型理論

Type_theory
では、数学、ロジック、およびコンピュータサイエンス、型システムはある正式なシステムのすべての用語は、その意味とその上で実行される動作を定義する「タイプ」を持っています。型理論は型システムの学術研究です。
いくつかの型理論は、数学の基礎として理論を設定するための代替として機能します。そのような2つのよく知られた理論は、アロンゾチャーチの型付きラムダ計算とペールマルティンレフの直観主義型理論です。
型理論は、素朴集合論、形式論理学、書き換えシステムなどの以前の基礎におけるパラドックスを回避するために作成されました。
型理論は、バグを減らし、特定のコンパイラの最適化を容易にするために使用されるプログラミング言語機能である計算型システムと密接に関連しており、場合によっては重複しています。

コンテンツ
1 歴史
2 基本概念
2.1 タイプ、用語、値 2.2 タイピング環境、タイプの割り当て、タイプの判断 2.3 ルールの書き換え、変換、削減 2.4 タイプルール
3 決定問題
3.1 タイプチェック 3.2 タイパビリティ 3.3 住性を入力します
4 型理論の解釈
4.1 直観主義論理 4.2 圏論
5 集合論との違い
6 オプション機能
6.1 依存型 6.2 平等タイプ 6.3 誘導型 6.4 宇宙の種類 6.5 計算コンポーネント
7 型理論
7.1 選考科目 7.2 マイナー 7.3 アクティブ
8 実用的な影響
8.1 プログラミング言語 8.2 数学的基礎 8.3 証明アシスタント 8.4 言語学 8.5 社会科学
9 圏論との関係
10 も参照してください
11 ノート
12 参考文献
13 参考文献
14 外部リンク

歴史
型理論の歴史
1902年から1908年の間に、バートランドラッセルは、ゴットロープフレーゲの素朴集合論のバージョンがラッセルのパラドックスに悩まされているという彼の発見に応えて、さまざまな「タイプの理論」​​を提案しました。1908年までに、ラッセルは「還元公理」とともに型の「分岐」理論に到達しました。どちらも、1910年から1913年の間に公開されたホワイトヘッドとラッセルのプリンキピアマテマティクで顕著に取り上げられました。彼らは、最初に階層を作成することによってラッセルのパラドックスを解決しようとしました。次に、各具体的な数学（および場合によっては他の）エンティティを型に割り当てます。特定のタイプのエンティティは、階層の下位にあるタイプのエンティティから排他的に構築されるため、エンティティがそれ自体に割り当てられるのを防ぎます。
1920年代には、レオンChwistekとフランク・ラムゼイは今、「単純型の理論」またはとして知られている、不分岐型理論を提案した単純型理論以前分岐し、理論的にはタイプの階層を崩壊し、そのようにする必要はありませんでした還元性の公理。
「型理論」の一般的な使用法は、これらの型が用語書き換えシステムで使用される場合です。最も有名な初期の例は、アロンゾチャーチの単純型付きラムダ計算です。チャーチの型理論は、形式体系が元の型なしラムダ計算を苦しめたKleene-Rosserパラドックスを回避するのに役立ちました。チャーチは、それが数学の基礎として役立つ可能性があることを実証し、高階述語論理と呼ばれていました。
他のいくつかの型理論には、構成主義数学のいくつかの分野で使用されている基礎となっている、PerMartin-Löfの直観主義型理論が含まれます。ティエリー・コカンドの構造の微積分とその派生物は、Coq、Leanなどによって使用される基礎です。この分野は、ホモトピー型理論によって実証されているように、活発な研究の分野です。

基本概念
ラムダキューブ
型理論の文脈における型システムの現代的な表現は、ヘンク・バレンドレッグによって導入された概念フレームワークによって体系的にされています。

タイプ、用語、値
型理論のシステムでは、項は型とは反対です。例えば、4、2 + 2、及び2 ⋅ 2
{2 cdot 2}

 自然数のタイプnatを持つすべての別個の用語です。従来、この用語の後にはコロンとそのタイプ（2：natなど）が続きます。これは、番号2がタイプnatであることを意味します。この反対と構文を超えて、この一般性の型についてはほとんど言えませんが、多くの場合、それらは、用語が評価される可能性のある値のある種のコレクション（必ずしもセットではない）として解釈されます。通常、用語はeで、タイプはτで表します。用語と型がどのように形成されるかは、特定の型システムによって異なり、いくつかの構文と整形式性の追加の制限によって正確になります。

