Type-1_OWA_operators
タイプ1OWA演算子 は、ソフト意思決定およびデータマイニングで使用されるOWA（順序付き加重平均）演算子のセットです。
これらの演算子は、ソフトな意思決定とデータマイニングで、OWAメカニズムを介して、不確実な情報と不確実な重みを直接集約するための数学的手法を提供します。これらの不確実なオブジェクトは、ファジーセットによってモデル化されます。
タイプ1OWA演算子の2つの定義は、Zadehの拡張原理と α { alpha}-ファジー集合のカット。2つの定義により、同等の結果が得られます。
コンテンツ
1 定義
1.1 定義1 1.2 定義2
2 タイプ1OWA演算子の表現定理
3 タイプ1OWAオペレーターのプログラミングの問題
4 タイプ1OWA操作へのアルファレベルのアプローチ
5 特殊なケース
6 一般化
7 参考文献
定義
定義1
させて （（ ）。
{F（X）}
論議領域を持つファジィ集合の集合である {X}
、タイプ1OWA演算子は次のように定義されます。
与えられたnの言語的重み
{{W I } I =
1 { left {{W ^ {i}} right } _ {i = 1} ^ {n}}
論議領域で定義されたファジー集合の形でU =
[ 0 1 ] {U = }
、タイプ1のOWA演算子はマッピングであり、 Φ { Phi}
、 Φ ： （（ ）。
×× ⋯ ×× （（ ）。
⟶ （（ ）。
{ Phi Colon F（X） times cdots times F（X） longrightarrow F（X）}
（（ 1 ⋯
、 ）。↦ Y
{ displaystyle（A ^ {1}、 cdots、A ^ {n}） mapsto Y}
そのような μ Y（（ y
）。= sup ∑ k =1 w ¯
I σ（（ 私
）。= y（（ μW 1（（ w 1 ）。∧ ⋯ ∧ μ
W（（ w ）。 ∧ μ 1 （ 1 ）。∧ ⋯ ∧
μ（（）。 ）。 { mu _ {Y}（y）= sup _ { sum _ {k = 1} ^ {n} { bar {w}} _ {i} a _ { sigma（i ）} = y} left（{ begin {array} {* {1} l} mu _ {W ^ {1}}（w_ {1}） wedge cdots wedge mu _ {W ^ { n}}（w_ {n}） wedge mu _ {A ^ {1}}（a_ {1}） wedge cdots wedge mu _ {A ^ {n}}（a_ {n}） end {array}} right）}
どこw ¯ I= w I∑ I = 1w I
{{ bar {w}} _ {i} = { frac {w_ {i}} { sum _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i}}}}}
、 とσ ： {{ 1 ⋯
、 } ⟶ {{ 1 ⋯ 、 }
{ sigma Colon {1、 cdots、n } longrightarrow {1、 cdots、n }}
は次のような順列関数です σ（（ 私 ）。 ≥ σ（（ 私+ 1
）。 ∀I =
1 ⋯
、 − 1 {a _ { sigma（i）} geq a _ { sigma（i + 1）}、 forall i = 1、 cdots、n-1}
、 NS、 σ（（ 私 ）。 {a _ { sigma（i）}}
それは I {i}
セットの中で最も高い要素
{{1 ⋯ 、} { left {{a_ {1}、 cdots、a_ {n}} right }}
。
定義2
ファジー集合のアルファカットの使用：
n個の言語の重みが与えられた
{{W I } I =
1 { left {{W ^ {i}} right } _ {i = 1} ^ {n}}
論議領域で定義されたファジー集合の形でU =
[ 0 1 ] {U = }
、次にそれぞれについてα ∈
[ 0 1 ] { alpha in }
、 α
{ alpha}
-レベルタイプ1OWA演算子 α { alpha}
-レベルセット
{{W α I } I = 1 { left {{W _ { alpha} ^ {i}} right } _ {i = 1} ^ {n}}
を集約するには α { alpha}
-ファジィ集合のカット
{{ 私} I =
1 { left {{A ^ {i}} right } _ {i = 1} ^ {n}}
は： Φ α（（ α 1 …
、 α ）。 = {{
∑I = 1 w
I σ（（ 私
）。∑ I = 1 w I
|w I ∈
W α I 、 私 ∈ α
I 私 = 1 …
、 }
{ Phi _ { alpha} left（{A _ { alpha} ^ {1}、 ldots、A _ { alpha} ^ {n}} right）= left {{{ frac { sum Limits _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} a _ { sigma（i）}}} { sum Limits _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i}} }} left | {w_ {i} in W _ { alpha} ^ {i}、; a_ {i}} right。 in A _ { alpha} ^ {i}、; i = 1、 ldots、n} right }}
