Typical_subspace
では、量子情報理論の考え方の典型的な部分空間は、多くのコーディング定理（最も顕著な例があることの証明に重要な役割を果たしているシューマッハ圧縮）。その役割は、古典的な情報理論の典型的なセットの役割に類似しています。
コンテンツ
1 無条件の量子の典型性
2 条件付き量子の典型性
3 も参照してください
4 参考文献
無条件の量子の典型性
密度演算子を考えてみましょう ρ { rho}
次のスペクトル分解で：ρ =
∑（（ ）。
| ⟩
⟨ | { rho = sum _ {x} p_ {X}（x） vert x rangle langle x vert。}
弱く典型的な部分空間は、サンプルのエントロピーが次のようになるようなすべてのベクトルのスパンとして定義されます。 ¯（（ NS）。
{{ overline {H}}（x ^ {n}）}
彼らの古典的なラベルのは真のエントロピーに近い （（ ）。
{H（X）}
分布（（ ）。
{p_ {X}（x）}
： δ≡
スパン {{ | ⟩ ： | ¯（（）。
− （（ ）。| ≤ δ
} {T _ { delta} ^ {X ^ {n}} equiv { text {span}} left { left vert x ^ {n} right rangle： left vert { overline {H}}（x ^ {n}）-H（X） right vert leq delta right }、}
どこ ¯（（）。≡ −
1 ログ（（ NS（（）。
）。 {{ overline {H}}（x ^ {n}） equiv-{ frac {1} {n}} log（p_ {X ^ {n}}（x ^ {n}））、 }
（（ ）。≡ −
∑（（ ）。
ログ （（ ）。 {H（X） equiv- sum _ {x} p_ {X}（x） log p_ {X}（x）。}
プロジェクター Π ρ δ { Pi _ { rho、 delta} ^ {n}}
の典型的な部分空間に ρ { rho}
と定義されている Π ρ δ ≡
∑∈ δ | ⟩
⟨ | { Pi _ { rho、 delta} ^ {n} equiv sum _ {x ^ {n} in T _ { delta} ^ {X ^ {n}}} vert x ^ {n } rangle langle x ^ {n} vert、}
シンボルを「オーバーロード」した場所 δNS
{T _ { delta} ^ {X ^ {n}}}
のセットも参照する δ { delta}
-典型的なシーケンス： δ≡
{{：
| ¯（（ NS）。
− （（ ）。| ≤ δ
} {T _ { delta} ^ {X ^ {n}} equiv left {x ^ {n}： left vert { overline {H}} left（x ^ {n} right） -H（X） right vert leq delta right }。}
典型的なプロジェクターの3つの重要な特性は次のとおりです。 Tr {{ Π ρ δ ρ
⊗ } 1 − ϵ {{ text {Tr}} left { Pi _ { rho、 delta} ^ {n} rho ^ { otimes n} right } geq 1- epsilon、}
Tr {{ Π ρ δ } ≤ 2[ （（ ）。+ δ
] {{ text {Tr}} left { Pi _ { rho、 delta} ^ {n} right } leq 2 ^ {n left [H left（X right）+ delta right]}、}
2
−[ （（ ）。+ δ ] Π
ρ δ ≤ Π ρ δ ρ
⊗ Π
ρ δ ≤ 2 −[ （（ ）。 − δ] Π
ρ δ 、
{2 ^ {-n left [H（X）+ delta right]} Pi _ { rho、 delta} ^ {n} leq Pi _ { rho、 delta} ^ { n} rho ^ { otimes n} Pi _ { rho、 delta} ^ {n} leq 2 ^ {-n left [H（X）- delta right]} Pi _ { rho、 delta} ^ {n}、}
ここで、最初のプロパティは任意に保持されます
ϵ δ
>> 0 { epsilon、 delta> 0}
0}””>
十分に大きい {n}
。
条件付き量子の典型性
アンサンブルを検討してください
{{（（ ）。ρ } ∈ { left {p_ {X}（x）、 rho _ {x} right } _ {x in { mathcal {X}}}}
州の。各州が
ρ { rho _ {x}}
次のスペクトル分解があります：
ρ =∑ Y
| （（ y
| ）。 | y ⟩ ⟨ y | { rho _ {x} = sum _ {y} p_ {Y | X}（y | x） vert y_ {x} rangle langle y_ {x} vert。}
密度演算子を考えてみましょう
ρ{ rho _ {x ^ {n}}}
これは古典的なシーケンスを条件とします≡ 1
⋯ {x ^ {n} equiv x_ {1} cdots x_ {n}}
：
ρ≡ ρ 1 ⊗⋯ ⊗
ρ。
