Sub-Riemannian_manifold
数学、サブリーマン多様体は、の一般化の特定のタイプであるリーマン多様体。大まかに言えば、サブリーマン多様体の距離を測定するには、いわゆる水平部分空間に接する曲線に沿ってのみ進むことができます。
サブリーマン多様体（したがって、フォルティオリ、リーマン多様体）は、Carnot–Carathéodoryの計量と呼ばれる自然な固有の計量を持っています。このような距離空間のハウスドルフ次元は常に整数であり、その位相幾何学的次元よりも大きくなります（実際にリーマン多様体でない限り）。
サブリーマン多様体は、表面上の車両の運動、ロボットアームの運動、衛星の軌道力学など、古典力学の制約付きシステムの研究でよく発生します。ベリー位相などの幾何学的量は、サブリーマン多様体の言語で理解できます。ハイゼンベルググループに重要、量子力学は、天然のサブリーマン構造を運びます。
コンテンツ
1 定義
2 例
3 プロパティ
4 も参照してください
5 参考文献
定義
上の配布によって {M}
我々は意味subbundleの接線バンドルのを {M}
。
与えられた分布 （（ ）。
⊂ （（ ）。
{H（M） subset T（M）}
のベクトル場 （（ ）。
{H（M）}
水平と呼ばれます。曲線 γ { gamma}
オン {M}
水平と呼ばれる場合γ ˙（（ ）。
∈ γ（（ ）。（（ ）。
{{ dot { gamma}}（t） in H _ { gamma（t）}（M）}
のために {t}
。
上の配布 （（ ）。
{H（M）}
ある場合は完全に可積分ではないと呼ばれます ∈ {x in M}
任意の接線ベクトルは、次のタイプのベクトルの線形結合として表すことができます。 （（ ）。 （（ ）。 [ 、 ] （（ ）。 [ 、
[ 、] ]（（ ）。 …
∈（（ ）。
{A（x）、 （x）、 （x）、 dotsc in T_ {x}（M）}
ここで、すべてのベクトル場 、 、 、 、 … {A、B、C、D、 dots}
水平です。
サブリーマン多様体はトリプルです（（ 、 、 ）。
{ displaystyle（M、H、g）}
、 どこ {M}
可微分多様体です、 {H}
は完全に可積分でない「水平」分布であり、 {g}
上の正定二次形式の滑らかなセクションです {H}
。
任意のサブリーマン多様体は、天然の搬送固有メトリックと呼ばれる、カルノー-カラテオドリのメトリックとして定義され、 （（ 、 y ）。= inf ∫ 0 1 （（ γ ˙ （（ ）。 γ ˙ （（ ）。
） {d（x、y）= inf int _ {0} ^ {1} { sqrt {g（{ dot { gamma}}（t）、{ dot { gamma}}（t ））}} 、dt、}
