トマエ関数 – 日本語百科事典辞書

Thomae’s_function

トーメの機能がある実際の-valued関数として定義することができる実変数の：
区間（0，1）の点プロット
。真ん中の一番上の点はf（1/2）= 1/2を
示しています（（）。 = {{
1もしも = （（合理的です）、 ∈ Z と ∈ 互いに素 0 もしも不合理です。
{f（x）= { begin {cases} { frac {1} {q}}＆{ text {if}} x = { tfrac {p} {q}} quad（x { text {は有理数）、}} p in mathbb {Z} { text {および}} q in mathbb {N} { text {coprime}} \ 0＆{ text {if}} x { text {は不合理です。}} end {cases}}}
これは、にちなんで命名されカールヨハネストーメ：が、他の多くの名前があるポップコーン機能、雨滴機能、可算クラウド機能、修正ディリクレ機能、定規機能、リーマン機能を、あるいはバビロンの上に星印（ジョンホートンコンウェイの名前）。
すべての有理数は互いに素（比較的素とも呼ばれる）で一意の表現を持っているので ∈ Z {p in mathbb {Z}}
と ∈ {q in mathbb {N}}
、関数は明確に定義されています。ご了承ください =+ 1
{q = + 1}
の唯一の番号です { mathbb {N}}
それは互いに素です = 0。 {p = 0。}
これはディリクレ関数の修正であり、有理数では1、それ以外では0です。

コンテンツ
1 プロパティ
2 関連する確率分布
3 定規機能
4 関連機能
5 も参照してください
6 ノート
7 参考文献
8 外部リンク

プロパティ
トマエ関数 {f}
$f""$
は有界であり、すべての実数を単位区間にマップします。：
[ 0 1
] {; f： mathbb {R} ; rightarrow ; 。}

{f}

ある定期的な期間で 1 ：（（ + ）。= （（）。
{1：; f（x + n）= f（x）}

すべての整数 nおよびすべての実数xに対して。
周期性の証明
すべてのために ∈ ∖ 、
{x in mathbb {R} smallsetminus mathbb {Q}、}

私たちも持っています + ∈ ∖ {x + n in mathbb {R} smallsetminus mathbb {Q}}

それゆえ（（ + ）。= （（）。 = 0{f（x + n）= f（x）= 0、}

すべてのために ∈ 、
{x in mathbb {Q}、;}

が存在します ∈ Z {p in mathbb {Z}}

と ∈ {q in mathbb {N}}

そのような = / 、
{; x = p / q、;}

と gcd （（、）。 = 1.1。
{ gcd（p、; q）= 1。}

検討 + =（（ + ）。
/{x + n =（p + nq）/ q}

。もしも{d}

分割する{p}

と{q}

、分割します +{p + nq}

と{p}

。逆に、{d}

分割する +{p + nq}

と{q}

、分割します（（ + ）。
− ={ displaystyle（p + nq）-nq = p}

と{q}

。そう gcd （（ + 、）。= gcd（（、）。= 1
{ gcd（p + nq、q）= gcd（p、q）= 1}

、と（（ + ）。= 1
/ = （（）。
{f（x + n）= 1 / q = f（x）}

。 {f}

はすべての有理数で不連続であり、実数内で密です。
有理数での不連続性の証明
させて 0= /{x_ {0} = p / q}

任意の有理数であり、 ∈ Z 、 ∈ 、
{; p in mathbb {Z}、; q in mathbb {N}、}

と{p}

と{q}

互いに素。これは確立します（（ 0
）。= 1
/ 。
{f（x_ {0}）= 1 / q。}

させて α ∈ ∖{; alpha in mathbb {R} smallsetminus mathbb {Q} ;}

いずれであっても無理数と定義 = 0 + α {x_ {n} = x_ {0} + { frac { alpha} {n}}}

すべてのために ∈ 。
{n in mathbb {N}。}

これらは {x_ {n}}

すべて不合理なので、（（）。= 0
{f（x_ {n}）= 0}

すべてのために ∈ 。
{n in mathbb {N}。}

これは、 | 0 − | = α 、
{| x_ {0} -x_ {n} | = { frac { alpha} {n}}、 quad}

と
| （（ 0 ）。 − （（）。| =
1 。
{ quad | f（x_ {0}）-f（x_ {n}）| = { frac {1} {q}}。}

させて
ε 1
/ {; varepsilon = 1 / q ;}

、および与えられた δ 0 { delta> 0}
0″”>
させて =1 + ⌈ α δ
⌉{n = 1 + left lceil { frac { alpha} { delta}} right rceil。}

