Categories: 未分類

ウィグナー半円分布

ここで、Xは、この分布とを有する任意の確率変数であるC 、Nであり、N番目のカタラン数 =
1 + 1 （（ 2 NS）。 {C_ {n} = {1 over n + 1} {2n choice n}、、}
R = 2の場合、モーメントはカタラン数になります（対称性のため、すべての奇数次モーメントはゼロです）。
置換を行う = cos（（ θ ）。 {x = R cos（ theta）}

モーメント母関数の定義式に、次のことがわかります。（（）。= 2
π π cos（（ θ
）。 sin 2 （（ θ
）。 θ
{M（t）= { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ { pi} e ^ {Rt cos（ theta）} sin ^ {2}（ theta ）、d theta}
これを解くと（AbramowitzandStegun§9.6.18を参照）、次のようになります。（（）。= 2 I 1（（）。 {M（t）= 2 、{ frac {I_ {1}（Rt）} {Rt}}}
どこ 1（（ z ）。 {I_ {1}（z）}

修正されたベッセル関数です。同様に、特性関数は次の式で与えられます。
φφ（（）。= 2 1（（）。 { varphi（t）= 2 、{ frac {J_ {1}（Rt）} {Rt}}}
どこ 1（（ z ）。 {J_ {1}（z）}

ベッセル関数です。（AbramowitzandStegun§9.1.20を参照）、対応する積分には以下が含まれることに注意してください
sin（（cos（（ θ ）。）。
{ sin（Rt cos（ theta））}

はゼロです。）
の限界で {R}

ゼロに近づくと、ウィグナー半円分布はディラックのデルタ関数になります。

自由確率との関係

で無料の確率論、ウィグナーの半円分布の役割はのものと類似である正規分布の古典的な確率論インチつまり、自由確率論では、キュムラントの役割は「自由キュムラント」によって占められ、通常のキュムラントとの関係は、通常のキュムラントの理論における有限集合のすべての分割の集合の役割が集合に置き換えられることです。有限集合のすべての非交差分割の。ただ、度を超える2のキュムラントとしての確率分布全てゼロいる場合にのみあれば分布が正常であるので、また、無料のより多くの確率分布の2度以下のキュムラントはすべてゼロと分布がある場合にだけウィグナーの半円分布。

PDF球面分布、（X、Y、Z）

特性関数の球面分布

球面調和関数特性モード

関連するディストリビューション
ウィグナー（球形）放物線分布
ウィグナー放物線
パラメーター >> 0 {R> 0 ！}
0!""> 半径（実数）
サポート ∈
[ − ;+ ]
{x in ！}
PDF 3 4 3（（NS 2 − 2）。
{{ frac {3} {4R ^ {3}}} 、（R ^ {2} -x ^ {2}）}
CDF 1 4 3（（ 2 − ）。（（ +
NS）。 2 {{ frac {1} {4R ^ {3}}} 、（2R-x）、（R + x）^ {2}}
MGF 3 I 1（（）。 {3 、{ frac {i_ {1}（R 、t）} {R 、t}}}
CF 3 1（（）。 {3 、{ frac {j_ {1}（R 、t）} {R 、t}}}
（0、0）を中心とする半径Rの区間でサポートされる放物線確率分布：（（）。= 3 4 3（（ 2
− 2 ）。 {f（x）= {3 over 4R ^ {3}} {（R ^ {2} -x ^ {2}）} 、}

方法- R ≤ X ≤ R、及びF（X）= 0の場合| X | > R。
例。同時分布は∫ 0 π ∫ 0 + 2 π∫ 0、 Y Z（（、 y z ）。 2sin（（ θ
）。 θ ϕ= 1 ;
{ int _ {0} ^ { pi} int _ {0} ^ {+ 2 pi} int _ {0} ^ {R} f_ {X、Y、Z}（x、y、 z）R ^ {2} 、dr sin（ theta）、d theta 、d phi = 1;}
、 Y Z （（、 y z ）。=3 4 π {f_ {X、Y、Z}（x、y、z）= { frac {3} {4 pi}}}

したがって、球面（パラメトリック）分布の周辺PDFは次のようになります。（（）。 = ∫ − 1 − y 2
− 2+ 1 − y 2 − 2 ∫− 1
− 2+ 1
− 2 、 Y Z （（、 y z ）。 y z ; {f_ {X}（x）= int _ {-{ sqrt {1-y ^ {2} -x ^ {2}}}} ^ {+ { sqrt {1-y ^ {2} -x ^ {2}}}} int _ {-{ sqrt {1-x ^ {2}}}} ^ {+ { sqrt {1-x ^ {2}}}} f_ {X、Y 、Z}（x、y、z）、dy 、dz;}
（（）。= ∫ − 1
− 2+ 1
− 22 1
−
−2 y ; {f_ {X}（x）= int _ {-{ sqrt {1-x ^ {2}}}} ^ {+ { sqrt {1-x ^ {2}}}} 2 { sqrt {1-y ^ {2} -x ^ {2}}} 、dy 、;}
（（）。=3 4（（ 1 − 2
）。 ; {f_ {X}（x）= {3 over 4} {（1-x ^ {2}）} 、;}

