T-双対 – 日本語百科事典辞書

T-duality

で理論物理学、t-双対（ショート目標空間の二重性は）のいずれであってもよい2つの物理的理論の等価である量子場の理論や弦理論。この関係の最も単純な例では、理論の1つは、ある半径の円のような形をした架空の時空を伝播する文字列について説明しています。 {R}
、他の理論は、に比例する半径の円のような形をした時空を伝播する文字列を説明しています 1 / {1 / R}
。T-双対の概念は、1987年にBalaSathiapalanによってあいまいな論文で最初に指摘されました。 2つのT-双対理論は、1つの記述のすべての観測可能な量が二重の記述の量で識別されるという意味で同等です。たとえば、1つの説明の運動量は離散値を取り、2つの説明の円の周りに弦が巻かれる回数に等しくなります。
T-双対の概念は、超弦理論を含む、より複雑な理論に拡張できます。これらの二重性の存在は、一見異なる超弦理論が実際には物理的に同等であることを意味します。これにより、1990年代半ばに、5つの一貫した超弦理論はすべて、M理論と呼ばれる単一の11次元理論の異なる限定的なケースであることがわかりました。
一般に、T-双対は異なる時空幾何学を持つ2つの理論を関連付けます。このように、T-双対は、プランクスケール物理学の理論で幾何学の古典的な概念が崩壊する可能性のあるシナリオを示唆しています。 T-双対によって示唆される幾何学的関係は、純粋数学でも重要です。実際、アンドリュー・ストロミンガー、シン・トゥン・ヤウ、エリック・ザスロフのSYZ予想によれば、T双対はミラー対称性と呼ばれる別の双対性と密接に関連しており、列挙代数幾何学と呼ばれる数学の分野で重要な用途が

コンテンツ
1 概要
1.1 文字列と二重性 1.2 回転数 1.3 量子化された運動量 1.4 理論の同等性
2 超弦
3 ミラー対称性
4 も参照してください
5 ノート
6 参考文献

概要

文字列と二重性
T-双対は、物理学における二重性の一般的な概念の特定の例です。二重性という用語は、一見異なる2つの物理システムが重要な方法で同等であることが判明した状況を指します。2つの理論が二重性によって関連付けられている場合、一方の理論を何らかの方法で変換して、もう一方の理論と同じように見えるようにすることができることを意味します。その場合、2つの理論は、変換の下で互いに二重であると言われます。言い換えれば、2つの理論は同じ現象の数学的に異なる記述です。
理論物理学で研究された多くの双対性のように、T-双対性は弦理論の文脈で発見されました。弦理論では、粒子はゼロ次元の点としてではなく、ストリングと呼ばれる1次元の拡張オブジェクトとしてモデル化されます。弦の物理学は、さまざまな次元で研究することができます。日常の経験からおなじみの3つの次元（上/下、左/右、前/後ろ）に加えて、弦理論には、円に丸められた1つ以上のコンパクトな次元が含まれる場合が
これの標準的な例えは、庭のホースなどの多次元オブジェクトを検討することです。ホースを十分な距離から見ると、ホースの長さという1つの寸法しかないように見えます。しかし、ホースに近づくと、ホースに2番目の次元である円周が含まれていることがわかります。したがって、その中を這うアリは二次元で動くでしょう。このような余分な次元は、文字列がある半径の円上を伝播する理論に関連するT-双対において重要です。 {R}
$R""$
文字列が半径の円上を伝播する理論に 1 / {1 / R}

。

回転数
巻数
数学では、巻き数の曲線における平面所与の周りに点がある整数曲線が点の周囲に反時計回りに移動した回数の合計数を表します。回転数の概念は、コンパクトな余分な寸法の周りのストリングの巻きを測定するために使用されるT-双対の数学的記述において重要です。
たとえば、次の画像は、赤で示されている平面内の曲線のいくつかの例を示しています。各曲線は閉じていると見なされます。つまり、端点がなく、交差することができます。各曲線には、図の矢印で示されている方向がそれぞれの状況で、平面には黒で示されている識別点がこの識別された点の周りの曲線の回転数は、曲線がこの点の周りで行う反時計回りの回転の総数に等しくなります。 ⋯ { cdots}







