トム空間

Thom_space

数学、トム・スペース、 トム複合体、またはポントリャーギン、トム構造（ちなんで名付けられルネ・トムとレフ・ポントリャーギンの）代数的トポロジーと微分トポロジーはある位相空間に関連付けられたベクトル束任意上、paracompactの空間。

コンテンツ
1 トム空間の構築
2 トム同型
3 トムの仕事の意義
4 可微分多様体の結果
5 トムスペクトル
5.1 本当のコボルディズム 5.2 トムスペクトルの定義
6 も参照してください
7 ノート
8 参考文献
9 外部リンク

トム空間の構築
この空間を構築する1つの方法は次のとおりです。させて ： E {p：E to B}
  パラコンパクト空間B上のランクnの 実数 ベクトル束である。次に、Bの各点bについて、ファイバー
E {E_ {b}}

  は {n}

 -次元の実数ベクトル空間。Eの直交構造を選択します。これは、ファイバーの滑らかに変化する内積です。これは、1の分割を使用して行うことができます。させて （（ E ）。 {D（E）}

  直交構造に関して単位円板束になり、 （（ E ）。 {S（E）}

 単位球束、次にトム空間になります （（ E ）。 {T（E）}

  商です （（ E ）。 ：= （（ E ）。 / （（ E ）。 {T（E）：= D（E）/ S（E）}

  位相空間の。 （（ E ）。 {T（E）}

 ある尖ったスペースのイメージでは、 （（ E ）。 {S（E）}

 ベースポイントとしての商で。場合Bはコンパクトで、その後、 （（ E ）。 {T（E）}

 Eのワンポイント圧縮です。
たとえば、Eが自明なバンドルである場合 ×× {B times mathbb {R} ^ {n}}

 、 それから （（ E ）。 = ×× {D（E）= B times D ^ {n}}

  と （（ E ）。 = ×× − 1 {S（E）= B times S ^ {n-1}}

 。書き込み +
{B _ {+}}

 以下のためのBばらばらの基点と、 （（ E ）。 {T（E）}

 のスマッシュ積です +
{B _ {+}}

  と {S ^ {n}}

 ; すなわち、nは減少番目懸濁液の +
{B _ {+}}

 。

トム同型
この構造の重要性は、繊維束のコホモロジーの主題に属する次の結果から始まります。（結果は次のように述べています。Z 2
{ mathbb {Z} _ {2}}

  向き付け可能性から生じる合併症を回避するための係数; ベクトル束の方向付け＃トム空間も参照して）
させて ： E {p：E to B}

 ランクnの実際のベクトル束である。次に、トム同型と呼ばれる同型があります Φ ： k（（ ;Z 2
）。 〜 k+ （（ （（ E
）。; Z 2
）。 { Phi：H ^ {k}（B; mathbb {Z} _ {2}） to { widetilde {H}} ^ {k + n}（T（E）; mathbb {Z} _ {2}）、}
  すべてのためのk個の0に等しいより大きいか、右手側がさコホモロジーを減少。
この定理は、ルネ・トムが有名な1952年の論文で策定し、証明したものです。
ランクkのB上の自明な束のトム空間は、のk番目のサスペンションと同型であるため、定理は、局所的な自明化におけるサスペンション同型のグローバルな一般化として解釈できます。 +
{B _ {+}}

 、Bに互いに素な点が追加されています（＃トム空間の構築を参照して）これは、トム空間を参照しない定理の定式化でより簡単に確認できます。
トム同型 – レッツ Λ { Lambda}

  リングになり、 ： E {p：E to B}

 こと指向ランクの実ベクトルバンドルのn。次に、クラスが存在しますu ∈NS（（ E E
∖ ;
Λ）。{u in H ^ {n}（E、E setminus B; Lambda）、}

ここで、BはゼロセクションとしてEに埋め込まれているため、任意のファイバーFに対してuの制限がu |（（ 、 ∖ 0 ）。 ∈NS （（ 、 ∖
0 ; Λ）。
{u | _ {（F、F setminus 0）} in H ^ {n}（F、F setminus 0; Lambda）}

Fの向きによって誘発されるクラスです。さらに、
{{ k（（ E; Λ
）。 k + （（ E E
∖ ; Λ ）。 ⟼ ⌣ u {{ begin {cases} H ^ {k}（E; Lambda） to H ^ {k + n}（E、E setminus B; Lambda）\ x longmapsto x smile u end {cases}}}

同型です。
簡潔に言えば、定理の最後の部分は、uが自由に生成することを示しています ∗（（ E E
∖ ; Λ ）。
{H ^ {*}（E、E setminus B; Lambda）}

