U統計 – 日本語百科事典辞書

U-statistic
で統計理論、U-統計はでは特に重要である統計学のクラスである推定理論。文字「U」は偏りのないことを意味します。基本統計では、U統計は、最小分散不偏推定量を生成する際に自然に発生します。
U-統計の理論が可能最小分散不偏推定量は、それぞれに由来する不偏推定量の見積パラメータ（あるいは、統計的機能確率分布の大きいクラスの）。推定可能なパラメーターは、母集団の累積確率分布の測定可能な関数です。たとえば、すべての確率分布について、母集団の中央値は推定可能なパラメーターです。U統計の理論は、確率分布の一般的なクラスに適用されます。
もともと特定のパラメトリックファミリに対して導出された多くの統計は、一般的な分布のU統計として認識されています。ノンパラメトリック統計、U-統計の理論がに関する統計（例えば推定およびテストのような）手順および推定のために確立するために使用される漸近正規性及びそのような量の（有限のサンプル中の）分散に。この理論は、ランダムグラフなどの確率過程だけでなく、より一般的な統計を研究するために使用されてきました。
問題が独立した同一分布の確率変数に関係し、特定のパラメーターの推定が必要であると仮定します。少数の観測値のみに基づいて単純な不偏推定を構築できると仮定します。これにより、指定された数の観測値に基づいて基本的な推定量が定義されます。たとえば、単一の観測値自体が平均の偏りのない推定値であり、観測値のペアを使用して分散の偏りのない推定値を導出できます。この推定量に基づくU統計量は、サブサンプルに適用された基本推定量の平均（観測値の完全なセットからの指定されたサイズのすべての組み合わせ選択全体）として定義されます。
Sen（1992）は、Wassily Hoeffding（1948）による論文のレビューを提供し、U統計を紹介し、それらに関連する理論を示しました。そうすることで、Senは統計理論におけるU統計の重要性を概説します。セン氏は「Hoeffding（1948）の影響は現時点では圧倒的であり、今後も続く可能性が非常に高い」と述べています。U-統計の理論に限定されるものではないことに注意してくださいの場合独立同一分布確率変数またはスカラーランダム変数です。

コンテンツ
1 意味
2 例
3 も参照してください
4 ノート
5 参考文献

意味
Hoeffding（1948）によるU統計という用語は、次のように定義されます。
させてf ： R r R
{f Colon R ^ {r} to R}
$fcolon$
の実数値または複素数値の関数である r {r}

変数。それぞれについてn ≥ r
{n geq r}

関連するU統計
f n ：R n R
{f_ {n} Colon R ^ {n} to R}

注文したサンプルの平均に等しい（（ φφ（（ 1
）。 … φφ（（ r ）。）。
{ displaystyle（ varphi（1）、 ldots、 varphi（r））}

サイズの r {r}

サンプル値の f （（ X φφ ）。
{f（x _ { varphi}）}

。言い換えると、f n （ X 1 … X
n）。= 1 （（n r）。
∑t = 1 （n
r）。 f （（ X
φφ t （（ 1
）。 … X
φφ t （（ r
）。）。
{f_ {n}（x_ {1}、 ldots、x_ {n}）= { frac {1} { binom {n} {r}}} sum _ {t = 1} ^ { binom {n} {r}} f（x _ { varphi ^ {t}（1）}、 ldots、x _ { varphi ^ {t}（r）}）}

、
どこφ t =（（ φφ t （（ 1
）。 … φφ t （（ r ）。）。
{ varphi ^ {t}：=（ varphi ^ {t}（1）、 dots、 varphi ^ {t}（r））}

を示します tt h {t ^ { rm {th}}}

の n {n}

-選ぶ- r {r}

サイズの明確な順序付けられたサンプル r {r}

から取られた {{ 1 … n } { {1、 ldots、n }}

。各U統計f n （ X 1 … X
n）。
{f_ {n}（x_ {1}、 ldots、x_ {n}）}

必然的に対称関数です。
U統計は、統計作業、特に独立同分布の確率変数のHoeffdingのコンテキスト、またはより一般的には、有限母集団からの単純ランダムサンプリングなど、定義プロパティが「継承」と呼ばれる交換可能なシーケンスの場合に非常に自然です。平均’。
フィッシャーのk統計とテューキーのポリケイは、同次多項式U統計の例です（Fisher、1929; Tukey、1950）。単純なランダムサンプルのためφサイズの Nサイズの母集団から採取された N、U統計量は、サンプル値の平均は、その性質た ƒ N（Xφは）正確集団値に等しい ƒ N（X）。