タイピング環境、タイプの割り当て、タイプの判断
タイピング環境
入力は通常、記号で示されるコンテキストまたは環境で行われます。 Γ { Gamma}

 。多くの場合、環境はペアのリストですe ： τ
{e： tau}

 。このペアは、割り当てと呼ばれることもコンテキストは、上記の反対を完了します。一緒にそれらは示される判断を形成しますΓ ⊢ e ： τ
{ Gamma vdash e： tau}

 。

ルールの書き換え、変換、削減
型理論には明示的な計算があり、用語を書き換えるためのルールにエンコードされています。これらは変換ルールと呼ばれ、ルールが一方向にのみ機能する場合は、削減ルールと呼ばれます。例えば、2 + 2
{2 + 2}

  と 4 {4}

 構文的に異なる用語ですが、前者は後者に還元されます。この削減は書かれています2 + 2 ↠ 4
{2 + 2 twoheadrightarrow 4}

 。これらの規則はまた、書かれた用語間の対応する同等性を確立します2 + 2 ≡ 4
{2 + 2 equiv 4}
2+ 1
{2 + 1}

  に減少します 3 {3}

 。以来 3 {3}

 これ以上縮小することはできません。これは正規形と呼ばれます。単純型付きラムダ計算、Jean-Yves GirardのシステムF、Thierry Coquandの構造計算など、型付きラムダ計算のさまざまなシステムが強く正規化されています。このようなシステムでは、タイプチェックが成功すると、用語の終了証明が必要になります。

タイプルール
タイプルール
判断と同等性に基づいて、型推論規則を使用して、自然演繹の場合と同様に、型システムが構文構造（用語）に型を割り当てる方法を説明できます。意味のあるものにするために、変換と型の規則は通常、たとえば、型システムの健全性の一部を確立する可能性のあるサブジェクト削減プロパティのように密接に関連しています。

決定問題
型システムは、当然、型チェック、型付け可能性、および型居住の決定問題に関連付けられています。

タイプチェック
タイプチェック
タイプチェックの決定問題（略してΓ ⊢ e ： τ ？ { Gamma vdash e： tau？}

 ） は：
与えられたタイプの環境 Γ { Gamma}

 、 用語 e {e}

 、およびタイプ τ { tau}

 、用語かどうかを決定します e {e}

  タイプを割り当てることができます τ { tau}

  タイプ環境で Γ { Gamma}

 。
決定可能性こと型チェック手段のタイプ安全任意のプログラムテキスト（ソースコード）のを確認することができます。

タイパビリティ
類型性
タイピング可能性の決定問題（略して ∃ Γ τ Γ⊢ e ： τ ？
{ examples Gamma、 tau。 Gamma vdash e： tau？}

 ） は： e {e}
 、型環境が存在するかどうかを判断します Γ { Gamma}

  とタイプ τ { tau}

  そのような用語 e {e}

  タイプを割り当てることができます τ { tau}

  タイプ環境で Γ { Gamma}

 。
タイパビリティの変形はタイパビリティwrtです。タイプ環境（略して ∃ τ Γ⊢ e ： τ ？
{ examples tau。 Gamma vdash e： tau？}

 ）、タイプ環境が入力の一部である場合。指定された用語に外部参照（自由用語変数など）が含まれていない場合、タイピング可能性はタイピング可能性wrtと一致します。空のタイプの環境。
型可能性は型推論と密接に関連しています。タイパビリティ（決定問題として）は特定の用語の型の存在に対処しますが、型推論（計算問題として）では実際の型を計算する必要が

住性を入力します
住性を入力します
決定問題タイプの生息と略記（ ∃
e Γ⊢ e ： τ ？
{ examplese。 Gamma vdash e： tau？}

 ） は：
与えられたタイプの環境 Γ { Gamma}

  とタイプ τ { tau}

 、用語が存在するかどうかを判断します e {e}

  タイプを割り当てることができます τ { tau}

  タイプ環境で Γ { Gamma}

 。
ジラールのパラドックスは、住性がカリー・ハワード対応の型システムの一貫性と強く関連していることを示しています。健全であるためには、そのようなシステムは無人のタイプを持たなければなりません。
用語とタイプの反対は、実装と仕様の1つと見なすこともできます。プログラム合成（の計算上の対応物）によって、住性（以下を参照）を使用して、タイプ情報の形式で与えられた仕様からプログラム（のすべてまたは一部）を構築できます。

型理論の解釈
型理論は活発な研究の多くの分野と密接に関連しています。特に、カリー・ハワード対応は、直観主義論理、型付きラムダ計算、デカルト閉圏の間の深い同型を提供します。