−2 -1 0






    ⋯ { cdots}

1 2 3
総ターン数をカウントする場合、反時計回りのターンは正としてカウントされ、時計回りのターンは負としてカウントされます。たとえば、曲線が最初に原点を反時計回りに4回周回し、次に原点を時計回りに1回周回する場合、曲線の総巻き数は3になります。このスキームによれば、識別されたポイントの周りをまったく移動しない曲線の回転数はゼロですが、ポイントの周りを時計回りに移動する曲線の回転数は負です。したがって、曲線の回転数は任意の整数にすることができます。上の写真は、回転数が-2から3の間の曲線を示しています。

量子化された運動量
T-双対が生じる最も単純な理論は、円形のターゲット空間を持つ2次元シグマモデル、つまりコンパクト化された自由ボソンです。これらは、円のような形をした架空の時空におけるストリングの伝播を説明する単純な場の量子論です。したがって、文字列は、たとえば半径の円内にあるように制限された平面内の曲線としてモデル化できます。 {R}

、起源について。以下では、文字列は閉じている（つまり、エンドポイントがない）と想定しています。
この円を次のように示します 1
{S_ {R} ^ {1}}

。この円は、円周の倍数だけ異なる場合に2つの点が識別された実数直線のコピーと考えることができます。 2 π {2 pi R}

。したがって、任意の時点での文字列の状態を関数として表すことができます。
φφ（（ θ ）。 { varphi（ theta）}

単一の実パラメータの θ { theta}

。このような機能は、に展開することができフーリエ級数として
φφ（（ θ
）。 = θ + +
∑ ≠ 0 e I θ
{ varphi（ theta）= mR theta + x + sum _ {n neq 0} c_ {n} e ^ {in theta}}

。
ここ {m}

は円の周りの弦の回転数と定数モードを示します = 0
{x = c_ {0}}

フーリエ級数のが選ばれました。この式は一定時間の文字列の構成を表すため、すべての係数（ {x}

そしてその {c_ {n}}

）も時間の関数です。
させて ˙
{{ dot {x}}}

定数モードの時間微分を示します {x}

。これは、理論における一種の勢いを表しています。ここで考慮されている文字列が閉じているという事実を使用して、この運動量は形式の離散値のみを取ることができることを示すことができます ˙= / {{ dot {x}} = n / R}

いくつかの整数の場合 {n}

。より物理的な言葉で言えば、運動量スペクトルは量子化されていると言われています。

理論の同等性
上記の状況では、弦の総エネルギー、つまりハミルトニアンは次の式で与えられます。 =（（）。 2 + ˙
2 + ∑ | ˙ | 2 + 2
| | 2 {H =（mR）^ {2} + { dot {x}} ^ {2} + sum _ {n} | { dot {c}} _ {n} | ^ {2} + n ^ {2} | c_ {n} | ^ {2}}

。
理論の運動量が量子化されているため、この式の最初の2つの項は次のようになります。（（）。2 （（ / ）。 2 { displaystyle（mR）^ {2} +（n / R）^ {2}}

、および半径を同時に置き換える場合、この式は変更されません。 {R}

に 1 / {1 / R}

巻数を交換します {m}

と整数 {n}

。の式の合計 {H}

同様に、これらの変更による影響を受けないため、総エネルギーは変化しません。実際、このハミルトニアンの同等性は、2つの量子力学的理論の同等性にまで低下します。これらの理論の1つは、半径の円上を伝播するストリングを記述します。 {R}

