Type_(model_theory)
でモデル理論との関連分野数学、タイプは中（実数または可能）、または複数の要素の有限集合方法について説明したオブジェクトである数学的構造が動作をする可能性がより正確には、一連のある一次言語で式L自由変数とX 1、X 2、…、X n個の要素の配列の該当するLの-構造は {{ mathcal {M}}}
。コンテキストに応じて、型は完全または部分的であり、構造からの定数の固定セットAを使用する場合があります {{ mathcal {M}}}
。どのタイプがの実際の要素を表すかという質問 {{ mathcal {M}}}
飽和モデルと省略型のアイデアにつながります。
コンテンツ
1 正式な定義
2 タイプの例
3 ストーンスペース
4 省略型の定理
5 参考文献
正式な定義
構造を考えてみましょう {{ mathcal {M}}}
以下のための言語 L。してみましょうMがあること、宇宙の構造の。すべてのためのA ⊆ M、聞かせてL（Aは）から得られた言語であるL定数追加することによって、C毎ため ∈ Aを。言い換えると、 L （（ ）。= L ∪
{{ ： ∈ } {L（A）= L cup {c_ {a}：a in A }。}
1型（の {{ mathcal {M}}}
）を超える AセットであるP（Xにおける式）L（A最大で1つの自由変数を伴う）Xすべての有限の部分集合のためにこのようなこと（したがって、1型）、P 0（X）⊆ P（X）は、いくつかあり、Bは ∈ M、に応じてP 0（X）と⊨ 0（（ ）。
{{ mathcal {M}} models p_ {0}（b）}
（つまり、p 0（x）のすべての式は {{ mathcal {M}}}
xがbに置き換えられたとき）。
同様に（のn型 {{ mathcal {M}}}
）over Aは、L（A）の式の集合p（x 1、…、x n）= p（x）として定義され、それぞれの自由変数は、指定されたn個の自由変数x 1、…、X nは、すべての有限のサブセットについてようにP 0（X）⊆ P（X）は、いくつかの要素があり、B 1、…、B N ∈ Mとは⊨ 0（（ 1 …
、 NS）。
{{ mathcal {M}} models p_ {0}（b_ {1}、 ldots、b_ {n}）}
。
完全な形の {{ mathcal {M}}}
over Aは、包含に関して最大のものです。同等に、すべての ϕ （（ ）。∈ L（（ 、 ）。
{ phi（{ boldsymbol {x}}） in L（A、{ boldsymbol {x}}）}
また ϕ （（ ）。
∈ （（ ）。
{ phi（{ boldsymbol {x}}） in p（{ boldsymbol {x}}）}
また¬ ϕ（（ ）。
∈ （（ ）。
{ lnot phi（{ boldsymbol {x}}） in p（{ boldsymbol {x}}）}
。不完全な型は部分型と呼ばれます。したがって、一般に、単語タイプは、選択されたパラメーターのセット（場合によっては空のセット）に対する、部分的または完全な任意のnタイプを指します。
n個の型P（xは）であると言われていますで実現 {{ mathcal {M}}}
要素が存在する場合、B ∈ M Nように⊨ （（ ）。
{{ mathcal {M}} models p（{ boldsymbol {b}}）}
。このような実現の存在は、コンパクト性定理によってどのタイプでも保証されますが、実現は次の基本的な拡張で行われる可能性が {{ mathcal {M}}}
ではなく {{ mathcal {M}}}
自体。完全な型をすることによって実現されている場合は、Bに {{ mathcal {M}}}
、その場合、タイプは通常示されます（（/ ）。
{tp_ {n} ^ { mathcal {M}}（{ boldsymbol {b}} / A）}
A上のbの完全なタイプ と呼ばれます。
タイプp（x）は、
φφ
{ varphi}
、 にとって
φφ
∈ （（ ）。
{ varphi in p（x）}
、すべての場合 ψ （（ ）。
∈ （（ ）。 { psi（{ boldsymbol {x}}） in p（{ boldsymbol {x}}）、}
我々は持っています（（ NS）。 ⊨ φφ（（ ）。 ψ （（ ）。
{ operatorname {Th}（{ mathcal {M}}） models varphi（{ boldsymbol {x}}） rightarrow psi（{ boldsymbol {x}}）}
。タイプの有限サブセットは常にで実現されるため {{ mathcal {M}}}
、要素常に存在するB ∈ MはNようにφ（bが）真であります {{ mathcal {M}}}
; NS⊨
φφ（（ ）。
{{ mathcal {M}} models varphi（{ boldsymbol {b}}）}
