フォンノイマン–ベルネイス–ゲーデル集合論

Von_Neumann%E2%80%93Bernays%E2%80%93G%C3%B6del_set_theory
数学の基礎では、フォンノイマンベルネイスゲーデル集合論（NBG）は、ツェルメロフレンケル選択集合論（ZFC）の保守的な拡張である公理的集合論です。NBGは、導入概念のクラスの集合であり、集合によって定義された式その数量セット上にのみ及びます。NBGは、すべてのセットのクラスやすべての序数のクラスなど、セットよりも大きいクラスを定義できます。モース-ケリー集合論（MK）は、数量詞がクラス全体に及ぶ式によってクラスを定義できるようにします。NBGは有限に公理化可能ですが、ZFCとMKはそうではありません。
NBGの重要な定理は、クラス存在定理です。これは、数量詞がセットにのみ及ぶすべての式に対して、式を満たすセットで構成されるクラスが存在することを示しています。このクラスは、式の段階的な構築をクラスとミラーリングすることによって構築されます。すべての集合理論式は、2種類の原子論理式（メンバーシップと等式）と有限数の論理記号から構築されるため、それらを満たすクラスを構築するために必要な公理は有限数だけです。これが、NBGが有限に公理化できる理由です。クラスは、他の構造、集合理論のパラドックスの処理、およびZFCの選択公理よりも強力なグローバル選択公理の記述にも使用されます。
ジョン・フォン・ノイマンは、1925年に集合論にクラスを導入しました。彼の理論の原始概念は関数と引数でした。これらの概念を使用して、彼はクラスとセットを定義しました。 パウル・ベルナイスは、クラスを取り、原始概念として設定することにより、フォン・ノイマンの理論を再定式化した。 KurtGödelは、選択公理と一般化された連続体仮説の相対的な一貫性の証明のために、バーネイズの理論を単純化しました。

コンテンツ
1 集合論のクラス
1.1 クラスの使用 1.2 公理型スキーマとクラス存在定理
2 NBGの公理化
2.1 クラスとセット 2.2 外延性とペアリングの定義と公理 2.3 クラス存在公理と正則性公理 2.4 クラス存在定理 2.5 クラス存在定理の拡張 2.62.6 公理を設定する 2.7 グローバルな選択の公理
3 歴史
3.1 フォンノイマンの1925年の公理システム 3.2 フォンノイマンの1929年の公理システム 3.3 バーネイズの公理システム 3.43.4 ゲーデルの公理システム（NBG）
4 NBG、ZFC、およびMK
4.1 モデル
5 圏論
6 ノート
7 参考文献
8 参考文献
9 外部リンク
集合論のクラス編集

クラスの使用
クラスには、NBGでいくつかの用途が
それらは集合論の有限公理化を生み出します。
彼らは、「非常に強い形述べるために使用されている選択公理を」、-namelyグローバル選択公理：グローバルな選択機能が存在します {G}

  空でないすべてのセットのクラスで次のように定義されます。 （（ ）。
∈ {G（x） in x}

  空でないセットごとに 。
{ displaystylex。}

  これは、ZFCが選択した公理よりも強力です。すべてのセットに対して {s}

 空でないセットの場合、選択関数が存在します {f}

  で定義 {s}

  そのような （（ ）。
∈ {f（x） in x}

  すべてのために ∈ 。
{x ins。}
  集合論的パラドックスは、いくつかのクラスをセットすることができないことを認識することによって処理されます。たとえば、クラスが
O {Ord}

 すべての序数のセットです。それで
O {Ord}

 によって順序付けられた推移的なセットです ∈ { in}

 。したがって、定義上、
O {Ord}

 序数です。したがって、
O ∈
O {Ord in Ord}

 、これは矛盾します ∈ { in}

  の秩序だった
O 。
{ displaystyleOrd。}

  したがって、
O {Ord}

 セットではありません。セットではないクラスは適切なクラスと呼ばれるため、
O {Ord}

 適切なクラスです。
適切なクラスは、構築に役立ちます。ゲーデルは、大域選択公理と一般化された連続体仮説の相対的な一貫性を証明するために、適切なクラスを使用して構成可能集合を構築しました。彼は、すべての序数のクラスで関数を構築しました。この関数は、序数ごとに、以前に構築されたセットにセット構築操作を適用することによって、構築可能なセットを構築します。構成可能集合は、この関数のイメージです。