どこ W α
{{w |
μ W I（（ w
）。≥ α }
、 α
{{ |
μ私（（ ）。≥ α }
{W _ { alpha} ^ {i} = {w | mu _ {W_ {i}}（w） geq alpha }、A _ { alpha} ^ {i} = {x | mu _ {A_ {i}}（x） geq alpha }}
、 とσ ：
{{ 1 ⋯ 、 }
{{ 1 ⋯ 、 }
{ sigma： {; 1、 cdots、n ; } to {; 1、 cdots、n ; }}
は次のような順列関数です σ（（ 私 ）。 ≥ σ（（ 私+ 1
）。 ∀I =
1 ⋯
、 − 1 {a _ { sigma（i）} geq a _ { sigma（i + 1）}、; forall ; i = 1、 cdots、n-1}
、 NS、 σ（（ 私 ）。 {a _ { sigma（i）}}
それは I {i}
セット内で最大の要素
{{1 ⋯ 、} { left {{a_ {1}、 cdots、a_ {n}} right }}
。
タイプ1OWA演算子の表現定理
n個の言語の重みが与えられた
{{W I } I =
1 { left {{W ^ {i}} right } _ {i = 1} ^ {n}}
論議領域で定義されたファジー集合の形でU =
[ 0 1 ] {U = }
、およびファジィ集合 1 ⋯
、 {A ^ {1}、 cdots、A ^ {n}}
、それから私たちはそれを持っています Y = {Y = G}
どこ Y {Y}
は定義1によって得られた集計結果であり、 {G}
は定義2で得られた結果です。
タイプ1OWAオペレーターのプログラミングの問題
タイプ1OWA演算子の表現定理によれば、一般的なタイプ1OWA演算子は一連の α { alpha}
-レベルタイプ1OWA演算子。実際には、このシリーズの α { alpha}
-レベルタイプ1OWA演算子は、結果の集約ファジーセットを構築するために使用されます。したがって、間隔の左端点と右端点のみを計算する必要がありますΦ α （（α 1 ⋯
、α ）。
{ Phi _ { alpha} left（{A _ { alpha} ^ {1}、 cdots、A _ { alpha} ^ {n}} right）}
。次に、結果の集約ファジーセットは、次のようにメンバーシップ関数を使用して構築されます。
μ （（ ）。= ⋁ α ： ∈Φ α（（ α
1 ⋯
、 α ）。α α
{ mu _ {G}（x）= operatorname { bigvee} Limits _ { alpha：x in Phi _ { alpha} left（{A _ { alpha} ^ {1}、 cdots、A _ { alpha} ^ {n}} right）_ { alpha}} alpha}
左側のエンドポイントについては、次のプログラミングの問題を解決する必要が Φ α（（ α
1 ⋯
、 α ）。− = 分 W α
− w I
≤W α +
I α − I
≤ 私
≤ α+ I ∑
I= 1 w σ（（ 私
）。/ ∑ I = 1 w I { Phi _ { alpha} left（{A _ { alpha} ^ {1}、 cdots、A _ { alpha} ^ {n}} right）_ {-} = operatorname { min } Limits _ { begin {array} {l} W _ { alpha-} ^ {i} leq w_ {i} leq W _ { alpha +} ^ {i} A _ { alpha-} ^ {i } leq a_ {i} leq A _ { alpha +} ^ {i} end {array}} sum limits _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} a _ { sigma（i ）} / sum Limits _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i}}}}
一方、適切なエンドポイントについては、次のプログラミングの問題を解決する必要が Φ α（（ α
1 ⋯
、 α ）。+ =
最大W α
− w I
≤W α +
I α − I
≤ 私
≤ α+ I ∑
I= 1 w σ（（ 私
）。/ ∑ I = 1 w I { Phi _ { alpha} left（{A _ { alpha} ^ {1}、 cdots、A _ { alpha} ^ {n}} right）_ {+} = operatorname { max } Limits _ { begin {array} {l} W _ { alpha-} ^ {i} leq w_ {i} leq W _ { alpha +} ^ {i} A _ { alpha-} ^ {i } leq a_ {i} leq A _ { alpha +} ^ {i} end {array}} sum limits _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} a _ { sigma（i ）} / sum Limits _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i}}}}
タイプ1OWA集約操作を効率的に実行できるように、2つのプログラミング問題を解決するための高速な方法が提示されました。詳細については、論文を参照して