R = 1となるように
球面分布の特性関数は、X、Y、Zの分布の期待値のパターン乗算になります。
放物線状のウィグナー分布も、原子軌道のような水素の単極子モーメントと見なされます。

ウィグナーのn球分布（0、0）を中心とする半径1の区間でサポートされる正規化されたN球確率密度関数：（（ ; ）。 = （（ 1
− 2 ）。（（ − 1 ）。
/2 （（ 1+/ 2 ）。π Γ（（（（ + 1 ）。 2 ）。（（ > =− 1 ）。 {f_ {n}（x; n）= {（1-x ^ {2}）^ {（n-1）/ 2} Gamma（1 + n / 2） over { sqrt { pi }} ガンマ（（n + 1）/ 2）} 、（n> = -1）}
=-1)}"">
、
用-1≤ X ≤1、及びF（X）= 0の場合| X | > 1。
例。同時分布は∫ − 1 − y 2
− 2+ 1 − y 2 − 2 ∫− 1
− 2+ 1
− 2 0
1 、 Y Z （（、 y z ）。 1 − 2− y 2 − z 2（（）。y z= 1 ;
{ int _ {-{ sqrt {1-y ^ {2} -x ^ {2}}}} ^ {+ { sqrt {1-y ^ {2} -x ^ {2}}} } int _ {-{ sqrt {1-x ^ {2}}}} ^ {+ { sqrt {1-x ^ {2}}}} int _ {0} ^ {1} f_ {X 、Y、Z}（x、y、z）{{ sqrt {1-x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2}}} ^ {（n）}} dxdydz = 1;}
、 Y Z （（、 y z ）。=3 4 π {f_ {X、Y、Z}（x、y、z）= { frac {3} {4 pi}}}

したがって、周辺PDF分布はです。（（ ; ）。 = （（ 1
− 2 ）。（（ − 1 ）。/ 2
）。 Γ （（ 1+/ 2 ）。π Γ（（（（ + 1 ）。 2
）。 ; {f_ {X}（x; n）= {（1-x ^ {2}）^ {（n-1）/ 2）} Gamma（1 + n / 2） over { sqrt { pi}} Gamma（（n + 1）/ 2）} 、;}

R = 1となるように
累積分布関数（CDF）は次のとおりです。（（）。 = 2 Γ（（ 1 +/ 2）。 2 1 （（ 1 / 2 （（ 1
− ）。 2
;3 2
; 2）。π Γ（（（（ + 1 ）。 2
）。 ; {F_ {X}（x）= {2x Gamma（1 + n / 2）_ {2} F_ {1}（1/2、（1-n）/ 2; 3/2; x ^ { 2}） over { sqrt { pi}} Gamma（（n + 1）/ 2）} 、;}

R = 1およびn> =-1となるように
PDFの特性関数（CF）は、以下に示すようにベータ分布に関連しています。（（ ; ）。= 1 1（（ /
2 ; ; / 2 ）。 ⌝ （（ α= β= / 2 ）。 ; {CF（t; n）= {_ {1} F_ {1}（n / 2 、; n; jt / 2）} 、 urcorner（ alpha = beta = n / 2）;}

ベッセル関数に関しては、これは（（ ; ）。= Γ（（ / + 1 ）。/ 2 （（）。 / （（ / 2 ）。（（/ 2 ）。 ⌝ （（ > =− 1
）。 ; {CF（t; n）= { Gamma（n / 2 + 1）J_ {n / 2}（t）/（t / 2）^ {（n / 2）}} 、 urcorner（n > = -1）;}
=-1);}"">
PDFの生の瞬間は
μ′（（）。= ∫ −
1 + 1 NS（（ ; ）。 =（（ 1 + （（ −
1）。
NS）。 Γ （（ 1+/ 2 ）。
2π Γ（（（（ 2+ + ）。 2
）。 ; { mu'_ {N}（n）= int _ {-1} ^ {+ 1} x ^ {N} f_ {X}（x; n）dx = {（1 +（-1）
^ {N}） Gamma（1 + n / 2） over {2 { sqrt { pi}}} Gamma（（2 + n + N）/ 2）};}