例
いくつかの例： f （（ X
）。 =X {f（x）= x}

U統計
f n （（ X
）。 = X¯ n = （（ X1 ⋯ +X
n）。/ n
{f_ {n}（x）= { bar {x}} _ {n} =（x_ {1} + cdots + x_ {n}）/ n}

サンプル平均です。
もしも f （（ X 1 X 2）。 = | 1X 2 |
{f（x_ {1}、x_ {2}）= | x_ {1} -x_ {2} |}

、U統計は平均ペアワイズ偏差です
f n （（ X
1 … X
n）。= 2 /（（ n（（ n− 1 ）。）。∑ I
>>j |
XI X j |
{f_ {n}（x_ {1}、 ldots、x_ {n}）= 2 /（n（n-1）） sum _ {i> j} | x_ {i} -x_ {j} |}
j}|x_{i}-x_{j}|}””>
、のために定義n ≥ 2
{n geq 2}

。
もしも f （（ X 1 X 2）。 = （（ X1 X 2
）。2 / 2
{f（x_ {1}、x_ {2}）=（x_ {1} -x_ {2}）^ {2} / 2}

、U統計は標本分散です
f n （（ X
）。= ∑（（ XI X ¯ n
）。2 /（（ n− 1 ）。 {f_ {n}（x）= sum（x_ {i}-{ bar {x}} _ {n}）^ {2} /（n-1）}

除数付きn − 1
{n-1}

、のために定義n ≥ 2
{n geq 2}

。第3 k {k}
-統計
k 3 n （（ X
）。= ∑（（ XI X ¯ n
）。3 / （（（（ n− 1 ）。（（ n− 2 ）。）。
{k_ {3、n}（x）= sum（x_ {i}-{ bar {x}} _ {n}）^ {3} n /（（n-1）（n-2））}

、に対して定義されたサンプル歪度n ≥ 3
{n geq 3}

、はU統計です。
次のケースは重要なポイントを強調しています。もしも f （（ X1 X 2 X
3）。
{f（x_ {1}、x_ {2}、x_ {3}）}

3つの値の中央値です。f n （ X 1 … X
n）。
{f_ {n}（x_ {1}、 ldots、x_ {n}）}

の中央値ではありません n {n}

値。ただし、これは、母集団の中央値ではなく、3つの値の中央値の期待値の最小分散不偏推定です。同様の推定は、確率分布のファミリーのパラメーターが確率加重モーメントまたはLモーメントによって推定される中心的な役割を果たします。

も参照してください
V統計

ノート
^ Cox＆Hinkley（1974）、p。200、p。258
^ Hoeffding（1948）、式（4.3）、（4.4）の間
^ セン（1992）
^ Koroljuk、VSの508ページ; Borovskich、Yu。V.（1994）。U統計の理論。数学とその応用。273（1989年のロシア語のオリジナル版からPVMalyshevとDVMalyshevによって翻訳されました。）Dordrecht：Kluwer Academic PublishersGroup。pp。x+ 552。ISBN 0-7923-2608-3。MR 1472486。
^ Borovskikh、Yuの381〜382ページ。V.（1996）。バナッハ空間のU統計。ユトレヒト：VSP。pp。xii+ 420。ISBN 90-6764-200-2。MR 1419498。
^ Kwapień、Stanisƚawのページxii
; Woyczyński、Wojbor A.（1992）。ランダム系列と確率積分：単一および複数。確率とその応用。マサチューセッツ州ボストン：BirkhäuserBoston、Inc.pp。xvi+ 360。ISBN 0-8176-3572-6。MR 1167198。
^ セン（1992）p。307
^ セン（1992）、p306
^ Borovskikhの最後の章では、ベクトル空間（分離可能なバナッハ空間）で値をとる交換可能なランダム要素のU統計について説明します。

参考文献
Borovskikh、Yu。V.（1996）。バナッハ空間のU統計。ユトレヒト：VSP。pp。xii+ 420。ISBN 90-6764-200-2。MR 1419498。
コックス、DR、ヒンクリー、DV（1974）理論的統計。チャップマンアンドホール。
ISBN 0-412-12420-3
フィッシャー、RA（1929）サンプリング分布のモーメントと積率。ロンドン数学会の議事録、 2、30：199–238。
Hoeffding、W。（1948）漸近的に正規分布する統計のクラス。統計学年報、19：293–325。（一部で再版：Kotz、S.、ジョンソン、NL（1992）の統計ではブレークスルー。、第I巻、頁308から334シュプリンガー・フェアラーク。
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サーフリング、ロバートJ.（1980）。数学的統計の近似定理。ニューヨーク：ジョン・ワイリーとサンズ。ISBN 0-471-02403-1。
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