ソボレフ空間 – 日本語百科事典辞書

Sobolev_space
数学、ソボレフ空間は、あるベクトル空間を備えた関数のノルムの組み合わせであるL用のp -norms所定の順序にその誘導体アップで機能一緒の。導関数は、空間を完全にするための適切な弱い意味で理解されます。つまり、バナッハ空間です。直感的には、ソボレフ空間は、偏微分方程式など、一部のアプリケーションドメインに対して十分な数の導関数を持ち、関数のサイズと規則性の両方を測定するノルムを備えた関数の空間です。
ソボレフ空間は、ロシアの数学者セルゲイソボレフにちなんで名付けられました。それらの重要性は、古典的な意味で理解される導関数を持つ連続関数の空間に強い解がない場合でも、いくつかの重要な偏微分方程式の弱い解が適切なソボレフ空間に存在するという事実から来ています。

コンテンツ
1 動機
2 整数kのソボレフ空間
2.1 一次元の場合
2.1.1 p = 2の場合
2.1.2 その他の例
2.2 多次元の場合
2.2.1 滑らかな関数による近似
2.2.2 例
2.2.3 ソボレフ関数の絶対連続オンライン（ACL）特性評価
2.2.4 境界で消える機能
3 トレース
4 非整数kのソボレフ空間
4.1 ベッセルポテンシャル空間 4.2 Sobolev–Slobodeckijスペース
5 拡張演算子
5.1 以下の場合、P = 2 5.2 ゼロによる拡張
6 ソボレフ埋め込み
7 ノート
8 参考文献
9 外部リンク

動機
このセクションと記事全体 Ω { Omega}
$Omega$
のオープンサブセットです。
{ mathbb {R} ^ {n}。}

数学関数の滑らかさには多くの基準が最も基本的な基準は、連続性の基準かもしれません。滑らかさのより強い概念は微分可能性の概念であり（微分可能関数も連続であるため）、さらに滑らかさの概念は導関数も連続である（これらの関数はクラスであると言われます） 1
{C ^ {1}}

—微分可能性のクラスを参照してください）。微分可能関数は多くの分野で、特に微分方程式にとって重要です。しかし、20世紀には、その空間が観察されました 1
{C ^ {1}}

（また 2
{C ^ {2}}

など）は、微分方程式の解を研究するのに正確に適切なスペースではありませんでした。ソボレフ空間は、偏微分方程式の解を探すためのこれらの空間の最新の代替品です。
微分方程式の基礎となるモデルの量または特性は、通常、一様ノルムではなく、積分ノルムで表されます。典型的な例は、温度または速度分布のエネルギーを測定することです。L 2
{L ^ {2}}

-ノルム。したがって、ルベーグ空間関数を区別するためのツールを開発することが重要です。
部品による積分式は、すべてのそれをもたらし u ∈ k（（ Ω ）。 {u in C ^ {k}（ Omega）}

、どこ k {k}

は自然数であり、コンパクトなサポートを備えたすべての無限微分可能関数に対して
φφ
∈ ∞（（ Ω
）。 { varphi in C_ {c} ^ { infty}（ Omega）、}
∫ Ω u α φφ =（（ − 1 ）。| α | ∫ Ω φφ α
u 、
{ int _ { Omega} u 、D ^ { alpha ！} varphi 、dx =（-1）^ {| alpha |} int _ { Omega} varphi 、D ^ { alpha ！} u 、dx、}
どこ α { alpha}

ある多指数オーダーの| α | = k
{| alpha | = k}

表記法を使用しています： α =∂ | α
|∂ 1
α1
∂ α。
{D ^ { alpha ！} f = { frac { partial ^ {| alpha |} ！f} { partial x_ {1} ^ { alpha _ {1}} dots partial x_ {n} ^ { alpha _ {n}}}}。}
この方程式の左辺は、仮定するだけで意味があります u {u}

されるように局部的に積分。局所可積分関数が存在する場合 v {v}

、そのような ∫ Ω u α φφ =（（ − 1 ）。| α | ∫
Ω v φφ すべてのために
φφ
∈ ∞（（ Ω
）。 { int _ { Omega} u 、D ^ { alpha ！} varphi ; dx =（-1）^ {| alpha |} int _ { Omega} v 、 varphi ; dx qquad { text {for all}} varphi in C_ {c} ^ { infty}（ Omega）、}
それから私達は呼ぶ v {v}

弱いです α { alpha}

番目の偏導関数の u {u}

。弱者が存在する場合 α { alpha}

-の偏導関数 u {u}

、そしてそれはほとんどどこでも一意に定義され、したがってそれはルベーグ空間の要素として一意に決定されます。一方、 u ∈ k（（ Ω ）。 {u in C ^ {k}（ Omega）}

、そして古典と弱微分は一致します。したがって、 v {v}

弱いです α { alpha}

-の偏導関数 u {u}

、私たちはそれを次のように表すことができます α u ：= v {D ^ { alpha} u：= v}

。
たとえば、関数 u （（）。 = {{ 1 + − 1 < < 0 10 =0 1
− 0
< <1 0
そうしないと
{u（x）= { begin {cases} 1 + x＆-1 はゼロで連続ではなく、-1、0、または1で微分可能ではありません。 v （（）。 = {{1 − 1
< < 0 −1 0
< <1 0
そうしないと
{v（x）= { begin {cases} 1＆-1 の弱微分であるための定義を満たします u （（）。 {u（x）、}