中心モーメントは 0（（）。= 1
{ mu _ {0}（x）= 1}
1（（）。 = μ1 （（）。
{ mu _ {1}（n）= mu _ {1} '（n）}
2（（）。 = μ2 （（）。− μ 1 ′ 2（（）。
{ mu _ {2}（n）= mu _ {2} '（n）- mu _ {1}' ^ {2}（n）}
3（（）。= 2 μ 1 ′ 3（（）。− 3
μ1 （（）。
μ2 （（）。 + μ3 （（）。
{ mu _ {3}（n）= 2 mu _ {1} '^ {3}（n）-3 mu _ {1}'（n） mu _ {2} '（n） + mu _ {3} '（n）}
4（（）。 = − 3 μ 1 ′ 4（（）。+ 6 μ 1 ′ 2（（）。
μ2 （（）。− 4
μ1 （（）。
μ3 （（）。 + μ4 （（）。
{ mu _ {4}（n）=-3 mu _ {1} '^ {4}（n）+6 mu _ {1}' ^ {2}（n） mu _ {2 } '（n）-4 mu' _ {1}（n） mu'_ {3}（n）+ mu '_ {4}（n）}

対応する確率モーメント（平均、分散、スキュー、尖度、および過剰尖度）は次のとおりです。 μ （（）。 = μ1 （（）。= 0
{ mu（x）= mu _ {1} '（x）= 0}
2（（）。 = μ2 （（）。− μ 2（（）。= 1 /（（ 2+ ）。
{ sigma ^ {2}（n）= mu _ {2} '（n）- mu ^ {2}（n）= 1 /（2 + n）}
1（（）。= μ 3
/ 2 3
/2 0
{ gamma _ {1}（n）= mu _ {3} / mu _ {2} ^ {3/2} = 0}
2（（）。= μ 4
/ 2 2 3（（ 2+ ）。 / （（ 4+ ）。
{ beta _ {2}（n）= mu _ {4} / mu _ {2} ^ {2} = 3（2 + n）/（4 + n）}
2（（）。= μ 4
/ 2 2 3= − 6 /（（ 4+ ）。
{ gamma _ {2}（n）= mu _ {4} / mu _ {2} ^ {2} -3 = -6 /（4 + n）}

特性関数の生のモーメントは次のとおりです。
μ′（（）。 = μ ; E ′（（）。 + μ ; O ′（（）。= ∫ −
1 + 1 o（（）。（（ ; ）。 +∫ −
1 + 1 私（（）。（（ ; ）。 ;
{ mu'_ {N}（n）= mu '_ {N; E}（n）+ mu'_ {N; O}（n）= int _ {-1} ^ {+ 1} cos ^ {N}（xt）f_ {X}（x; n）dx + int _ {-1} ^ {+ 1} sin ^ {N}（xt）f_ {X}（x; n）dx ;}

均等な分布の場合、モーメントはです。
μ1 （（ ; ： E ）。= （（ ; ）。
{ mu _ {1} '（t; n：E）= CF（t; n）}
1 （（ ; ： O ）。= 0
{ mu _ {1} '（t; n：O）= 0}
1 （（ ; ）。= （（ ; ）。
{ mu _ {1} '（t; n）= CF（t; n）}
2 （（ ; ： E ）。= 1 / 2（（ 1+ （（ 2 ; ）。）。 { mu _ {2} '（t; n：E）= 1/2（1 + CF（2t; n））}
2 （（ ; ： O ）。= 1 / 2（（ 1
− （（ 2 ; ）。）。 { mu _ {2} '（t; n：O）= 1/2（1-CF（2t; n））}
2 （（ ; ）。= 1
{ mu'_ {2}（t; n）= 1}
3 （（ ; ： E ）。 = （（（（ 3 ）。 + 3 （（ ; ）。
）。/ 4
{ mu _ {3} '（t; n：E）=（CF（3t）+ 3CF（t; n））/ 4}
3 （（ ; ： O ）。= 0
{ mu _ {3} '（t; n：O）= 0}
3 （（ ; ）。 = （（（（ 3 ; ）。 + 3 （（ ; ）。
）。/ 4
{ mu _ {3} '（t; n）=（CF（3t; n）+ 3CF（t; n））/ 4}
4 （（ ; ： E ）。 = （（ 3 + 4 （（ 2 ; ）。+ （（ 4 ; ）。
）。/ 8
{ mu _ {4} '（t; n：E）=（3 + 4CF（2t; n）+ CF（4t; n））/ 8}
4 （（ ; ： O ）。 = （（ 3 − 4 （（ 2 ; ）。+ （（ 4 ; ）。
）。/ 8
{ mu _ {4} '（t; n：O）=（3-4CF（2t; n）+ CF（4t; n））/ 8}
4 （（ ; ）。 = （（ 3+ （（ 4 ; ）。
）。/ 4
{ mu _ {4} '（t; n）=（3 + CF（4t; n））/ 4}