公理型スキーマとクラス存在定理
クラスがZFCの言語に追加されると、ZFCをクラスを含む集合論に簡単に変換できます。まず、クラス理解の公理型が追加されます。この公理スキーマは次のように述べています。 ϕ （（ 1 …
、 NS）。
{ phi（x_ {1}、 ldots、x_ {n}）}

  セット全体でのみ定量化するクラスが存在します {A}

  からなる {n}

 -式を満たすタプル-つまり、
∀ 1 ⋯ ∀[ （（ 1 …
、 NS）。
∈ ⟺ ϕ （（ 1 …
、 NS）。
] { forall x_ {1} cdots 、 forall x_ {n} [（x_ {1}、 ldots、x_ {n}） in A iff phi（x_ {1}、 ldots、 x_ {n}）]。}

 次に、置換の公理スキーマは、クラスを使用する単一の公理に置き換えられます。最後に、ZFCの外延性の公理は、クラスを処理するように変更されます。2つのクラスが同じ要素を持っている場合、それらは同一です。ZFCの他の公理は変更され
この理論は有限に公理化されZFCの置換スキーマは単一の公理に置き換えられましたが、クラス理解の公理スキーマが導入されました。
有限数の公理を持つ理論を作成するために、クラス理解の公理スキーマは、最初に有限数のクラス存在公理に置き換えられます。次に、これらの公理を使用して、クラス存在定理を証明します。これは、公理スキーマのすべてのインスタンスを意味します。この定理の証明には、式の構成を式を満たすクラスの構成に変換するために使用される7つのクラス存在公理のみが必要です。

NBGの公理化
クラスとセット

NBGには、クラスとセットの2種類のオブジェクトが直感的には、すべてのセットはクラスでもこれを公理化する方法は2つBernaysは、クラスとセットの2種類の多ソート論理を使用しました。ゲーデルは、プリミティブ述語を導入することでソートを回避しました。 l（（ ）。
{{ mathfrak {Cls}}（A）}

  にとって “” {A}

  クラスです」と（（ ）。
{{ mathfrak {M}}（A）}

  にとって “” {A}

 は集合です」（ドイツ語では「集合」はメンゲです）。彼はまた、すべての集合がクラスであり、クラスの場合はクラスであるという公理を導入しました。 {A}

  クラスのメンバーである場合 {A}

 セットです。述語の使用は、ソートを排除するための標準的な方法です。エリオットメンデルソンは、すべてをクラスにし、集合述語を定義することにより、ゲーデルのアプローチを修正しました。 （（ ）。
{M（A）}

  なので
∃ （（ ∈ ）。 { exists C（A in C）。}

 この変更により、ゲーデルのクラス述語と彼の2つの公理が削除されます。
バーネイズの2種類のアプローチは、最初はより自然に見えるかもしれませんが、より複雑な理論を作成します。バーネイズの理論では、すべてのセットには2つの表現が1つはセットとして、もう1つはクラスとしてです。また、2つのメンバーシップ関係が「∈」で示される最初の関係は、2つのセットの間に「η」で示される2番目は、セットとクラスの間に異なる種類の変数は論議領界の互いに素なサブドメインに及ぶため、この冗長性は多ソート論理で必要とされます。
これら2つのアプローチの違いは、証明できる内容には影響しませんが、ステートメントの記述方法には影響します。ゲーデルのアプローチでは、 ∈ {A in C}

  どこ {A}

  と {C}

 クラスは有効なステートメントです。バーネイズのアプローチでは、このステートメントは意味がありません。ただし、 {A}

  セットである場合、同等のステートメントがDefine “”set {a}

  クラスを表します {A}

 「メンバーと同じセットがある場合、つまり、
∀ （（ ∈ ⟺ η ）。 { forall x（x in a iff x ; eta ; A）。}

  声明 η {a ; eta ; C}

  設定されている場所 {a}

  クラスを表します {A}

  ゲーデルと同等です ∈ 。
{A in C.}
  で採用されているアプローチは、メンデルソンの修正を加えたゲーデルのアプローチです。NBGがあることをこれは意味公理システムに一階述語論理と平等、そしてその唯一の原始的な概念は、クラスやメンバシップの関係です。