直観主義論理
カリーハワード通信
用語の値のコレクションとしての型の見方に加えて、型理論は、用語と型の反対の2番目の解釈を提供します。タイプは命題として、用語は証明として見ることができます。このようにタイピングを読むと、関数型α β
{ alpha rightarrow beta}

 含意として、すなわち命題として、 β { beta}

  から続く α { alpha}

 。

圏論
デカルト閉圏
デカルト閉圏の内部言語は、単純型付きラムダ計算です。このビューは、他の型付きラムダ計算に拡張できます。特定のデカルト閉圏であるトポスは、従来の集合論ではなく、数学の一般的な設定として提案されています。

集合論との違い
多くの異なる集合論と型理論の多くの異なるシステムがあるので、以下は一般化です。
集合論は論理の上に構築されています。その下に述語論理のような別のシステムが必要です。型理論では、「and」や「or」などの概念は、型理論自体の型としてエンコードできます。
集合論では、要素は1つの集合に制限されません。型理論では、用語は（一般的に）1つの型にのみ属します。（サブセットが使用される場合、型理論は、用語がサブセットに含まれている場合はtrueを返し、値が含まれていない場合はfalseを返す述語関数を使用する傾向が2つの型の和集合は、合計と呼ばれる新しい型として定義できます。タイプ、新しい用語が含まれています。）
集合論は通常、数値を集合としてエンコードします。（0は空集合、1は空集合を含む集合などです。自然数の集合論的定義を参照して）型理論は、Churchエンコーディングを使用して関数として、またはより自然に誘導型として数値をエンコードできます。誘導型は、後継関数とゼロの新しい定数を作成し、ペアノの公理によく似ています。
型理論は、BHK解釈を通じて構成主義数学と単純に関連しています。カリー・ハワード同形性によって論理に接続できます。そして、いくつかの型理論は圏論と密接に関連しています。
オプション機能編集

依存型
依存型
依存タイプは、用語または別のタイプに依存タイプです。したがって、関数によって返される型は、関数の引数に依存する場合が
たとえば、{ mathrm {nat}}

 長さ4のsは、次のリストとは異なるタイプである可能性が{ mathrm {nat}}

 長さ5のs。依存型を使用する型理論では、パラメーター「n」を取り、「n」個のゼロを含むリストを返す関数を定義できます。関数を4で呼び出すと、関数が5で呼び出された場合とは異なるタイプの項が生成されます。
別の例は、引数の項が次の項などの特定のプロパティを持っているという証明で構成されるタイプです。{ mathrm {nat}}

 タイプ、たとえば、与えられた自然数は素数です。カリーハワード対応を参照して
依存型は、直観主義型理論や、Idris、ATS、Agda、Epigramなどの関数型プログラミング言語の設計において中心的な役割を果たします。

平等タイプ
型理論の多くのシステムには、型と項の同等性を表す型がこのタイプは兌換性とは異なり、命題の平等と呼ばれることがよく
直観主義型理論では、平等型（アイデンティティ型とも呼ばれる）は次のように知られています。 I {I}

 アイデンティティのために。タイプがあります
私{I A a b}

  いつ {A}

  タイプであり、 {a}

  と {b}

  どちらもタイプの用語です {A}
私{I A a b}

  それを意味すると解釈されます {a}

  に等しい {b}

 。
実際には、タイプを作成することが可能です私3 4
{I mathrm {nat} 3 4}

 しかし、そのタイプの用語は存在しません。直観主義型理論では、平等の新しい用語は再帰性から始まります。もしも 3 {3}

  タイプの用語です{ mathrm {nat}}

 、次にタイプの用語が存在します私3 3
{I mathrm {nat} 3 3}

 。より複雑な等式は、再帰項を作成し、一方の側で縮小を行うことによって作成できます。だからもし2 + 1
{2 + 1}

  タイプの用語です{ mathrm {nat}}

 、次にタイプの用語があります
私（（ 2+ 1 ）。 （（ 2+ 1 ）。 {I mathrm {nat} （2 + 1）（2 + 1）}

  そして、削減によって、タイプの用語を生成します
私（（ 2+ 1
）。 3 {I mathrm {nat} （2 + 1） 3}

 。したがって、このシステムでは、等式は、同じタイプの2つの値が縮小によって変換可能であることを示します。
平等の型を持つことは、システム内で操作できるため重要です。通常、2つの用語が等しくないと言う判断はありません。代わりに、Brouwer–Heyting–Kolmogorovの解釈のように、マップします ¬ （（ = ）。
{ neg（a = b）}