したがって、CFのモーメント（N = 1の場合）は次のようになります。 μ （（ ; ）。 = μ1 （（）。= （（ ; ）。= 0 1（（ 2+ 2 −2
4）。
{ mu（t; n）= mu _ {1} '（t）= CF（t; n）= _ {0} F_ {1}（{2 + n over 2}、-{t ^ {2} over 4}）}
2（（ ; ）。= 1 −
| （（ ; ）。
|2 1− | 0 1（（ 2+ 2 − 2/ 4
）。| 2
{ sigma ^ {2}（t; n）= 1- | CF（t; n）| ^ {2} = 1- | _ {0} F_ {1}（{2 + n over 2} 、-t ^ {2} / 4）| ^ {2}}
1（（）。= μ 3
μ2 / 2 = 0 1（（ 2+ 2 − 9 2 4）。
− 0 1 （（ 2+ 2 − 2
4）。+ 8 | 0 1（（ 2+ 2 − 2
4）。
|3 4（（ 1− | 0 1（（ 2+ 2 − 2
4）。）。2 （（ 3/ 2 ）。 { gamma _ {1}（n）= { mu _ {3} over mu _ {2} ^ {3/2}} = {_ {0} F_ {1}（{2 + n over 2}、-9 {t ^ {2} over 4}）-_ {0} F_ {1}（{2 + n over 2}、-{t ^ {2} over 4}）+ 8 | _ {0} F_ {1}（{2 + n over 2}、-{t ^ {2} over 4}）| ^ {3} over 4（1- | _ {0} F_ { 1}（{2 + n over 2}、-{t ^ {2} over 4}））^ {2} | ^ {（3/2）}}}
2（（）。= μ 4
μ2 =3 0 1 （（ 2+ 2 −
4 2）。 − （（4 0 1 （（ 2+ 2 − 2
4）。（（ 0 1（（ 2+ 2 − 9 2 4）。
）。 + 3 0 1 （（ 2+ 2 − 2
4）。（（ −1 + | 0 1（（ 2+ 2 − 24
2）。
）。 4 （（ −1 + | 0 1（（ 2+ 2 − 2
4）。）。2 2
{ beta _ {2}（n）= { mu _ {4} over mu _ {2} ^ {2}} = {3 + _ {0} F_ {1}（{2 + n over 2}、-4t ^ {2}）-（4_ {0} F_ {1}（{2 + n over 2}、-{t ^ {2} over 4}）（_ {0} F_ {1}（{2 + n over 2}、-9 {t ^ {2} over 4}））+ 3_ {0} F_ {1}（{2 + n over 2}、-{t ^ {2} over 4}）（-1 + | _ {0} F_ {1}（{2 + n over 2}、-{t ^ {2} over 4} | ^ {2}）） over 4（-1+ | _ {0} F_ {1}（{2 + n over 2}、-{t ^ {2} over 4}））^ {2} | ^ {2}}}
2（（）。= μ 4
/ 2 2 3 = −9 0 1 （（ 2+ 2 −
4 2）。 − （（4 0 1 （（ 2+ 2 − 2/ 4 ）。（（ 0 1（（ 2+ 2 − 9 2 4）。
）。− 9 0 1（（ 2+ 2 − 2
4）。+ 6 | 0 1（（ 2+ 2 − 24
3）。 4 （（ −1 + | 0 1（（ 2+ 2 − 2
4）。）。2 2
{ gamma _ {2}（n）= mu _ {4} / mu _ {2} ^ {2} -3 = {-9 + _ {0} F_ {1}（{2 + n over 2}、-4t ^ {2}）-（4_ {0} F_ {1}（{2 + n over 2}、-t ^ {2} / 4）（_ {0} F_ {1} （{2 + n over 2}、-9 {t ^ {2} over 4}））-9_ {0} F_ {1}（{2 + n over 2}、-{t ^ {2} over 4}）+ 6 | _ {0} F_ {1}（{2 + n over 2}、-{t ^ {2} over 4} | ^ {3}） over 4（-1+ | _ {0} F_ {1}（{2 + n over 2}、-{t ^ {2} over 4}））^ {2} | ^ {2}}}

スキューと尖度は、ベッセル関数の観点からも簡略化できます。
エントロピーは次のように計算されます（（）。= ∫ −
1 + 1（（ ; ）。 ln （（ NS（（ ; ）。
）。 {H_ {N}（n）= int _ {-1} ^ {+ 1} f_ {X}（x; n） ln（f_ {X}（x; n））dx}

