Typographical_Number_Theory
字形的数論（TNT）は、ダグラス・ホフスタッターの著書ゲーデル、エッシャー、バッハに登場する自然数を記述する形式的な公理的システムです。これは、ホフスタッターがゲーデルの不完全性定理を説明するために使用するペアノ算術の実装です。
ペアノの公理を実装する他のシステムと同様に、TNTはそれ自体を参照することができます（自己参照です）。
コンテンツ
1 数字
2 変数
3 演算子
3.1 数字の足し算と掛け算 3.2 同等性 3.3 否定
4 化合物
5 定量化子
6 アトムと命題ステートメント
7 参考文献
数字
TNTは、自然数ごとに個別の記号を使用しません。代わりに、各自然数に複合記号を与える単純で統一された方法を利用します。零 0 一 S0 2
SS0三 SSS0 四 SSSS0 五 SSSSS0 記号Sは、「後継者」または「後の数」と解釈できます。ただし、これは数論であるため、このような解釈は有用ですが、厳密ではありません。それは言うことができない4つの後継者であるため、3〜4であることSSSS0、むしろ、3つは、二つの後継者として記載されているゼロの後継であり、一方の後継であるため0で、4 SSSS0であることが「証明」できます。TNTは、それが真実であると言うことができる前に、すべてが証明されなければならないように設計されています。
変数
不特定の用語を参照するために、TNTは5つの変数を使用します。これらは
a、b、c、d、e。
変数の後にプライムシンボルを追加することで、さらに多くの変数を作成できます。例えば、
a ‘、b’、c ‘、a’ ‘、a‴はすべて変数です。
「austere」TNTとして知られるTNTのより厳格なバージョンでは、
a ‘、a’ ‘、a‴などが使用されます。
演算子
数字の足し算と掛け算
字形的数論では、足し算には「+」、掛け算には「・」の通常の記号が使われます。したがって、「b plus c」と書くことは、次のように書くことです。（b + c）
そして「atimesd」は次のように書かれます（広告）
括弧は必須です。緩みはTNTの形成システムに違反します（ただし、この形式は可換で連想的な操作には不要であることが自明に証明されています）。また、一度に操作できるのは2つの用語のみです。したがって、「a plus bplusc」と書くことはどちらかを書くことです（（a + b）+ c）
また（a +（b + c））
同等性
「等しい」演算子は、同等性を示すために使用されます。これは記号「=」で定義され、通常の数学とほぼ同じ意味を持ちます。例えば、（SSS0 +
SSS0） = SSSSSS0 はTNTの定理ステートメントであり、「3 +3は6に等しい」という解釈が
否定
字形的数論では、否定、つまりステートメントを反対に向けることは、「〜」または否定演算子で表されます。例えば、
〜（（SSS0 +
SSS0）= SSSSSSS0） はTNTの定理であり、「3 +3は7に等しくない」と解釈されます。
否定とは、単に反対であるというよりも、ブール論理での否定（論理否定）を意味します。たとえば、「グレープフルーツを食べている」と言った場合、「グレープフルーツ以外のものを食べている」ではなく、「グレープフルーツを食べていない」とは逆になります。同様に、「テレビがオンになっている」は、「テレビがオフになっている」ではなく、「テレビがオンになっていない」に否定されます。これは微妙な違いですが、重要な違いです。
化合物
xとyが論理式であり、一方が自由である変数が他方で定量化されていない場合、以下はすべて論理式です。
， ，
例：
変数の数量化ステータスはここでは変更されません。
定量化子
使用される数量詞は2つあります：∀と∃。
セット上の数量詞がセット内の要素の存在の言及を必要とする他のほとんどの論理システムとは異なり、すべての数と項は厳密に自然数または論理ブール式であるため、これはTNTでは必要ありません。したがって、それは言うこと∀a:(a∈N):∀b:(b∈N):(a+b)=(b+a)と同等です∀a:∀b:(a+b)=(b+a)
∃ 「存在する」という意味
∀ 「すべてのために」または「すべてのために」を意味します
記号:は、数量詞を他の数量詞または式の残りの部分から分離するために使用されます。それは一般的に「そのような」と読まれます
例えば：
∀a:∀b:(a+b)=(b+a)（「すべての数aおよびすべての数bについて、a + bはb + aに等しい」、またはより比喩的には、「加算は可換です。」）
~∃c:Sc=0（「cプラス1がゼロに等しいような数cは存在しません」、またはより比喩的に言えば、「ゼロは（自然）数の後継ではありません。」）
アトムと命題ステートメント
アトム記号を除く命題論理のすべての記号は、字形的数論で使用され、それらの解釈を保持します。
ここで、アトムは、次のような同等のステートメントに相当する文字列として定義されます。
2プラス3は5に等しい：（SS0 +
SSS0）= SSSSS0 2プラス2は4に等しい。（SS0 +
SS0）=
SSSS0
参考文献
ホフスタッター、ダグラスR.（1999）、ゲーデル、エッシャー、バッハ：永遠の黄金の編組、ベーシックブックス、ISBN 0-465-02656-7。