対応する {; x_ {n}}

我々は持っています
| （（ 0）。
− （（ NS）。| = 1
/ ≥ ε {| f（x_ {0}）-f（x_ {n}）| = 1 / q geq varepsilon quad}
と | 0
− | = α =α 1 + ⌈ α
δ ⌉ < α ⌈ α δ ⌉ ≤ δ{| x_ {0} -x_ {n} | = { frac { alpha} {n}} = { frac { alpha} {1+ left lceil { frac { alpha} { delta}} right rceil}} <{ frac { alpha} { left lceil { frac { alpha} { delta}} right rceil}} leq delta、}

これはまさにの不連続性の定義です{f}

で 0
{x_ {0}}

。 {f}

ある連続全く無理数、また、密な実数内。
不合理な議論での継続性の証明
以来{f}

周期的に周期的です1 1}

と 0 ∈ 、
{0 in mathbb {Q}、}

のすべての不合理な点をチェックするだけで十分ですI =（（ 01
）。 {I =（0、; 1）。;}

今仮定する ε 0私 ∈ { varepsilon> 0、; i in mathbb {N}}
0，;iin mathbb {N} }””>
と 0 ∈ I
∖ 。
{x_ {0} in I smallsetminus mathbb {Q}。}

実数のアルキメデスの性質によると、 ∈ {r in mathbb {N}}

と 1 / <
ε{1 / r < varepsilon、}

そして存在するk I
∈ 、
{; k_ {i} in mathbb {N}、}

そのようなにとってI =
1 …
、{i = 1、 ldots、r}

我々は持っています0 < k I 私
< 0< k + 1 私{0 <{ frac {k_ {i}} {i}}
の最小距離 0
{x_ {0}}

そのi番目の下限と上限はに等しい私= 分 {{ | 0− k I I || 0 − k I + 1 I |
} {d_ {i}：= min left { left | x_ {0}-{ frac {k_ {i}} {i}} right |、; left | x_ {0}- { frac {k_ {i} + 1} {i}} right | right }。}

私たちは定義します δ { delta}

すべての有限数の最小値として私{d_ {i}。}
δ ：=分 1 ≤ I
≤{{ 私
} { delta：= min _ {1 leq i leq r} {d_ {i} }、;}

となることによって
すべてのためにI = 1
、。、、
{i = 1、…、r、}

| 0 − kI / I | ≥ δ { quad | x_ {0} -k_ {i} / i | geq delta quad}

と
| 0 − （（ kI + 1
）。/ I | ≥
δ{ quad | x_ {0}-（k_ {i} +1）/ i | geq delta。}

つまり、これらすべての有理数k I /
私（（ kI + 1
）。 / I {k_ {i} / i、;（k_ {i} +1）/ i、;}

外にあります δ { delta}

-の近隣 0 {x_ {0}。}

さあ、 ∈ ∩（（ 0 − δ 0 +
δ）。
{x in mathbb {Q} cap（x_ {0}- delta、x_ {0} + delta）}

ユニークな表現で = /{x = p / q}

どこ、 ∈ {p、q in mathbb {N}}

互いに素です。そして、必然的に、 >> 、
{q> r、;}
r，;}””>
したがって、（（）。= 1
/ < 1 / <
ε {f（x）= 1 / q <1 / r < varepsilon。}

同様に、すべての不合理な ∈ I 、（（）。= 0= （（ 0
）。 {x in I、; f（x）= 0 = f（x_ {0}）、;}

したがって、 ε 0 { varepsilon> 0}
0″”>
次に、任意の選択（十分に小さい） δ 0 { delta> 0}
0″”>
与える
| − 0| < δ ⟹
| （（ 0）。
− （（）。 | = （（）。 < ε {| x-x_ {0} | < delta implies | f（x_ {0}）-f（x）| = f（x）< varepsilon。}

したがって、{f}

継続している ∖ 。
{ mathbb {R} smallsetminus mathbb {Q}。 quad}
{f}

どこにも微分可能ではありません。
どこにも差別化できないことの証明
有理数の場合、これは非連続性に起因します。
無理数の場合：
無理数の
任意の
シーケンスに対して（（）。 =1
{ displaystyle（a_ {n}）_ {n = 1} ^ { infty}}

と≠0
{a_ {n} neq x_ {0}}

すべてのために ∈+
{n in mathbb {N} _ {+}}

それは不合理な点に収束します0 {x_ {0}、;}

シーケンス（（（（）。
）。 =1
{ displaystyle（f（a_ {n}））_ {n = 1} ^ { infty}}

同じように
0 {0、;}

など
リム ∞ | （（NS
NS）。
− （（NS
0）。− 0
|= 0。
{ lim _ {n to infty} left | { frac {f（a_ {n}）-f（x_ {0}）} {a_ {n} -x_ {0}}} right | = 0。}