最初の5つの瞬間（n = -1から3）、R = 1は次のようになります。− ln（（ 2/ π ）。 ; =− 1
{- ln（2 / pi）; n = -1}
− ln（（ 2 ）。 ; = 0 {- ln（2）; n = 0}
− 1 / 2 + ln（（ π ）。 ; = 1 { -1/2 + ln（ pi）; n = 1}
5 / 3 − ln（（ 3 ）。 ; = 2 { 5 / 3- ln（3）; n = 2}
− 7 / 4 − ln（（ 1/ 3 π ）。 ; = 3 { -7 / 4- ln（1/3 pi）; n = 3}

奇数対称が適用されたN球ウィグナー分布
対称性が奇数の周辺PDF分布はです。（（ ; ）。 = （（ 1
− 2 ）。（（ − 1 ）。/ 2
）。 Γ （（ 1+/ 2 ）。π Γ（（（（ + 1 ）。 2
）。 sgn （（）。 ; {f {_ {X}}（x; n）= {（1-x ^ {2}）^ {（n-1）/ 2）} Gamma（1 + n / 2） over { sqrt { pi}} Gamma（（n + 1）/ 2）} operatorname {sgn}（x）、;}

R = 1となるように
したがって、CFはStruve関数で表されます。（（ ; ）。= Γ（（ / + 1 ）。/ 2 （（）。 / （（ / 2 ）。（（/ 2 ）。 ⌝ （（ > =− 1
）。 ; {CF（t; n）= { Gamma（n / 2 + 1）H_ {n / 2}（t）/（t / 2）^ {（n / 2）}} 、 urcorner（n > = -1）;}
=-1);}"">
「Struve関数は、無限のバッフルに取り付けられたリジッドピストンラジエーターの問題で発生します。このラジエーターの放射インピーダンスは次の式で与えられます」Z =
ρ π 2
[ 1（（ 2
k ）。− I 1（（ 2
k ）。
] {Z = { rho c pi a ^ {2} [R_ {1}（2ka）-iX_ {1}（2ka）]、}}
1 1− 2 1（（）。
2 、
{R_ {1} = {1- {2J_ {1}（x） over 2x}、}}
1 = 2 1（（） {X_ {1} = {{2H_ {1}（x） over x}、}}

例（正規化された受信信号強度）：求積項
正規化された受信信号強度は次のように定義されます。
| | = 1 |∑ k = 1exp |
{| R | = {{1 over N} |} sum _ {k = 1} ^ {N} exp |}

標準の求積項を使用する =
1 ∑k = 1cos（（）。
{x = {1 over N} sum _ {k = 1} ^ {N} cos（x_ {n} t）}
y =
1 ∑k = 1罪（（）。
{y = {1 over N} sum _ {k = 1} ^ {N} sin（x_ {n} t）}

したがって、均等な分布の場合、x = 1およびy = 0となるようにNRSSを拡張し、次のようにします。2+ y 2 = +3 2
y2 3
2 y2 12 2 y2 O（（ y
3）。+ O（（ y
3）。（（ − 1 ）。+ O（（ y
3）。（（ − 1 ）。2 O （（ − 1 ）。 3 {{ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} = x + {3 over 2} y ^ {2}-{3 over 2} xy ^ {2} + {1 over 2} x ^ {2} y ^ {2} + O（y ^ {3}）+ O（y ^ {3}）（x-1）+ O（y ^ {3}）（x-1）^ {2} + O（x-1）^ {3}}

受信信号強度の特性関数の拡張形式はになります。E =
1（（ ; ）。
{E = {1 over N} CF（t; n）}
E [ y2] = 1
2 （（ 1
− （（ 2 ; ）。）。 {E = {1 over 2N}（1-CF（2t; n））}
E = 1
2 （（ 1+ （（ 2 ; ）。）。 {E = {1 over 2N}（1 + CF（2t; n））}
E =2
3 2 （（ ; ）。3 （（ − 1 2 2）。（（ 1
−（（ 2 ; ）。
）。（（ ; ）。
{E = {t ^ {2} over 3N ^ {2}} CF（t; n）^ {3} +（{N-1 over 2N ^ {2}} ）（1-tCF（2t; n））CF（t; n）}
E [ 2y 2] = 1 8 3 （ 1 − （（ 4 ; ）。
）。 + （（ − 1 4 3）。（（ 1
− （（ 2 ; ）。
2）。 + （（ − 1 3 3）。 2 （（ ; ）。4 （（（（ − 1 ）。（（ − 2 ）。3
）。（（ ; ）。 2 （（ 1
− （（ 2 ; ）。）。 {E [x ^ {2} y ^ {2}] = {1 over 8N ^ {3}}（1-CF（4t; n））+（{N-1 over 4N ^ {3} }）（1-CF（2t; n）^ {2}）+（{N-1 over 3N ^ {3}}）t ^ {2} CF（t; n）^ {4} +（{（ N-1）（N-2） over N ^ {3}}）CF（t; n）^ {2}（1-CF（2t; n））}

