Unifying_theories_in_mathematics
「数学の統一理論」
数学の統一理論に到達するために歴史の中でいくつかの試みがありました。学界で最も尊敬されている数学者の何人かは、主題全体を1つの理論に適合させるべきであるという見解を表明しています。
コンテンツ
1 歴史的展望
2 数学的理論
3 幾何学理論
4 公理化を通じて
4.1 ブルバキ
5 ライバルとしての圏論
6 理論の統合
7 主要な統一概念の参照リスト
8 モジュール理論に関連する最近の進展
9 K理論における同型予想
10 も参照してください
11 参考文献
歴史的展望
統一のプロセスは、数学を学問として構成するものを定義するのに役立つと見なされる可能性が
たとえば、18世紀には、力学と数学的分析が1つの主題に統合され、微分方程式の概念によって統合されました。一方、代数と幾何学は大きく異なると考えられていました。ここで、分析、代数、幾何学を数学の一部と見なしますが、これらは主に演繹的な形式科学であるため、物理学のような力学は観察から進めなければなりません。多様体の新しい理論に基づいて、シンプレクティックトポロジーの観点から表現された古い意味での解析力学により、コンテンツの大きな損失はありません。。
数学的理論
理論という用語は、数学の中で非公式に使用され、定義、公理、定理、例などの自己矛盾のない本体を意味します。（例としては、群論、ガロア理論、制御理論、K理論などが）特に、仮説の意味はありません。したがって、統一理論という用語は、数学者の行動を研究するために使用される社会学的用語に似ています。未発見の科学的リンクに類似する推測は何も想定されていない可能性がこのような概念の数学内には同族本当にありません祖語世界で言語学やガイア仮説が。
それにもかかわらず、数学の歴史の中で、個々の定理のセットが単一の統一結果の特殊なケースであることがわかった、または数学の領域を開発するときにどのように進めるかについての単一の視点を実りある形で適用できるエピソードがいくつかありました。件名の複数のブランチ。
幾何学理論
よく知られている例は、分析幾何学の開発でした。これは、デカルトやフェルマーなどの数学者の手によって、特殊なタイプの曲線や表面に関する多くの定理が代数言語（当時は新しい）で記述できることを示しました。同じ手法を使用して証明されます。つまり、幾何学的な解釈が異なっていたとしても、定理は代数的に非常に似ていました。
1859年、Arthur Cayleyは、Cayley-Kleinメトリックを使用して、メトリックジオメトリの統合を開始しました。その後、Felix Kleinはそのようなメトリックを使用して、非ユークリッド幾何学の基盤を提供しました。
1872年、フェリックスクラインは、19世紀に開発された幾何学の多くの枝（アフィン幾何学、射影幾何学、双曲幾何学など）はすべて均一な方法で扱うことができると述べました。彼は、幾何学的オブジェクトが不変であるグループを考慮することによってこれを行いました。この幾何学の統一は、エアランゲンプログラムの名前で行われます。
角度の一般的な理論は、面積の不変測度で統一することができます。双曲角度が関連付けられた非常に近い領域、領域の観点で定義されている自然対数。半径が2の平方根に等しい円を参照する場合、円の角度にも面積の解釈がこれらの領域は、それぞれ双曲線回転と円回転に関して不変です。これらのアフィン変換は、特殊線形群SL（2、R）の要素によって影響を受けます。そのグループを調べると、勾配を増減するせん断マッピングが明らかになりますが、勾配の違いは変わりません。傾斜差に依存する面積としても解釈される3番目のタイプの角度は、せん断マッピングの面積保存のために不変です。
公理化を通じて
20世紀初頭、数学の多くの部分は、有用な公理のセットを描き、その結果を研究することによって扱われ始めました。したがって、たとえば、四元数学会によって検討されているような「多元数」の研究は、環論の枝として（この場合、複素数の分野における結合多元環の特定の意味で）公理的基盤に置かれました。）。このコンテキストでは、商リングの概念は最も強力なユニファイアの1つです。
これまでのアプリケーションのニーズは、数学の多くがアルゴリズム（またはアルゴリズムに近いプロセス）によって教えられていたことを意味していたため、これは方法論の一般的な変更でした。算数は今でもそのように教えられています。それは、数学の独立した分野としての数理論理学の発展と平行していた。1930年代までに、記号論理自体が数学に適切に含まれるようになりました。
ほとんどの場合、調査中の数学的対象は、（非標準的ではありますが）集合として、またはより非公式には、加算演算などの追加構造を持つ集合として定義できます。集合論は現在、数学のテーマを開発するための共通語として機能しています。
ブルバキ
公理的発達の原因は、ブルバキの数学者グループによって真剣に取り上げられました。極端に言えば、この態度は、その最大の一般性で開発された数学を要求すると考えられていました。1つは最も一般的な公理から始まり、次に、たとえば可換環上にモジュールを導入し、絶対に必要な場合にのみ実数上のベクトル空間に制限することによって専門化されました。専門分野が主要な関心の定理であったとしても、物語はこのように進行しました。
特に、この視点は、研究の対象が非常に頻繁に特別である、または主題のより公理的な枝に表面的にしか関連しない状況で見られる数学の分野（組み合わせ論など）にほとんど価値を置きませんでした。