フルヴィッツの定理に
よれば
、有理数の列も存在します（（）。 =1 = （（ k / ）。 = 1 ∞ { displaystyle（b_ {n}）_ {n = 1} ^ { infty} =（k_ {n} / n）_ {n = 1} ^ { infty}、;}

に収束0 {x_ {0}、;}

と
k ∈ Z {k_ {n} in mathbb {Z}}

と ∈ {n in mathbb {N}}

互いに素と | k / −0 | <1 5
⋅2 {| k_ {n} / n-x_ {0} | <{ frac {1} {{ sqrt {5}} cdot n ^ {2}}}。;}

したがって、すべての人にとって、
{n、}

| （（NS
NS）。
− （（NS
0）。− 0 | >> 1 / − 1 / （（ 5 ⋅2 ）。= 5
⋅ ≠ 0 { left | { frac {f（b_ {n}）-f（x_ {0}）} {b_ {n} -x_ {0}}} right |> { frac {1 / n- 0} {1 /（{ sqrt {5}} cdot n ^ {2}）}} = { sqrt {5}} cdot n neq 0 ;}
{frac {1/n-0}{1/({sqrt {5}}cdot n^{2})}}={sqrt {5}}cdot nneq 0;}””>
など {f}

まったく区別できない不合理です0{x_ {0}。}
{f}

各有理数で厳密な極大値を持ちます。
適切なの構築のために連続し、上記不連続性のための証拠を参照して地域、 {f}

持っている最大値を。 {f}

あるリーマン積分に任意の間隔と積分を計算上は、 0 {0}

どんなセットでも。
積分可能性
のルベーグ基準は、すべての不連続性のセットの測度がゼロである場合にのみ、有界関数がリーマン積分可能であると述べています。
実数の可算サブセット（有理数など）はすべてメジャーがゼロであるため、上記の説明は、トマエ関数が任意の区間でリーマン積分可能であることを示しています。関数の積分はに等しい 0 {0}
関数はほとんどすべての場所でゼロに等しいため、任意のセットに対して。

関連する確率分布
トマエ関数に関連する経験的確率分布は、DNAシーケンシングに表示されます。ヒトゲノムは二倍体であり、染色体ごとに2本の鎖を持っています。シーケンスされると、小さな断片（「リード」）が生成されます。ゲノム上の各スポットについて、整数個のリードがオーバーラップします。それらの比率は有理数であり、通常はトマエ関数と同様に分布します。
正の整数のペアの場合、 {m、n}

分布からサンプリングされます（（、）。
{f（n、m）}

比率を生成するために使用されます = /（（ + ）。
{q = n /（n + m）}

、これは分布を生じさせます（（）。
{g（q）}

有理数について。整数が独立している場合、分布は有理数の畳み込みと見なすことができます。（（ /（（ + ）。
）。 = ∑ = 1 ∞ （（）。（（）。
{ textstyle g（a /（a + b））= sum _ {t = 1} ^ { infty} f（ta）f（tb）}

。カットオフのあるべき乗分布には、閉じた形の解が存在します。もしも（（ k
）。= k −
α e − / L I α（（ e − β ）。 {f（k）= k ^ {- alpha} e ^ {- beta k} / mathrm {Li} _ { alpha}（e ^ {- beta}）}

（どこL I α
{ mathrm {Li} _ { alpha}}

は多重対数関数です）そして（（ /（（ + ）。
）。 = （（）。 − αL I 2 α（（ e − （（ + ）。 β ）。/ L I α 2 （（ e − β ）。 {g（a /（a + b））=（ab）^ {- alpha} mathrm {Li} _ {2 alpha}（e ^ {-（a + b） beta}）/ mathrm {Li} _ { alpha} ^ {2}（e ^ {- beta}）}

。セットで一様分布の場合 {{ 1 2 … L } { {1，2、 ldots、L }}
（（ /（（ + ）。
）。 = （（ 1 / L
2）。⌊ L /
最大（（、）。 ⌋ {g（a /（a + b））=（1 / L ^ {2}） lfloor L / max（a、b） rfloor}

、これはトマエ関数と非常によく似ています。それらのグラフは両方ともフラクタル次元3/2を持っています。

定規機能
整数の場合、2の累乗の指数を除算します {n}

0、1、0、2、0、1、0、3、0、1、0、2、0、1、0、···（配列与えるA007814にOEIS）。配列（、1、2、1、3、1、2、1、4、1、2、1、3、1、2、1、… 1が追加された場合、または0が削除された場合A001511にOEIS）。値は、1/16の目盛り付き定規の目盛りに似ているため、この名前が付けられています。これらの値はにトーメ機能の制限に対応する進分数：その分母もの有理数は2の累乗です。