も参照してください
ウィグナーの推測
パラメータdは無限大になる傾向があるため、WsdはKesten –McKay分布の限界です。
で数論的文献、ウィグナー分布が時々佐藤-テイト分布と呼ばれます。佐藤・テイトの推測を参照して
マルチェンコ–パスター分布または無料ポアソン分布

参考文献
^ ブキャナン、クリストファー; フローレス、カルロス; ウィーランド、サラ; ジェンセン、ジェフリー; グレイソン、デビッド; ハフ、グレゴリー（2017）。「円形テーパーランダムアレイを使用したレーダーアプリケーション用の送信ビームフォーミング」。2017 IEEEレーダー会議（レーダー会議）。pp。0112–0117。土井：10.1109 /RADAR.2017.7944181。ISBN 978-1-4673-8823-8。S2CID 38429370。
^ https://oaktrust.library.tamu.edu/handle/1969.1/157918 ^ オーバーターフ、ドリュー; ブキャナン、クリストファー; ジェンセン、ジェフリー; ウィーランド、サラ; ハフ、グレゴリー（2017）。「体積分布フェーズドアレイからのビームフォーミングパターンの調査」。MILCOM 2017-2017 IEEE軍事通信会議（MILCOM）。pp。817–822。土井：10.1109 /MILCOM.2017.8170756。ISBN
978-1-5386-0595-0。S2CID 11591305。 https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/8170756/ ^ Buchanan、K。; グレゴリー・ハフ。「ユークリッド空間における幾何学的に束縛されたランダム配列の比較」。2011 IEEE International Symposium on Antennas and Propagation（APSURSI）：2008–2011。土井：10.1109 /APS.2011.5996900。ISBN 978-1-4244-9563-4。S2CID 10446533。
^ トーマスM.カバー（1963年）。「ランダムアレイからのアンテナパターン分布」（PDF）（MEMORANDUM RM-3502--PR）。サンタモニカ：ランド研究所。
^ W.、ワイスタイン、エリック。「ストルーブ機能」。mathworld.wolfram.com 。
^ 「分散およびマルチビームネットワーク用の高度なビームフォーミング」（PDF）。
ミルトン・アブラモウィッツとアイリーン・A・ステガン編式、グラフ、および数学表を使用した数学関数のハンドブック。ニューヨーク：ドーバー、1972年。

外部リンク

Wigner_semicircle_distribution
ウィグナー半円分布物理学者にちなんで名付けられ、ユージン・ウィグナーは、ある確率分布の、その確率密度関数 fが（0、0）を中心とスケーリングされた半円（すなわち、半楕円）です。
ウィグナー半円
確率密度関数
累積分布関数
パラメーター >> 0 {R> 0 ！}
半径（実数）
サポート ∈
[ − ;+ ]
{x in ！}PDF 2
π 2 2
− 2
{{ frac {2} { pi R ^ {2}}} 、{ sqrt {R ^ {2} -x ^ {2}}} ！}
CDF1 2 2 −2 π 2+ arcsin（（）。 π {{ frac {1} {2}} + { frac {x { sqrt {R ^ {2} -x ^ {2}}}} { pi R ^ {2}}} + { frac { arcsin ！ left（{ frac {x} {R}} right）} { pi}} ！}
にとって
− ≤ ≤ {-R leq x leq R}
平均 0 {0 、}
中央値 0 {0 、}
モード 0 {0 、}
分散 2 4 {{ frac {R ^ {2}} {4}} ！}
歪度 0 {0 、}
元。尖度− 1
{-1 、}
エントロピ ln （（ π ）。
−1 2
{ ln（ pi R）-{ frac {1} {2}} 、}MGF 2 I 1（（）。 {2 、{ frac {I_ {1}（R 、t）} {R 、t}}}CF 2 1（（）。 {2 、{ frac {J_ {1}（R 、t）} {R 、t}}} （（）。= 2
π 2 2
− 2
{f（x）= {2 over pi R ^ {2}} { sqrt {R ^ {2} -x ^ {2} 、}} 、}
方法- R ≤ X ≤ R、及びF（X）= 0の場合| X | > R。
それはまた、スケーリングされるベータ分布：場合、Yは、ベータ分布のパラメータα=β= 3/2とされ、その後、X = 2 RY – Rは、ウィグナー半円分布を有しています。
分布は、行列のサイズが無限大に近づくにつれて、多くのランダム対称行列の固有値の限界分布として発生します。固有値間の間隔の分布は、同様の名前のWigner推測によって対処されます。

