {p}、w）}
。方程式の右辺は、uに固定された財i保有効用の需要の変化から、要求された財jの量を引いたものに、富が変化したときの財iの需要の変化を掛けたものに等しくなります。
右側の第1項は代替効果を表し、第2項は所得効果を表します。効用は観察できないため、置換効果は直接観察できませんが、観察可能なスルツキー方程式の他の2つの項を参照して計算できます。このプロセスは、需要変化のヒックス分解として知られることも
方程式は弾力性の観点から書き直すことができます： ϵ 、 I = ϵ 、
I − ϵ w I { epsilon _ {p、ij} = epsilon _ {p、ij} ^ {h}- epsilon _ {w、i} b_ {j}}
どこε pは（補償されていない）で、価格弾力性、εのp hは、補償価格弾力性、あるε 、w iの所得弾力性良いのI、およびB jの良いの予算のシェアJ。
全体として、簡単に言えば、スルツキー方程式は、需要の総変化は所得効果と代替効果で構成され、両方の効果が集合的に需要の総変化と等しくなければならないことを示しています。
Δ 1 = Δ 1 +
Δ 1 l { Delta x_ {1} = Delta x_ {1} ^ {s} + Delta x_ {1} ^ {l}}
上記の式は、需要の変動がさまざまな種類の商品を示していることを表すため、役立ちます。無差別曲線は常に下向きに傾斜しているため、置換効果は常に負になります。ただし、財の消費が所得によってどのように変化するかに依存するため、所得効果には同じことが当てはまりません。
通常の商品に対する所得効果はマイナスであり、価格が下がると購買力や所得が上がる。その結果、価格が上昇し、購買力や収入が減少すると、その逆が成り立ちます。需要も同様です。
一般的に、すべての商品が「正常」であるとは限りません。経済的な意味ではありますが、劣っている人もいます。しかし、それは品質的には貧しいということではなく、負の所得プロファイルを設定します。所得が増えると、消費者の財の消費は減少します。
たとえば、食料品の購入にお金が足りない消費者は、インスタントラーメンを購入しますが、通常、人々が日常的に消費するものとして、製品は一般的に保持されこれは、お金の面での制約によるものです。富が増えると、消費は減ります。この場合、代替効果はマイナスになりますが、所得効果もマイナスになります。
いずれにせよ、価格の上昇が商品の種類に応じて異なる場合、代替効果または所得効果はプラスまたはマイナスになります。
トータルエフェクト 代替効果 所得効果+ 代替品 代替品 不良品- 補完財 補完財 普通品
ただし、総合的な効果が常にマイナスになるかどうかは、劣った補完財が言及されているかどうかを判断することは不可能です。たとえば、代替効果と所得効果は反対方向に引っ張られます。全体的な効果は、どちらの効果が最終的に強いかによって異なります。
コンテンツ
1 導出
2 例
3 一度に複数の価格の変化：スルツキー行列
4 ギッフェン財
5 も参照してください
6 参考文献
7 参考文献
導出
スルツキー方程式を導出する方法はいくつかありますが、次の方法が最も簡単です。アイデンティティに注目することから始めます 私（（ 、 u ）。= 私（（ 、 e （（ 、 u ）。 ）。 {h_ {i}（ mathbf {p}、u）= x_ {i}（ mathbf {p}、e（ mathbf {p}、u））}
どこ e （（ 、 u ）。
{e（ mathbf {p}、u）}
は支出関数であり、uはpとwが与えられた効用を最大化することによって得られる効用です。p jに関して完全に微分すると、次のようになります。
∂ 私（（ 、 u ）。
∂ =
∂ 私（（ 、 e （（ 、 u ）。 ）。 ∂ +
∂ 私（（ 、 e （（ 、 u ）。 ）。 ∂ e （（ 、 u ）。⋅ ∂ e（（ 、 u ）。
∂ {{ frac { partial h_ {i}（ mathbf {p}、u）} { partial p_ {j}}} = { frac { partial x_ {i}（ mathbf {p}、 e（ mathbf {p}、u））} { partial p_ {j}}} + { frac { partial x_ {i}（ mathbf {p}、e（ mathbf {p}、u）） } { partial e（ mathbf {p}、u）}} cdot { frac { partial e（ mathbf {p}、u）} { partial p_ {j}}}}
。
その事実を利用して∂ e（（NS u ）。 ∂=（（ 、 u ）。
{{ frac { partial e（ mathbf {p}、u）} { partial p_ {j}}} = h_ {j}（ mathbf {p}、u）}
シェパードの補題と最適な補題によって、 （（、 u ）。= （（、 v （（、 w ）。 ）。 = （（、 w ）。 {h_ {j}（ mathbf {p}、u）= h_ {j}（ mathbf {p}、v（ mathbf {p}、w））= x_ {j}（ mathbf {p} 、w）、}