関連機能
自然なフォローアップの質問は、有理数で連続であり、無理数で不連続である関数があるかどうかです。これは不可能であることが判明しました。任意の関数の不連続のセットがなければなりませんF σセット。そのような機能が存在していた場合は、無理数は以下のようになりF σセット。無理数はその後、可算だろう組合の閉集合 ⋃ I= 0
∞ 私
{ textstyle bigcup _ {i = 0} ^ { infty} C_ {i}}

、しかし、無理数には間隔が含まれていないため、私
{C_ {i}}

。したがって、それぞれ私
{C_ {i}}

どこにも密集しておらず、不合理なものはわずかな集合になります。したがって、無理数と有理数（明らかに貧弱）の和集合である実数も、わずかな集合になります。これは、ベールの範疇定理と矛盾します。実数は完全な距離空間を形成するため、ベール空間を形成します。これ自体は貧弱ではありません。
トーメの機能の変種は、いかなることを示すために使用することができますF σ実数のサブセットは、関数の不連続の集合とすることができます。もしも =
⋃ = 1 ∞ {A = textstyle bigcup _ {n = 1} ^ { infty} F_ {n}}

閉集合の可算和集合です {F_ {n}}

、定義（（）。 = {{
1もしも合理的であり、最小であるため ∈ −
1もしも不合理であり、最小であるため ∈ 0
もしも ∉{f_ {A}（x）= { begin {cases} { frac {1} {n}}＆{ text {if}} x { text {は有理数であり、}} n { text { }} x in F_ {n} \-{ frac {1} {n}}＆{ text {if}} x { text {は不合理であり、}} n { text {は}} x in F_ {n} \ 0＆{ text {if}} x notin A end {cases}}}
次に、トマエ関数と同様の引数は、次のことを示しています。 {f_ {A}}

持っているAは、不連続のセットとして。
任意の距離空間の一般的な構成については、のKim、SungSooを参照して「実関数の連続点のセットの特性評価」。American Mathematical Monthly 106.3（1999）：258-259。

も参照してください
ブルームバーグの定理
カントール関数
ディリクレ関数
ユークリッドの果樹園–トマエ関数は、ユークリッドの果樹園の透視図として解釈できます。
ヴォルテラの機能

ノート
^ Beanland、Roberts＆Stevenson 2009、p。531 ^ 「…いわゆる定規関数、ヨハネス・カール・トーマエの作品に登場したシンプルだが挑発的な例…グラフは定規の縦のマーキングを示唆しているので、その名前が付けられています。」（ Dunham 2008、p。149、第10章）
^ ジョンコンウェイ。「トピック：関数の来歴」。数学フォーラム。2018年6月13日にオリジナルからアーカイブされました。
^ Spivak 1965、p。53、定理3-8 ^ トリフォノフ、ウラジミール; パスクアルッチ、ローラ; Dalla-Favera、Riccardo; ラバダン、ラウル（2011）。「ハイスループットの生物学的および臨床的データにおける有理数のフラクタルのような分布」。ScientificReports。1（191）：191 arXivの：1010.4328。Bibcode：2011NatSR … 1E.191T。土井：10.1038 / srep00191。PMC 3240948。PMID 22355706。

参考文献
アボット、スティーブン（2016）、Understanding Analysis（オリジナルの第2版のソフトカバーの再版）、ニューヨーク：Springer、ISBN 978-1-4939-5026-3
バートル、ロバートG。; Sherbert、Donald R.（1999）、Introduction to Real Analysis（3rd ed。）、Wiley、ISBN 978-0-471-32148-4 （例5.1.6（h））
ビーンランド、ケビン; ロバーツ、ジェームズW。; Stevenson、Craig（2009）、「Modifications of Thomae’s Function and Differentiability」、The American Mathematical Monthly、116（6）：531–535、doi：10.4169 / 193009709×470425、JSTOR 40391145
Dunham、William（2008）、The Calculus Gallery：Masterpieces from Newton to Lebesgue（Paperback ed。）、Princeton：Princeton University Press、ISBN 978-0-691-13626-4
Spivak、M。（1965）、マニフォールドの計算、Perseus Books、ISBN 978-0-8053-9021-6

外部リンク
「ディリクレ関数」、数学百科事典、EMS Press、2001
ワイスタイン、エリックW. 「ディリクレ関数」。MathWorld。

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