、したがって、bは分離されたタイプ全体を実現します。したがって、分離されたタイプは、すべての基本的な下部構造または拡張で実現されます。このため、分離型を省略することはできません（以下を参照）。
可能な限り多様なタイプを実現するモデルを飽和モデルと呼び、超出力構造は飽和モデルを作成する1つの方法を提供します。
タイプの例
1つのバイナリ接続を持つ言語を考えてみましょう。 ∈ { in}
。させて {{ mathcal {M}}}
構造になります ⟨ ω ∈ω ⟩
{ langle omega、 in _ { omega} rangle}
序数であるこの言語のために ω { omega}
その標準的な秩序で。させて {{ mathcal {T}}}
の理論を示します {{ mathcal {M}}}
。
数式のセットを検討してください （（ ）。 ：= {{ ∈
ω ∣ ∈ω }
{p（x）：= {n in _ { omega} x mid n in omega }}
。まず、これはタイプであると主張します。させて 0（（ ）。
⊆ （（ ）。
{p_ {0}（x） subseteq p（x）}
の有限部分集合である （（ ）。
{p（x）}
。私たちは見つける必要があります ∈ ω {b in omega}
のすべての式を満たす 0
{p_ {0}}
。さて、式のセットで言及されている最大の序数の後継者を取ることができます 0（（ ）。
{p_ {0}（x）}
。次に、これには、 0（（ ）。
{p_ {0}（x）}
。したがって、私たちはそれを持っています （（ ）。
{p（x）}
タイプです。次に、注意してください （（ ）。
{p（x）}
で実現されていません {{ mathcal {M}}}
。なぜなら、もしそれがあったとしたら、 ∈ ω {n in omega}
のすべての要素が含まれています ω { omega}
。タイプを実現したいのであれば、モデルを検討したくなるかもしれません⟨ ω +
1 ∈
ω 1
{ langle omega +1、 in _ { omega +1} rangle}
、これは確かにのスーパーモデルです {{ mathcal {M}}}
それはタイプを実現します。残念ながら、この拡張機能は基本的なものではありません。つまり、このモデルは満たす必要はありません。 {{ mathcal {T}}}
。特に、文
∃ ∀ y （（ y
∈ ∨ y = ）。
{ examples x forall y（y in x lor y = x）}
ではなく、このモデルによって満たされます {{ mathcal {M}}}
。
ですから、エレメンタリーエクステンションでタイプを実現したいと思います。これを行うには、言語で新しい構造を定義します。 ′
{{ mathcal {M}} ‘}
。構造のドメインは次のようになりますω ∪ Z ′ { omega cup mathbb {Z} ‘}
どこ Z ′
{ mathbb {Z} ‘}
は、次のように装飾された整数のセットです。 Z ′∩ ω = ∅
{ mathbb {Z} ‘ cap omega = emptyset}
。させて < {<}
の通常の順序を示します Z ′
{ mathbb {Z} ‘}
。記号を解釈します ∈ { in}
私たちの新しい構造で′ = ∈ ω ∪< ∪（（ ω
×× Z ′ ）。 { in _ {{ mathcal {M}} ‘} = in _ { omega} cup < cup 、（ omega times mathbb {Z}'）}
。「 Z { mathbb {Z}}
-チェーン」、または整数のコピー、とりわけ有限の序数。明らかに、 Z ′
{ mathbb {Z} ‘}
タイプを実現します （（ ）。
{p（x）}
。さらに、この拡張機能が基本的なものであることを確認できます。
別の例：自然数のメンバーと見なされる、空のセットに対する数値2の完全なタイプは、変数xを記述するすべての1次ステートメントのセットであり、x = 2の場合に真になります。このセット次のような式が含まれます ≠1 + 1 + 1
{、！x neq 1 + 1 + 1}
、 ≤1 + 1 + 1+ 1 + 1
{x leq 1 + 1 + 1 + 1 + 1}
、 と∃ y（（ y
< ）。
{ examples y（y
。これは孤立したタイプの例です。なぜなら、自然の理論に取り組んでいるので、式 =1 + 1
{x = 1 + 1}
数2について真である他のすべての式を意味します。
さらなる例として、ステートメント∀ y（（ y2 < 2 ⟹ y
< ）。
{ forall y（y ^ {2} <2 implies y
と ∀ y（（ （（ y
>>0 ∧ y 2
>> 2 ）。⟹ y
>> ）。
{ forall y（（y> 0 land y ^ {2}> 2） implies y> x）}