  権利として ∗（（ E; Λ ）。 {H ^ {*}（E; Lambda）}

 -モジュール。クラスuは通常、Eのトムクラスと呼ばれます。引き戻し以来 ∗
： ∗（（ ; Λ ）。 ∗ （（ E; Λ ）。 {p ^ {*}：H ^ {*}（B; Lambda） to H ^ {*}（E; Lambda）}

 は環同型であり、 Φ { Phi}

  は次の式で与えられます。 Φ （（ ）。= ∗（（ ）。 ⌣ u { Phi（b）= p ^ {*}（b） smileu。}
  特に、トム同型写像はの単位元を送信します ∗（（ ）。
{H ^ {*}（B）}

 u。注：この式が意味をなすために、uはの要素として扱われます（リングを削除します） Λ { Lambda}

 ）。 〜 （（ （（ E ）。 ）。= （（ Sph（（ E ）。 、 ）。
≃ （（ E E
∖ ）。 {{ tilde {H}} ^ {n}（T（E））= H ^ {n}（ operatorname {Sph}（E）、B） simeq H ^ {n}（E、E setminus B）。}
 

トムの仕事の意義
トムは1952年の論文で、トムクラス、スティーフェルホイットニークラス、およびスティーンロッド作戦がすべて関連していることを示しました。彼はこれらのアイデアを使用して、1954年の論文Quelquespropriétésglobalesdesvariétésの可微分多様体で、コボルディズム群が特定のトム空間MG（n）のホモトピー群として計算できることを証明しました。証拠は、に依存し、密接に関連する横断性の特性平滑マニホールド-seeトム横断定理。この構造を逆にすることで、ジョン・ミルナーとセルゲイ・ノビコフ（とりわけ）は、高次元多様体の存在と独自性についての質問に答えることができました。これは現在、手術理論として知られています。さらに、空間MG（n）が合わさって、現在トムスペクトルとして知られているスペクトルMGを形成し、コボルディズムグループは実際には安定しています。したがって、トムの構造は微分トポロジーと安定ホモトピー理論を統合し、特に球の安定ホモトピーグループの知識に不可欠です。
スティーンロッド演算が利用できる場合は、それらと定理の同型写像を使用して、スティーフェル・ホイットニークラスを構築できます。スティーンロッド操作（mod 2）は自然変換であることを思い出してください 私
： （（ −; Z 2
）。+ I（（ −; Z 2
）。 {Sq ^ {i}：H ^ {m}（-; mathbb {Z} _ {2}） to H ^ {m + i}（-; mathbb {Z} _ {2}）、 }
  すべての非負の整数mに対して定義されます。もしも I = {i = m}

 、 それから 私
{Sq ^ {i}}

 カップの正方形と一致します。i番目のStiefel–Whitneyクラスを定義できますw I（（ ）。
{w_ {i}（p）}

  ベクトル束の ： E {p：E to B}

  に：w I（（ ）。 = Φ 1（（私（（ Φ（（ 1 ）。 ）。
）。 = Φ 1（（私（（ u ）。 ）。 {w_ {i}（p）= Phi ^ {-1}（Sq ^ {i}（ Phi（1）））= Phi ^ {-1}（Sq ^ {i}（u）） 。}

 

可微分多様体の結果
上記の束を滑らかな多様体の接束とすると、上記の結論はWu公式と呼ばれ、次の強い結果が得られます。Steenrod演算はホモトピー同値の下で不変であるため、次のように結論付けます。多様体のStiefel–Whitneyクラスも同様です。これは、他の特性クラスに一般化されない異常な結果です。セルゲイ・ノヴィコフのために、合理的なポントリャーギン類の位相不変性を確立する同様の有名で困難な結果が存在します。

トムスペクトル

本当のコボルディズム
コボルディズムについて考える方法は2つ1つは2つを考慮することです。 {n}

 -マニホールド 、 ′
{M、M ‘}

  ある場合は共謀している（（ + 1 ）。
{ displaystyle（n + 1）}

 -境界付き多様体 W {W}

  そのような∂ W= ∐ ′
{ partial W = M coprod M ‘}
  この種の情報をエンコードする別の手法は、埋め込みを行うことです。 ↪ + {M hookrightarrow mathbb {R} ^ {N + n}}

  法バンドルを検討する ν ：+ / { nu：N _ { mathbb {R} ^ {N + n} / M} to M}
  埋め込まれた多様体は、法線バンドルの同型クラスとともに、実際にはコボルディズムクラスと同じ情報をエンコードします。 {} image
 。これは、コボルディズムを使用して示すことができます W {W}