タイプ1OWA操作へのアルファレベルのアプローチ
3段階のプロセス：
ステップ1-を設定するには α { alpha}
-のレベル解像度。
ステップ2-それぞれについてα ∈
[ 0 1 ] { alpha in }
、
ステップ2.1-計算するには
ρ α +
私0
{ rho _ { alpha +} ^ {i_ {0} ^ { ast}}}
させてI 0 = 1
{i_ {0} = 1}
;
もしも ρ α+ I 0
≥ α+ σ （（私 0）。
{ rho _ { alpha +} ^ {i_ {0}} geq A _ { alpha +} ^ { sigma（i_ {0}）}}
、 ストップ、 ρ α+ I 0
{ rho _ { alpha +} ^ {i_ {0}}}
解決策です。それ以外の場合は、ステップ2.1-3に進みます。I 0 I 0 + 1 {i_ {0} leftarrow i_ {0} + 1}
、ステップ2.1-2に進みます。
ステップ2.2計算するにはρ α − 私0
{ rho _ { alpha-} ^ {i_ {0} ^ { ast}}}
させてI 0 = 1
{i_ {0} = 1}
;
もしも ρ α− I 0
≥ α − σ （（私 0）。
{ rho _ { alpha-} ^ {i_ {0}} geq A _ { alpha-} ^ { sigma（i_ {0}）}}
、 ストップ、 ρ α− I 0
{ rho _ { alpha-} ^ {i_ {0}}}
解決策です。それ以外の場合は、ステップ2.2-3に進みます。I 0 I 0 + 1 {i_ {0} leftarrow i_ {0} + 1}
、ステップ2.2-2に進みます。
ステップ3-集約結果のファジーセットを構築するには {G}
利用可能なすべての間隔に基づく
[ ρα I 0
∗ ρ α +
私0 ] { left [{ rho _ { alpha-} ^ {i_ {0} ^ { ast}}、; rho _ { alpha +} ^ {i_ {0} ^ { ast}} }右]}
：
μ （（ ）。= ⋁ α ： ∈
[ ρα − I 0
∗ρα + I 0 ∗] α
{ mu _ {G}（x）= operatorname { bigvee} Limits _ { alpha：x in left [{ rho _ { alpha-} ^ {i_ {0} ^ { ast}}、; rho _ { alpha +} ^ {i_ {0} ^ { ast}}} right]} alpha}
特殊なケース
最大、最小、平均演算子などのOWA演算子。（タイプ1）ファジー集合の演算子を結合します。つまり、ファジー最大演算子。（タイプ1）ファジー集合の演算子 、つまりファジー最小演算子を満たします。（タイプ1）ファジー集合の結合のような演算子。 （タイプ1）ファジー集合のミートのような演算子。
一般化
タイプ2OWA演算子は、ソフトな意思決定のためにタイプ2ファジー集合を集約するます。
参考文献
^ 周、SM; F.チクラナ; RIジョン; JMガリバルディ（2008）。「タイプ2言語定量化子によって誘発された不確実な重みを持つ不確実な情報を集約するためのタイプ1OWA演算子」。ファジーセットとシステム。159（24）：3281–3296。土井：10.1016 /j.fss.2008.06.018。
^ Zhou、SM; F.チクラナ; RIジョン; JMガリバルディ（2011）。「アルファレベルの集約：乳がん治療への応用を伴う不確実な情報を集約するためのタイプ1OWA操作への実用的なアプローチ」（PDF）。知識とデータ工学に関するIEEEトランザクション。23（10）：1455–1468。土井：10.1109 /TKDE.2010.191。
^ Yager、RR（1988）。「多基準意思決定における順序付けされた加重平均集計演算子について」。システム、人間、およびサイバーネティクスに関するIEEEトランザクション。18：183–190。土井：10.1109 /21.87068。hdl：10338.dmlcz / 135605。
^ Mizumoto、M。; 田中健一（1976）。「タイプ2のファジー集合のいくつかの特性」。情報と管理。31（4）：312–40。土井：10.1016 / s0019-9958（76）80011-3。
^ ザデー、LA（1975）。「言語変数の概念とその近似推論への応用-1」。情報科学。8（3）：199–249。土井：10.1016 / 0020-0255（75）90036-5。hdl：10338.dmlcz / 143246。
^ 周、SM; F.チクラナ; RIジョン; JMガリバルディ（2011）。不確実な情報の集約におけるOWAオペレーターのあいまいさ。RR Yager、J。Kacprzyk、G。Beliakov（Ed）：順序付けされた加重平均演算子の最近の開発-理論と実践。あいまいさとソフトコンピューティングの研究。スプリンガー。pp。91–109。土井：10.1007 / 978-3-642-17910-5_5。ISBN
978-3-642-17909-9。
^ 周、SM; RIジョン; F.チクラナ; JMガリバルディ（2010）。「ソフトな意思決定のためのタイプ2OWAオペレーターによる不確実な情報の集約について」（PDF）。インテリジェントシステムの国際ジャーナル。25（6）：540–558。土井：10.1002 /int.20420。”