コンテンツ
1 一般的なプロパティ
2 自由確率との関係
3 関連するディストリビューション
3.1 ウィグナー（球形）放物線分布
4 ウィグナーのn球分布
5 奇数対称が適用されたN球ウィグナー分布
6 例（正規化された受信信号強度）：求積項
7 も参照してください
8 参考文献
9 外部リンク

一般的なプロパティ
第2種のチェビシェフ多項式は、ウィグナー半円分布に関して直交多項式です。
正の整数nの場合、この分布の2n番目のモーメントは次のようになります。 E （（ 2 ）。 = （（ 2）。
2{E（X ^ {2n}）= left（{R over 2} right）^ {2n} C_ {n} 、}
ここで、Xは、この分布とを有する任意の確率変数であるC 、Nであり、N番目のカタラン数 =
1 + 1 （（ 2 NS）。 {C_ {n} = {1 over n + 1} {2n choice n}、、}
R = 2の場合、モーメントはカタラン数になります（対称性のため、すべての奇数次モーメントはゼロです）。
置換を行う = cos（（ θ ）。 {x = R cos（ theta）}

モーメント母関数の定義式に、次のことがわかります。（（）。= 2
π π cos（（ θ
）。 sin 2 （（ θ
）。 θ
{M（t）= { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ { pi} e ^ {Rt cos（ theta）} sin ^ {2}（ theta ）、d theta}
これを解くと（AbramowitzandStegun§9.6.18を参照）、次のようになります。（（）。= 2 I 1（（）。 {M（t）= 2 、{ frac {I_ {1}（Rt）} {Rt}}}
どこ 1（（ z ）。 {I_ {1}（z）}

修正されたベッセル関数です。同様に、特性関数は次の式で与えられます。
φφ（（）。= 2 1（（）。 { varphi（t）= 2 、{ frac {J_ {1}（Rt）} {Rt}}}
どこ 1（（ z ）。 {J_ {1}（z）}

ベッセル関数です。（AbramowitzandStegun§9.1.20を参照）、対応する積分には以下が含まれることに注意してください
sin（（cos（（ θ ）。）。
{ sin（Rt cos（ theta））}

はゼロです。）
の限界で {R}

ゼロに近づくと、ウィグナー半円分布はディラックのデルタ関数になります。

自由確率との関係

で無料の確率論、ウィグナーの半円分布の役割はのものと類似である正規分布の古典的な確率論インチつまり、自由確率論では、キュムラントの役割は「自由キュムラント」によって占められ、通常のキュムラントとの関係は、通常のキュムラントの理論における有限集合のすべての分割の集合の役割が集合に置き換えられることです。有限集合のすべての非交差分割の。ただ、度を超える2のキュムラントとしての確率分布全てゼロいる場合にのみあれば分布が正常であるので、また、無料のより多くの確率分布の2度以下のキュムラントはすべてゼロと分布がある場合にだけウィグナーの半円分布。

PDF球面分布、（X、Y、Z）

特性関数の球面分布

球面調和関数特性モード

関連するディストリビューション
ウィグナー（球形）放物線分布
ウィグナー放物線
パラメーター >> 0 {R> 0 ！}
0!””> 半径（実数）
サポート ∈
[ − ;+ ]
{x in ！}
PDF 3 4 3（（NS 2 − 2）。
{{ frac {3} {4R ^ {3}}} 、（R ^ {2} -x ^ {2}）}
CDF 1 4 3（（ 2 − ）。（（ +
NS）。 2 {{ frac {1} {4R ^ {3}}} 、（2R-x）、（R + x）^ {2}}
MGF 3 I 1（（）。 {3 、{ frac {i_ {1}（R 、t）} {R 、t}}}
CF 3 1（（）。 {3 、{ frac {j_ {1}（R 、t）} {R 、t}}}
（0、0）を中心とする半径Rの区間でサポートされる放物線確率分布：（（）。= 3 4 3（（ 2
− 2 ）。 {f（x）= {3 over 4R ^ {3}} {（R ^ {2} -x ^ {2}）} 、}