  いくつかの埋め込みを見つけるW+××
[ 0 1 ] { mathbb {R} ^ {N_ {W} + n} times }

  これは、トム空間へのマップのホモトピークラスを与えます O（（ ）。
{MO（n）}

 以下に定義します。の同型を示すπ O（（ ）。 ≅ Ω O
{ pi _ {*} MO（n） cong Omega _ {n} ^ {O}}
  もう少し作業が必要です。

トムスペクトルの定義
定義上、トムスペクトルはトム空間のシーケンスです。 O（（ ）。= （（ γ ）。
{MO（n）= T（ gamma ^ {n}）}
  私たちが書いた場所
γ O（（ ）。
{ gamma ^ {n} to BO（n）}

 以下のための普遍的なベクトル束ランクのn個。シーケンスはスペクトルを形成します。トムの定理は次のように述べていますπ ∗（（ O ）。 { pi _ {*}（MO）}

 方向性のないコボルディズムリングです; この定理の証明は、トムの横断性定理に決定的に依存しています。横断性がないため、トムスペクトルから位相多様体などのコボルディズムリングを計算できません。

も参照してください
コボルディズム
コホモロジー演算
スティーンロッド問題
服部–ストングの定理

ノート
^ 同型の証明。Bをに埋め込むことができます Sph （（ E ）。 { operatorname {Sph}（E）}

 ゼロセクションとして; つまり、ゼロベクトルまたは無限大セクションとしてのセクション。つまり、無限大ベクトルのセクション（トポロジ的には違いは重要ではありません）。2つの埋め込み方法を使用すると、次の3つの要素が（（ Sph（（ E
）。 Sph（（ E ）。 ∖ 、 ）。
{ displaystyle（ operatorname {Sph}（E）、 operatorname {Sph}（E） setminus B、B）}

 。
明らかに、 Sph （（ E ）。 ∖ { operatorname {Sph}（E） setminus B}

 変形-Bにリトラクトします。このトリプルの長く正確なシーケンスをとると、次のようになります。（（（（ E ）。 、 ）。
≃（（ Sph（（ E
）。 Sph（（ E ）。 ∖ ）。 {H ^ {n}（Sph（E）、B） simeq H ^ {n}（ operatorname {Sph}（E）、 operatorname {Sph}（E） setminus B）、}

後者は次と同型です：（（ E E
∖ ）。
{H ^ {n}（E、E setminus B）}

切除によって。
^ 「トムの定理」 （PDF）。2021年1月17日のオリジナルからアーカイブ （PDF）。
^ 「横断性」（PDF）。2021年1月17日のオリジナルからアーカイブ（PDF）。
^ Greenlees、JPC（2006-09-15）の8〜9ページを参照してください
。「可換代数論者のためのスペクトル」。arXiv：math / 0609452。
^ http://math.northwestern.edu/~jnkf/classes/mflds/2cobordism.pdf ^ ストング、p。18harvnbエラー：ターゲットなし：CITEREFStong（ヘルプ）
^ http://math.northwestern.edu/~jnkf/classes/mflds/4transversality.pdf

参考文献
サリバン、デニス（2004）。「幾何学的相同性とコボルディズムに関するルネ・トムの研究」。アメリカ数学会紀要。41（3）：341–350。土井：10.1090 / S0273-0979-04-01026-2。
ボット、ラウル; 火、ローリング（1982）。代数トポロジーにおける微分形式。ニューヨーク：スプリンガー。ISBN 0-387-90613-4。微分トポロジーの古典的なリファレンス。ポアンカレ双対性とオイラー類の球束へのリンクを扱います。
メイ、J。ピーター（1999）。代数トポロジーの簡潔なコース。シカゴ大学出版局。pp。183–198。ISBN 0-226-51182-0。
「ポントリャーギン-トム建設の説明」。MathOverflow。
ストング、ロバートE.（1968）。コボルディズム理論に関する注記。プリンストン大学出版局。
トム、ルネ（1954）「Quelquespropriétésglobalesdesvariétésdifférentiables」。Commentarii MathematiciHelvetici。28：17–86。土井：10.1007 / BF02566923。S2CID  120243638。
安藤、マシュー; ブルンバーグ、アンドリューJ。; Gepner、David J。; ホプキンス、マイケルJ。; レズク、チャールズ（2014）。「環スペクトルとトムスペクトルの単位」。Journal ofTopology。7（4）：1077–1117。arXiv：0810.4535。土井：10.1112 / jtopol / jtu009。MR  0286898。S2CID  119613530。

外部リンク
http://ncatlab.org/nlab/show/Thom+spectrum
「トム空間」、数学百科事典、EMS Press、2001
Akhil Mathewのブログ投稿：https：//amathew.wordpress.com/tag/thom-space/
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