ライバルとしての圏論
圏論は、20世紀後半に最初に開発された数学の統一理論です。この点で、それは集合論の代替であり補完的です。「カテゴリ」の観点からの重要なテーマは、数学には特定の種類のオブジェクト（リー群、バナッハ空間など）だけでなく、それらの構造を保持するオブジェクト間のマッピングも必要であるということです。
特に、これは、数学的対象が同じであると見なされることの意味を正確に明らかにします。（たとえば、すべての正三角形は同じですか、それともサイズは重要ですか？）Saunders Mac Laneは、十分な「遍在性」（数学のさまざまな分野で発生）を備えた概念は、それ自体で分離して研究する価値があると提案しました。圏論は、間違いなく、他の現在のアプローチよりもその目的にうまく適合しています。いわゆる抽象的ナンセンスに依存することの不利な点は、具体的な問題のルーツから脱却するという意味での特定の無味乾燥さと抽象化です。それにも関わらず、圏論の方法は、着実に（からの多数の地域では、受け入れに進歩してきたD-モジュールにカテゴリロジック）。
理論の統合
それほど大規模ではありませんが、数学の2つの異なる分野における結果のセット間の類似性は、類似点を説明できる統一フレームワークが存在するかどうかという問題を提起します。解析幾何学の例についてはすでに述べましたが、より一般的には代数幾何学の分野は、幾何学オブジェクト（代数多様体、またはより一般的にはスキーム）と代数オブジェクト（イデアル）の間の接続を徹底的に開発します。ここでの試金石の結果は、ヒルベルトの零点であり、大まかに言えば、2つのタイプのオブジェクト間に自然な1対1の対応があることを示しています。
同じ観点から他の定理を見ることができます。たとえば、ガロア理論の基本定理は、体の拡張と体のガロア群の部分群との間に1対1の対応があると主張しています。谷山-志村予想楕円曲線（現在の証明）のためには、のように定義された曲線との間の1対1の対応を確立モジュラー形式と楕円曲線上で定義された有理数。モンストラスムーンシャインと呼ばれることもある研究領域は、モジュラー形式とモンスターとして知られる有限の単純なグループとの関係を発展させました。これらのそれぞれで、かなり珍しい数196884が非常に自然に発生するという驚きの観察から始まりました。ラングランズプログラムとして知られる別の分野も同様に、明らかに無計画な類似性（この場合、数論的結果と特定のグループの表現の間）から始まり、両方の結果セットが結果となる構造を探します。
主要な統一概念の参照リスト
これらの理論の短いリストには、次のものが含まれる場合が
デカルト幾何学
微積分
複雑な分析
ガロア理論
エアランゲンプログラムリー群 集合論
ヒルベルト空間
計算可能関数
特性類
ホモロジー代数
ホモトピー論
グロタンディークの計画
トポス理論
ラングランズプログラム
非可換幾何学
モジュール理論に関連する最近の進展
よく知られている例は、谷山-志村の推測であり、現在はモジュール性の定理であり、有理数上の各楕円曲線をモジュール形式に変換できることを提案しています（関連するL関数を保持する方法で）。厳密な意味で、これを同型写像で識別することは困難です。特定の曲線は、推測が定式化される前（1955年頃）には、（属1の）楕円曲線とモジュラー曲線の両方であることが知られていました。予想の驚くべき部分は、属のモジュラー曲線のヤコビアンの因子への拡張でした>1。予想が発表される前に、そのような合理的な因子が「十分に」あることはおそらくもっともらしく思われませんでした。実際、数値的証拠は、表がそれを確認し始めた1970年頃までわずかでした。虚数乗法を使用した楕円曲線の場合は、1964年に志村によって証明されました。この予想は、一般的に証明されるまで数十年にわたって存在していました。
実際、ラングランズプログラム（または哲学）は、統一された推測の網のようなものです。保型形式の一般理論は、ロバート・ラングランズによって導入されたLグループによって規制されていると実際に仮定しています。Lグループに関する彼の機能性の原理は、既知のタイプの保型形式のリフティングに関して非常に大きな説明的価値を持っています（現在、保型表現としてより広く研究されています）。この理論は、ある意味で谷山-志村予想と密接に関連していますが、この予想は実際には反対方向に作用することを理解する必要がそれは、（非常に抽象的に）動機のカテゴリーにあるオブジェクトから始まる保型形式の存在を必要とします。
もう1つの重要な関連点は、ラングランズアプローチが、モンストラスムーンシャイン（フーリエ級数としての楕円モジュラー関数と、モンスターグループおよび他の散発的なグループのグループ表現との間の接続）によってトリガーされる開発全体とは異なることです。ラングランズの哲学は、この一連の研究を予見することも含めることもできませんでした。
K理論における同型予想
これまでのところあまり発達していないが、広範囲の数学をカバーしている別のケースは、K理論のいくつかの部分の推測の基礎です。バウムコンヌ予想、今や長年の問題は、として知られているグループ内の他の人が参加してきたK-理論的に同型推測。これらは、ファレル・ジョーンズ予想とボスト予想を。
も参照してください
数学の哲学
数学の基礎
参考文献
^ （1984）トーマス・ホーキンス「アーランガープログラムフェリックス・クラインの：数学の歴史の中でその場所の反省」、ヒストリアMathematicaの11：442から70。
^ 
ウィキブックスの幾何学/統一された角度”