0land y^{2}>2)implies y>x)}””> 2の平方根を記述することは、順序体の公理と一致しており、完全な型に拡張できます。このタイプは、有理数の順序体では実現されませんが、実数の順序体では実現されます。同様に、（空のセットに対する）無限の式のセット{x> 1、x> 1 + 1、x> 1 + 1 + 1、…}は、実数の順序体では実現されませんが、実現されますハイパーリアルの順序体で。すべての実数などのパラメーターを許可する場合は、タイプを指定できます
{{ 0 < < ： ∈ }
{ {0
これは、アルキメデスの性質に違反する微小な超現実によって実現されます。
パラメータをモデルの特定のサブセットに制限すると便利な理由は、満たすことができるタイプと満たさないタイプを区別するのに役立つためです。たとえば、実数のセット全体をパラメータとして使用すると、次のような数え切れないほど無限の数式のセットを生成できます。 ≠ 1 {x neq 1}
、 ≠ π {x neq pi}
、…これは、xのすべての可能な実数値を明示的に除外するため、実数内で実現することはできません。
ストーンスペース
完全なセットを検討することに有用であるn個のオーバー-types Aを通り位相空間。自由変数での式で次の同値関係を検討し、X 1、…、xはn個のパラメータでA：ψ ≡ ϕ
⇔ ⊨
∀ 1 …
、 （（ ψ（（ 1 …
、 ）。↔ ϕ（（ 1 …
、 ）。
）。 { psi equiv phi Leftrightarrow { mathcal {M}} models forall x_ {1}、 ldots、x_ {n}（ psi（x_ {1}、 ldots、x_ {n} ） leftrightarrow phi（x_ {1}、 ldots、x_ {n}））。}
それを示すことができますψ ≡ ϕ
{ psi equiv phi}
それらがまったく同じ完全なタイプに含まれている場合に限ります。
自由変数の数式の組X 1、…、X nはオーバーAこの同値関係までは、ブール代数（および正準のセットと同形であるの-definableサブセットM N）。完全なn型は、このブール代数の限外フィルターに対応します。完全なn型のセットは、与えられた式を含む型のセットを基本的な開集合としてとることにより、位相空間にすることができます。これは、構築ストーンスペースで、コンパクトで、ハウスドルフ、そして完全に切断します。
例。完全な理論代数的閉体の特性0有する数量詞除去：つに可能完全な1型（空集合上）が対応して表示することができ、
根所与の既約非定数多項式例えば係数1をリードと有理数上、2これらのタイプのそれぞれの平方根のタイプは、ストーン空間の開放点です。
ゼロ以外の多項式の根ではない超越要素。このタイプは、閉じているが開いていないストーンスペース内のポイントです。
換言すれば、1種類の多項式環のプライム理想に正確に対応Q Q：場合、Rは型のモデルの要素であるP、その後に対応する理想pは多項式のセットでありますR（場合にのみゼロ多項式であるルートとして、Rは超越です）。より一般的には、完全なn型は、多項式環Q [ x 1、…、x n ]の素イデアルに対応します。つまり、この環の素数スペクトルの点に対応します。（実際、ストーン空間トポロジーは、ブール代数から自然な方法で誘導されたブール環のザリスキートポロジーと見なすことができます。ザリスキートポロジーは一般にハウスドルフではありませんが、ブール環の場合です。）たとえば、 、q（x、y）が2つの変数の還元不可能な多項式である場合、その実現が（非公式に）q（x、y）= 0の要素のペア（x、y）である2型が
省略型の定理
与えられた完全なN型のpという理論のモデルがある場合に1を求めることができ省い pは、他の言葉で何もありませんn個の実現モデルにおけるタプルpは。場合はpがある孤立点石のスペース、すなわち{場合におけるpは}開集合であるが、すべてのモデルが実現していることを確認することは容易であるPを（理論が完了している場合、少なくとも）。定理は省い種類逆ならばと言うpは単離されていないが、その後省い可算モデルが存在したp（言語は可算であることを提供するが）。
例：標数0の代数的閉体の理論では、素数体を超越する要素で表される1型がこれは、ストーンスペースの非孤立点です（実際、唯一の非孤立点）。代数的数の分野はこのタイプを省略したモデルであり、有理数の超越数的閉包の代数的閉包はこのタイプを実現するモデルです。
他のすべてのタイプは「代数的数」であり（より正確には、それらはある特定の代数的数によって満たされる一次ステートメントのセットです）、そのようなタイプはすべて、標数0のすべての代数的閉体で実現されます。
参考文献
ホッジス、ウィルフリッド（1997）。より短いモデル理論。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-58713-1。
チャン、CC ; ケイスラー、H。ジェローム（1989）。モデル理論（第3版）。エルゼビア。ISBN 0-7204-0692-7。
マーカー、デビッド（2002）。モデル理論：はじめに。数学の大学院テキスト217。Springer。ISBN 0-387-98760-6。”