外延性とペアリングの定義と公理
セットは、少なくとも1つのクラスに属するクラスです。 {A}

  は、次の場合にのみセットになります
∃ （（ ∈ ）。
{ exists C（A in C）}

 。セットではないクラスは、適切なクラスと呼ばれます。 {A}

  である場合に限り、適切なクラスです
∀ （（ ∉ ）。
{ forall C（A notin C）}

 。したがって、すべてのクラスはセットまたは適切なクラスのいずれかであり、両方のクラスはありません（理論が一貫している場合）。
ゲーデルは、大文字の変数はクラスにまたがり、小文字の変数はセットにまたがるという規則を導入しました。ゲーデルはまた、すべてのセットのクラスで定義された関数や関係を含む、特定のクラスを示すために大文字で始まる名前を使用しました。、ゲーデルの規則を使用しています。それは私たちが書くことを可能にします：
∃ϕ（（ ）。
{ exists x 、 phi（x）}

  それ以外の
∃ （（ ∃ （（ ∈ ）。 ∧ ϕ（（ ）。 ）。 { exists x { bigl（} exists C（x in C） land phi（x）{ bigr）}}

∀ϕ（（ ）。
{ forall x 、 phi（x）}

  それ以外の
∀ （（ ∃ （（ ∈ ）。
⟹ ϕ （（ ）。 ）。 { forall x { bigl（} exists C（x in C） implies phi（x）{ bigr）}}

クラス存在定理の証明には、次の公理と定義が必要です。
外延性の公理。 2つのクラスが同じ要素を持っている場合、それらは同一です。
∀ ∀ [ ∀ （（ ∈ ⟺ ∈ ）。
⟹ = ]
{ forall A 、 forall B 、[ forall x（x in A iff x in B） implies A = B]}

    この公理は、ZFCのクラスへの拡張性の公理を一般化します。
対の公理。 もしも {x}

  と y {y}

  セットである場合、セットが存在します {p}

  メンバーは {x}

  と y {y}

 。
∀ ∀ y ∃ ∀ z [ z
∈ ⟺（（ z= ∨z = y
）。 ] { forall x 、 forall y 、 exists p 、 forall z 、[z in p iff（z = x 、 lor 、z = y）]}

    ZFCの場合と同様に、拡張性の公理は、セットの一意性を意味します {p}

 、表記法を導入することができます
{{ 、 y } { {x、y }。}

順序対は次のように定義されます。（（ 、 y ）。 = {{
{{ } {{ 、y } }
{ displaystyle（x、y）= { {x }、 {x、y } }}
  タプルは、順序対を使用して帰納的に定義されます。（（ 1 ）。 = 1 { displaystyle（x_ {1}）= x_ {1}、}
  にとって  >>1 ：（（ 1 …
、 − 1 、 ）。 = （（ （（ 1 …
、 − 1 ）。
、 ）。 {{ text {For}} n> 1 ！：（ x_ {1}、 ldots、x_ {n-1}、x_ {n}）=（（x_ {1}、 ldots、x_ { n-1}）、x_ {n}）。}
1!:(x_{1}，ldots ，x_{n-1}，x_{n})=((x_{1}，ldots ，x_{n-1})，x_{n}).}””>  

クラス存在公理と正則性公理
クラス存在公理は、クラス存在定理を証明するために使用されます。 {n}

  セット全体でのみ定量化するフリーセット変数には、次のクラスが存在します。 {n}

 -それを満たすタプル。次の例は、関数である2つのクラスから開始し、複合関数を作成します。この例は、クラス存在定理を証明するために必要な手法を示しています。これにより、必要なクラス存在公理が導き出されます。
例1： クラスの場合{F}

  と{G}

  関数であり、次に合成関数 ∘{G circ F}

  次の式で定義されます。
∃ [ （（ 、 ）。
∈∧（（ 、 y ）。
∈ ]{ exists t [（x、t） in F 、 land 、（t、y） inG]。}

  この式には2つの自由なセット変数があるため、{x}

  と
y{y、}