、もう1つは、半径の円内を伝播する文字列について説明します 1 / {1 / R}

運動量と回転数が入れ替わっています。この理論の同等性は、T-双対の最も単純な現れです。

超弦

弦理論の双対性の図。青いエッジはS-双対を示します
。赤いエッジはT-双対を示します。
半ばの1990年代までは、弦理論に取り組んで物理学者は理論値の5つの異なるバージョンが存在したと思わ：I型、IIA型、IIBを入力して、の2種類たヘテロ弦理論（SO（32）とE 8 ×E 8）。異なる理論は異なるタイプのストリングを可能にし、低エネルギーで発生する粒子は異なる対称性を示します。
1990年代半ば、物理学者は、これらの5つの弦理論が実際には非常に重要な二重性によって関連していることに気づきました。これらの二重性の1つはT-双対です。たとえば、タイプIIAの弦理論は、T-双対を介してタイプIIBの弦理論と同等であり、ヘテロティック弦理論の2つのバージョンはT-双対によって関連付けられていることが示されました。
これらの二重性の存在は、5つの弦理論が実際にはすべての別個の理論ではないことを示しました。1995年、南カリフォルニア大学での弦理論会議で、エドワードウィッテンは、これら5つの理論すべてが、現在M理論として知られている単一の理論の単なる異なる限界であるという驚くべき提案をしました。ウィッテンの提案は、異なる超弦理論は、二重性とタイプIIA及びEという事実によってリンクされているという観察に基づいていた8 ×E 8つのたヘテロ弦理論は密接に11次元と呼ばれる重力理論に関連している超重力。彼の発表は、現在2番目のスーパーストリング革命として知られている仕事の急増につながりました。

ミラー対称性
ミラー対称性（ストリング理論）

6次元カラビ-ヤウ多様体の超曲面
弦理論と代数幾何学では、「鏡面対称」という用語は、カラビ・ヤウ多様体と呼ばれる複雑な形状を含む現象を指します。これらの多様体は、文字列が伝播できる興味深いジオメトリを提供し、結果として得られる理論は素粒子物理学に応用できる可能性が 1980年代後半、そのようなカラビ・ヤウ多様体が理論の物理学を一意に決定しないことに気づきました。代わりに、同じ物理学を生み出す2つのカラビ-ヤウ多様体があることがわかります。これらのマニホールドは互いに「ミラー」であると言われています。このミラーの二重性は、弦理論における重要な計算ツールであり、数学者が数え上げ幾何学の難しい問題を解決することを可能にしました。

トーラスがある
デカルト積二つの円の。
ミラー対称性を理解するための1つのアプローチは、1996年にAndrew Strominger、Shing-Tung Yau、Eric Zaslowによって提案されたSYZ予想です。 SYZ予想によれば、ミラー対称性は複雑なCalabi-Yauを分割することで理解できます。より単純な部分に多様化し、これらの部分に対するT-dualityの影響を考慮します。
カラビ・ヤウ多様体の最も単純な例は、トーラス（ドーナツのような形の表面）です。このような表面は、2つの円の積と見なすことができます。これは、トーラスが縦方向の円の集合（画像の赤い円など）の結合と見なすことができることを意味します。これらの円がどのように構成されているかを示す補助スペースがあり、このスペース自体が円（ピンクの円）です。この空間は、トーラスの縦方向の円をパラメータ化すると言われています。この場合、ミラー対称性は、縦方向の円に作用するT双対と同等であり、半径を次のように変更します。 {R}

に
α ′ / { alpha ‘/ R}

、と
α ′ { alpha ‘}

弦の張力の逆数。
SYZ予想は、この考えを、上に示したような6次元のカラビ-ヤウ多様体のより複雑なケースに一般化します。トーラスの場合と同様に、6次元のカラビ・ヤウ多様体をより単純な部分に分割できます。この場合は、3球でパラメーター化された3トリ（トーラスの概念を一般化する3次元オブジェクト）です。（球の3次元一般化）。 T-双対は、円からこの分解に現れる3次元トーラスに拡張でき、SYZ予想では、ミラー対称性は、これらの3次元トーラスにT-双対を同時に適用することと同等であると述べています。このように、SYZ予想は、ミラー対称性がカラビ・ヤウ多様体にどのように作用するかについての幾何学的な図を提供します。

も参照してください
S-双対
ミラー対称性
AdS / CFT対応
二次元の質量のない自由スカラーボソン

ノート
^ Sathiapalan1987。
^ Seiberg2006。
^ Sathiapalan1987。弦理論で発生する他の二重性は、 S-双対、 U-双対、鏡面対称、およびAdS / CFT対応です。
^ このアナロジーは、たとえばGreene 2000、p。186。
^ Witten1995。
^ Candelas etal。1985年。
^ ディクソン1988; Lerche、Vafa、およびWarner1989。
^ Zaslow2008。
^ Strominger、Yau、およびZaslow1996。
^ Yau and Nadis 2010、p。174。
^ より正確には、単一のトーラスに対応する特定の不良ポイントを除いて、3球上のすべてのポイントに関連付けられた3トーラスがYau and Nadis 2010、pp。176–7を参照して
^ Yau and Nadis 2010、p。178。

参考文献
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