{ rho _ {x ^ {n}} equiv rho _ {x_ {1}} otimes cdots otimes rho _ {x_ {n}}。}
弱い条件付きで典型的な部分空間をベクトルのスパンとして定義します（シーケンスで条件付き） {x ^ {n}}
）サンプルの条件付きエントロピーが ¯（（ y | NS）。
{{ overline {H}}（y ^ {n} | x ^ {n}）}
それらの古典的なラベルのは、真の条件付きエントロピーに近い （（ Y
| ）。
{H（Y | X）}
分布 Y
|（（ y
| ）。（（ ）。
{p_ {Y | X}（y | x）p_ {X}（x）}
： δ
Y |≡
スパン
{{| y⟩ ：
| ¯（（ y | ）。
− （（ Y
| ）。| ≤ δ
} {T _ { delta} ^ {Y ^ {n} | x ^ {n}} equiv { text {span}} left { left vert y_ {x ^ {n}} ^ {n } right rangle： left vert { overline {H}}（y ^ {n} | x ^ {n}）-H（Y | X） right vert leq delta right }、 }
どこ ¯（（ y | ）。≡ −
1 ログ（（ Y | （（y | NS）。
）。 {{ overline {H}}（y ^ {n} | x ^ {n}） equiv-{ frac {1} {n}} log left（p_ {Y ^ {n} | X ^ {n}}（y ^ {n} | x ^ {n}） right）、}
（（ Y
| ）。≡ −
∑（（ ）。∑ Y
| （（ y
| ）。
ログ Y
| （（ y
| ）。 {H（Y | X） equiv- sum _ {x} p_ {X}（x） sum _ {y} p_ {Y | X}（y | x） log p_ {Y | X} （y | x）。}
プロジェクター Π ρ 、 δ { Pi _ { rho _ {x ^ {n}}、 delta}}
の弱い条件付きで典型的な部分空間に
ρ{ rho _ {x ^ {n}}}
以下のとおりであります： Π ρ 、δ ≡ ∑
y∈ δ
Y | |y⟩ ⟨
y| { Pi _ { rho _ {x ^ {n}}、 delta} equiv sum _ {y ^ {n} in T _ { delta} ^ {Y ^ {n} | x ^ { n}}} vert y_ {x ^ {n}} ^ {n} rangle langle y_ {x ^ {n}} ^ {n} vert、}
ここで再びシンボルをオーバーロードしました δ
Y |{T _ { delta} ^ {Y ^ {n} | x ^ {n}}}
弱い条件付きで典型的なシーケンスのセットを参照するには： δ
Y |≡
{{ y： | ¯（（ y | ）。
− （（ Y
| ）。| ≤ δ
} {T _ { delta} ^ {Y ^ {n} | x ^ {n}} equiv left {y ^ {n}： left vert { overline {H}} left（y ^ {n} | x ^ {n} right）-H（Y | X） right vert leq delta right }。}
弱い条件付きで典型的なプロジェクターの3つの重要な特性は次のとおりです。
E {{Tr { Π
ρ、 δ ρ }
} 1 − ϵ { mathbb {E} _ {X ^ {n}} left {{ text {Tr}} left { Pi _ { rho _ {X ^ {n}}、 delta} rho _ {X ^ {n}} right } right } geq 1- epsilon、}
Tr {{ Π ρ、δ } ≤ 2[ （（ Y
| ）。+ δ
] {{ text {Tr}} left { Pi _ { rho _ {x ^ {n}}、 delta} right } leq 2 ^ {n left [H（Y | X ）+ delta right]}、}
2
−[ （（ Y
| ）。+ δ ] Π
ρ 、δ ≤ Π
ρ 、 δ ρ Π ρ 、δ ≤ 2
−[ （（ Y
| ）。 − δ] Π
ρ 、
δ {2 ^ {-n left [H（Y | X）+ delta right]} Pi _ { rho _ {x ^ {n}}、 delta} leq Pi _ { rho _ {x ^ {n}}、 delta} rho _ {x ^ {n}} Pi _ { rho _ {x ^ {n}}、 delta} leq 2 ^ {-n left [H（Y | X）- delta right]} Pi _ { rho _ {x ^ {n}}、 delta}、}
ここで、最初のプロパティは任意に保持されます
ϵ δ
>> 0 { epsilon、 delta> 0}
0}””>
十分に大きい {n}
、そして期待は分布に関してです（（ NS）。
{p_ {X ^ {n}}（x ^ {n}）}
。
も参照してください
古典的な能力
量子情報理論
参考文献
Wilde、Mark M.、2017年、Quantum Information Theory、Cambridge University Press、eprint arXiv：1106.1145でも入手可能”