Small-angle_approximation
小角度近似は、メインの値に近似するために使用することができる三角関数を当該角度が小さく、で測定されることを条件とする、ラジアン。
x 0のいくつかの（三角関数）関数のほぼ等しい振る舞い
sin θ ≈ θcos θ ≈ 1 − 2 ≈ 1
日焼けθ ≈ θ {{ begin {aligned} sin theta＆ append x theta \ cos theta＆ approx 1-{ frac { theta ^ {2}} {2}} upperx 1 \ tan theta＆ approx theta end {aligned}}}
これらの近似は、力学、電磁気学、光学、地図作成、天文学、コンピューターサイエンスなど、物理学と工学の分野で幅広い用途が この理由の1つは、絶対精度で答える必要のない微分方程式を大幅に単純化できることです。
小角度近似の有効性を実証する方法はいくつか最も直接的な方法は、三角関数ごとにMaclaurin級数を切り捨てることです。近似の次数に応じて、cos θ
{ textstyle cos theta}
どちらかとして概算されます 1 {1}
またはとして1 −
θ2 2
{ textstyle 1-{ frac { theta ^ {2}} {2}}} コンテンツ
1 正当化
1.1 グラフィック 1.2 幾何学的 1.3 微積分 1.4 代数
2 近似の誤差
3 角度の合計と差
4 特定の用途
4.1 天文学 4.2 振り子の動き 4.3 光学 4.4 波の干渉 4.5 構造力学 4.6 水先案内 4.7 補間
5 も参照してください
6 参考文献
正当化
グラフィック
近似の精度は、以下の図1と図2に示されています。角度の測定値がゼロに近づくと、近似と元の関数の差も0に近づきます。
図1.基本的な奇数三角関数とθの比較。角度が0に近づくと、近似が良くなることがわかります。
図2のA比較のcos θに1 -θ 2/2。角度が0に近づくと、近似が良くなることがわかります。
幾何学的
右側の赤いセクションdは、斜辺の長さHと隣接する辺Aの長さの差です。示されるように、HおよびAは意味、ほぼ同じ長さのcos θ 1に近いと
θ 2/2 赤を取り除くのに役立ちます。cos θ ≈ 1 −
θ2
{ cos { theta} upperx 1-{ frac { theta ^ {2}} {2}}}
反対側の脚Oは、青い弧の長さsにほぼ等しくなります。ジオメトリから事実を収集、Sは= Aθ、三角法から、罪θ =
O/NSそして、日焼けθ =
O/NS、および画像から、O ≈ S及びH ≈ Aリードに：
sin θ = O ≈
O =
日焼けθ =
O ≈ = θ =
θ { sin theta = { frac {O} {H}} append { frac {O} {A}} = tan theta = { frac {O} {A}} append { frac {s} {A}} = { frac {A theta} {A}} = theta。}
葉を単純化して、
sin θ ≈ 日焼けθ ≈
θ { sin theta approx tan theta approx theta。}
微積分
使用はさみうちの原理、を、私たちはそれを証明することができます
リム θ 0
sin （（ θ
）。θ =
1 { textstyle lim _ { theta to 0} { frac { sin（ theta）} { theta}} = 1、}
これは近似の正式な言い換えです
sin（（ θ
）。≈ θ
{ sin（ theta） approx theta}
θの値が小さい場合。
はさみうちの定理をより注意深く適用すると、ム θ 0 日焼け（（ θ
）。θ =
1 { textstyle lim _ { theta to 0} { frac { tan（ theta）} { theta}} = 1、}
そこから私たちはそれを結論付けます 日焼け （（ θ
）。≈ θ
{ tan（ theta） approx theta}
θの値が小さい場合。
最後に、ロピタルの定理は次のことを示しています
リム θ 0 cos （（ θ
）。− 1 θ 2 = リム θ
sin （（ θ
）。2 θ = − 1
2 { textstyle lim _ { theta to 0} { frac { cos（ theta）-1} { theta ^ {2}}} = lim _ { theta to 0} { frac { – sin（ theta）} {2 theta}} =-{ frac {1} {2}}、}
に再配置します cos （（ θ
）。≈ 1 −
θ2 2
{ textstyle cos（ theta） approx 1-{ frac { theta ^ {2}} {2}}}
θの値が小さい場合。あるいは、二倍角の公式を使用することもできます cos 2 ≡1 − 2
sin 2 { cos 2A equiv 1-2 sin ^ {2} A}
。させることによってθ =
2 { theta = 2A}
、わかります cos θ= 1 − 2 sin 2
θ 1 − θ2 2
{ textstyle cos theta = 1-2 sin ^ {2} { frac { theta} {2}} 約1-{ frac { theta ^ {2}} {2}}}
。
代数
正弦関数の小角度近似。
関連する三角関数のマクラウリン展開（テイラー展開約0）はです。
sin θ = ∑ =0 （（ − 1 ）。 （（ 2 + 1 ）。！ θ
2 +1
θ 3！ +
θ 5 ！ − 7！ + ⋯