  に（（ = ）。 ⊥ { displaystyle（a = b） to bot}

 、 どこ ⊥ { bot}

 あるボトムタイプは値を持たないが。タイプの用語が存在します（（ I NS 3 4
）。 ⊥ { displaystyle（I mathrm {nat} 3 4） to bot}

 、ただしタイプの1つではありません（（ 私3 3 ）。 ⊥ { displaystyle（I mathrm {nat} 3 3） to bot}

 。
ホモトピー型理論は、主に等式型の取り扱いによって直観主義型理論とは異なります。

誘導型
誘導型
型理論のシステムは、操作するためにいくつかの基本的な用語と型を必要とします。一部のシステムは、チャーチエンコーディングを使用して関数からそれらを構築します。他のシステムには誘導型が基本型のセットと、正常に動作するプロパティを持つ型を生成する型コンストラクターのセットです。たとえば、帰納型で呼び出される特定の再帰関数は、必ず終了します。
共誘導型は、次の要素を生成する関数を与えることによって作成される無限のデータ型です。CoinductionとCorecursionを参照して
誘導-誘導 は、誘導型および誘導型に依存する型のファミリーを宣言するための機能です。
帰納法の再帰により、より広範囲の正常に動作する型が可能になり、それを操作する型と再帰関数を同時に定義できるようになります。

宇宙の種類
タイプは、ラッセルのパラドックスなどのパラドックスを防ぐために作成されました。しかし、これらのパラドックスにつながる動機、つまりすべてのタイプについて物事を言うことができるという動機は、依然として存在しています。したがって、多くの型理論には「宇宙型」があり、これには他のすべての型が含まれています（それ自体は含まれていません）。
ユニバースタイプについて何か言いたいことがあるシステムでは、ユニバースタイプの階層があり、それぞれが階層内でその下にあるものを含みます。階層は無限であると定義されていますが、ステートメントは有限数のユニバースレベルのみを参照する必要が
型宇宙は型理論では特に注意が必要です。直観主義型理論の最初の提案は、ジラールのパラドックスに苦しんでいました。

計算コンポーネント
単純型付きラムダ計算、直観的型理論、構造計算など、型理論の多くのシステムもプログラミング言語です。つまり、それらは「計算要素」を持っていると言われています。計算は、書き換えルールを使用した言語の用語の削減です。
正常に動作する計算コンポーネントを備えた型理論のシステムは、BHK解釈を通じて構成主義数学との単純なつながりも持っています。
これらのシステムでの非構成的数学は、現在の継続を使用した呼び出しなどの継続に演算子を追加することで可能になります。ただし、これらの演算子は、カノニシティやパラメトリシティなどの望ましいプロパティを壊す傾向が

型理論

選考科目
高階述語論理である単純型付きラムダ計算;
直観主義型理論;
システムF ;
LFは、他の型理論を定義するためによく使用されます。
構造とその派生物の計算。

マイナー
Automath ;
ST型理論;
UTT（Luoの依存型の統一理論）
いくつかの形式の組み合わせ論理;
ラムダキューブで定義されている他のもの;
ラムダ計算という名前のその他のもの;
純粋なタイプのシステムという名前の他のもの。

アクティブ
ホモトピー型理論が研究されています。
キュービカル型理論はホモトピー型理論に似ており、研究されています

実用的な影響

プログラミング言語
型システム
型理論と型システムの分野の間には、広範な重複と相互作用が型システムは、バグを識別するために設計されたプログラミング言語機能です。任意の静的プログラム解析等におけるアルゴリズムの型チェックなど、意味解析のフェーズコンパイラは、型理論への接続を持っています。
代表的な例は、型システムにUTT（Luoの依存型の統一理論）を使用するプログラミング言語であるAgdaです。プログラミング言語MLは、型理論を操作するために開発され（LCFを参照）、独自の型システムはそれらの影響を強く受けていました。

数学的基礎
あなたはそれに追加することによって助けることができます
Automathと呼ばれる最初のコンピューター証明アシスタントは、型理論を使用してコンピューター上で数学をエンコードしました。Martin-Löfは、数学の新しい基盤として機能するようにすべての数学をエンコードする直感的なタイプ理論を特別に開発しました。ホモトピー型理論を用いた数学的基礎の研究が進行中です。
圏論で働く数学者は、ツェルメロ・フレンケル集合論の広く受け入れられている基礎を扱うのにすでに苦労していました。これは、集合の圏のローヴェアの初等理論（ETCS）などの提案につながりました。ホモトピー型理論は、型理論を使用してこの行に続きます。研究者は、依存型（特にアイデンティティ型）と代数トポロジー（特にホモトピー）の間の関係を調査しています。

証明アシスタント
証明アシスタント
型理論に関する現在の研究の多くは、証明チェッカー、対話型証明アシスタント、および自動定理証明者によって推進されています。これらのシステムのほとんどは、型理論とプログラミング言語の密接な関係を考えると、証明をエンコードするための数学的基礎として型理論を使用します。これは驚くべきことではありません。
LFはTwelfによって使用され、多くの場合、他の型理論を定義するために使用されます。
高階述語論理に該当する多くの型理論は、HOLファミリーの証明者とPVSによって使用されます。
計算型理論はNuPRLによって使用されます;
構造の計算とその派生物は、Coq、Matita、およびLeanによって使用されます。
UTT（Luoの依存型の統一理論）は、プログラミング言語であり、証明アシスタントでもあるAgdaによって使用されます。
多くの型理論がLEGOとIsabelleによってサポートされています。Isabelleは、ZFCなどの型理論以外の基礎もサポートしています。Mizarは、集合論のみをサポートする証明システムの例です。

言語学
型理論は、自然言語の意味論、特にモンタギュー文法とその子孫の形式理論でも広く使用されています。特に、範疇文法とプレグループ文法は、型構築子を広く使用して、単語の型（名詞、動詞など）を定義します。
最も一般的な構造は基本的なタイプを取ります e {e}

  と {t}

 それぞれ、個人と真理値に対して、次のように再帰的に型のセットを定義します。
もしも {a}

  と {b}

  タイプです、そしてそうです
⟨ 、 ⟩
{ langle a、b rangle}

 ;
基本型以外は何もありません。前の節でそれらから構築できるのは型です。
複合型
⟨ 、 ⟩
{ langle a、b rangle}

 タイプのエンティティからの関数のタイプです {a}

  タイプのエンティティに {b}

 。したがって、次のようなタイプがあります⟨ e
、 ⟩
{ langle e、t rangle}

 これは、エンティティから真理値までの関数のセットの要素、つまりエンティティのセットのインジケーター関数として解釈されます。タイプの式⟨ ⟨ e 、 ⟩ 、 ⟩
{ langle langle e、t rangle、t rangle}

 は、エンティティのセットから真理値への関数、つまり（aのインジケーター関数）セットのセットです。この後者のタイプは、標準的の種類であると解釈される自然言語数量のように、皆または誰（モンタギュー1973、Barwiseとクーパー1981）。

社会科学
グレゴリー・ベイトソンは、論理型の理論を社会科学に導入しました。彼のダブルバインドと論理レベルの概念は、ラッセルの型理論に基づいています。

圏論との関係
圏論の最初の動機は基礎主義からはほど遠いものでしたが、2つの分野は深いつながりを持っていることが判明しました。ジョン・レーン・ベルが書いている：「実際のカテゴリにすることができます自体がある種のタイプの理論とみなすことが、この事実だけでは、その型理論をはるかに密接にそれは集合論にあるよりも、圏論に関連していることを示します。」簡単に言えば、カテゴリは、そのオブジェクトを型（またはソート）と見なすことによって型理論と見なすことができます。つまり、「大まかに言えば、カテゴリは、その構文の一部である型理論と見なすことができます」。このようにして、いくつかの重要な結果が得られます。
デカルト閉圏は型付きラムダ計算に対応します（Lambek、1970）。
C-モノイド（積と指数および1つの非終末オブジェクトを持つカテゴリ）は、型指定されていないλ-微積分に対応します（1980年頃にLambekとDana Scottによって独立して観察されました）。
ローカルデカルト閉圏は、Martin-Löf型理論に対応しています（Seely、1984）。
知られている相互作用、カテゴリロジックは、それ以来、活発な研究の対象となっています。たとえば、ジェイコブス（1999）のモノグラフを参照して

も参照してください
プログラミングにおける具体的なデータ型のデータ型
領域理論
タイプ（モデル理論）
システムを入力するプログラミング言語の型システムのより実用的な議論のために
一価の基礎

ノート
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外部リンク
ロバートL.コンスタブル（編）。「計算型理論」。スカラーペディア。
TYPESフォーラム—コンピュータサイエンスの型理論に焦点を当てたモデレートされた電子メールフォーラムで、1987年から運営されています。
Nuprl Book：「型理論入門」。
タイプ2005〜2008年のサマースクールの
プロジェクト講義ノート
2005年サマースクールは、入門の講義を持っています
多くの関連トピックに関する記事があるnLabの型理論。
オレゴンプログラミング言語サマースクール、多くの講義といくつかのメモ。
2015年夏のタイプ、ロジック、セマンティクス、および検証”