{{ begin {aligned} sin theta＆= sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {（-1）^ {n}} {（2n + 1）！}} theta ^ {2n + 1} \＆= theta-{ frac { theta ^ {3}} {3！}} + { frac { theta ^ {5}} {5！}}-{ frac { theta ^ {7}} {7！}} + cdots end {aligned}}}
ここで、θはラジアン単位の角度です。より明確に言えば、
sin θ= θ −
θ3 + θ5 20 − θ7 040+ ⋯
{ sin theta = theta-{ frac { theta ^ {3}} {6}} + { frac { theta ^ {5}} {120}}-{ frac { theta ^ {7}} {5040}} + cdots}
2番目に重要な（3次）項は、最初の項の3乗として減少することがすぐにわかります。したがって、0.01のようなそれほど小さくない引数の場合でも、2番目に重要な項の値は次のオーダーになります。0.000 001、または
1/10 000最初の学期。したがって、安全に概算できます。
sin θ≈ θ
{ sin theta approx theta}
ひいては、小さな角度の余弦はほぼ1であり、接線は正弦を余弦で割ったもので与えられるため、
日焼けθ ≈
sin θ≈ θ
{ tan theta approx sin theta approx theta}
、
近似の誤差
図3.小角度近似の相対誤差のグラフ 図3は、小角度近似の相対誤差を示しています。相対誤差が1％を超える角度は次のとおりです。
COS θ ≈1 0.1408程度ラジアン（8.07°）で、
日焼けθ ≈ θ 0.1730程度ラジアン（9.91°）で、
sinθ ≈ θ 0.2441程度ラジアン（13.99度）で
COS θ ≈1 –
θ 2/2 約0.6620ラジアン（37.93°）
角度の合計と差
角度加減算定理は、角度の一方は（小さいとき、以下に減らすβ ≈0）：
cos（α + β）
≈COS（α） – β罪（α）、
cos（α − β）
≈COS（α）+ β罪（α）、
sin（α + β）
≈罪（α）+ βのcos（α）、
sin（α − β）
≈罪（α） – βのcos（α）。
特定の用途編集
天文学
天文学、角度寸法離れた物体の画像のなす又は角度は、多くの場合、わずか数で秒角、それは十分に小さい角度の近似に適しています。線形サイズ（D）は、次の簡単な式によって、角度サイズ（X）と観測者からの距離（d）に関連付けられます。 =206 265 {D = X { frac {d} {206 、265}}}
ここで、Xは秒単位で測定されます。
番号 206 265は、円内の秒数にほぼ等しくなります（1 296 000）、2πで割った値。
正確な式は = 日焼け（（ 2
π 296 000 ）。 {D = d tan left（X { frac {2 pi} {1 、296 、000}} right）}
ときに上記の近似は、以下の日焼けXが置き換えられているX。
振り子の動き
2次コサイン近似は、振り子の位置エネルギーを計算するのに特に役立ちます。振り子は、ラグランジュで適用して、間接（エネルギー）運動方程式を見つけることができます。
単純な振り子の周期を計算するときは、正弦の小角度近似を使用して、単純な調和運動を記述する微分方程式と比較することにより、結果の微分方程式を簡単に解くことができます。
光学
光学では、小角度近似が近軸近似の基礎を形成します。
波の干渉
正弦および正接の小角度近似は、二重スリット実験または回折格子に関連して使用され、方程式を単純化します。たとえば、「フリンジ間隔」=「波長」×「スリットからスクリーンまでの距離」÷「スリット分離」などです。
構造力学
小角度近似は、構造力学、特に安定性と分岐解析（主に座屈を受ける準備ができている軸方向に荷重がかかった柱）にも現れます。これにより、大幅な簡素化が実現しますが、正確性と実際の動作への洞察が犠牲になります。
水先案内
航空航法で使用される60分の1の規則は、小角度近似に基づいており、さらに1ラジアンが約60度であるという事実が
補間
小さな角度を含む加算と減算の式は、三角関数表の値の間を補間するために使用できます。
例：sin（0.755）
sin（0.755）= sin（0.75 + 0.005）
≈sin（0.75）+（0.005）cos（0.75）
≈（0.6816）+（0.005）（0.7317）
[三角関数表から取得したsin（0.75）とcos（0.75）の値]
≈0.6853。
も参照してください
スキニートライアングル
振り子の微小振動
正矢と半正矢
外正割と外正割
参考文献
^ Holbrow、Charles H。; etal。（2010）、Modern Introductory Physics（2nd ed。）、Springer Science＆Business Media、pp。30–32、ISBN 978-0387790794。
^ プレシャ、マイケル; etal。（2012）、Engineering Mechanics：Statics and Dynamics（2nd ed。）、McGraw-Hill Higher Education、p。12、ISBN 978-0077570613。
^ 「小角度近似| Brilliant Math＆ScienceWiki」。brilliant.org 。
^ ラーソン、ロン; etal。（2006）、単一変数の計算：初期の超越関数（第4版）、Cengage Learning、p。85、ISBN 0618606254。
^ ボアス、メアリーL.（2006）。物理学における数学的方法。ワイリー。NS。26. ISBN 978-0-471-19826-0。
^ Green、Robin M.（1985）、Spherical Astronomy、Cambridge University Press、p。19、ISBN 0521317797。
^ 「スリット干渉」。”