方法- R ≤ X ≤ R、及びF（X）= 0の場合| X | > R。
例。同時分布は∫ 0 π ∫ 0 + 2 π∫ 0、 Y Z（（、 y z ）。 2sin（（ θ
）。 θ ϕ= 1 ;
{ int _ {0} ^ { pi} int _ {0} ^ {+ 2 pi} int _ {0} ^ {R} f_ {X、Y、Z}（x、y、 z）R ^ {2} 、dr sin（ theta）、d theta 、d phi = 1;}
、 Y Z （（、 y z ）。=3 4 π {f_ {X、Y、Z}（x、y、z）= { frac {3} {4 pi}}}

したがって、球面（パラメトリック）分布の周辺PDFは次のようになります。（（）。 = ∫ − 1 − y 2
− 2+ 1 − y 2 − 2 ∫− 1
− 2+ 1
− 2 、 Y Z （（、 y z ）。 y z ; {f_ {X}（x）= int _ {-{ sqrt {1-y ^ {2} -x ^ {2}}}} ^ {+ { sqrt {1-y ^ {2} -x ^ {2}}}} int _ {-{ sqrt {1-x ^ {2}}}} ^ {+ { sqrt {1-x ^ {2}}}} f_ {X、Y 、Z}（x、y、z）、dy 、dz;}
（（）。= ∫ − 1
− 2+ 1
− 22 1
−
−2 y ; {f_ {X}（x）= int _ {-{ sqrt {1-x ^ {2}}}} ^ {+ { sqrt {1-x ^ {2}}}} 2 { sqrt {1-y ^ {2} -x ^ {2}}} 、dy 、;}
（（）。=3 4（（ 1 − 2
）。 ; {f_ {X}（x）= {3 over 4} {（1-x ^ {2}）} 、;}

R = 1となるように
球面分布の特性関数は、X、Y、Zの分布の期待値のパターン乗算になります。
放物線状のウィグナー分布も、原子軌道のような水素の単極子モーメントと見なされます。

ウィグナーのn球分布（0、0）を中心とする半径1の区間でサポートされる正規化されたN球確率密度関数：（（ ; ）。 = （（ 1
− 2 ）。（（ − 1 ）。
/2 （（ 1+/ 2 ）。π Γ（（（（ + 1 ）。 2 ）。（（ > =− 1 ）。 {f_ {n}（x; n）= {（1-x ^ {2}）^ {（n-1）/ 2} Gamma（1 + n / 2） over { sqrt { pi }} ガンマ（（n + 1）/ 2）} 、（n> = -1）}
=-1)}””>
、
用-1≤ X ≤1、及びF（X）= 0の場合| X | > 1。
例。同時分布は∫ − 1 − y 2
− 2+ 1 − y 2 − 2 ∫− 1
− 2+ 1
− 2 0
1 、 Y Z （（、 y z ）。 1 − 2− y 2 − z 2（（）。y z= 1 ;
{ int _ {-{ sqrt {1-y ^ {2} -x ^ {2}}}} ^ {+ { sqrt {1-y ^ {2} -x ^ {2}}} } int _ {-{ sqrt {1-x ^ {2}}}} ^ {+ { sqrt {1-x ^ {2}}}} int _ {0} ^ {1} f_ {X 、Y、Z}（x、y、z）{{ sqrt {1-x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2}}} ^ {（n）}} dxdydz = 1;}
、 Y Z （（、 y z ）。=3 4 π {f_ {X、Y、Z}（x、y、z）= { frac {3} {4 pi}}}

したがって、周辺PDF分布はです。（（ ; ）。 = （（ 1
− 2 ）。（（ − 1 ）。/ 2
）。 Γ （（ 1+/ 2 ）。π Γ（（（（ + 1 ）。 2
）。 ; {f_ {X}（x; n）= {（1-x ^ {2}）^ {（n-1）/ 2）} Gamma（1 + n / 2） over { sqrt { pi}} Gamma（（n + 1）/ 2）} 、;}

R = 1となるように
累積分布関数（CDF）は次のとおりです。（（）。 = 2 Γ（（ 1 +/ 2）。 2 1 （（ 1 / 2 （（ 1
− ）。 2
;3 2
; 2）。π Γ（（（（ + 1 ）。 2
）。 ; {F_ {X}（x）= {2x Gamma（1 + n / 2）_ {2} F_ {1}（1/2、（1-n）/ 2; 3/2; x ^ { 2}） over { sqrt { pi}} Gamma（（n + 1）/ 2）} 、;}

R = 1およびn> =-1となるように
PDFの特性関数（CF）は、以下に示すようにベータ分布に関連しています。（（ ; ）。= 1 1（（ /
2 ; ; / 2 ）。 ⌝ （（ α= β= / 2 ）。 ; {CF（t; n）= {_ {1} F_ {1}（n / 2 、; n; jt / 2）} 、 urcorner（ alpha = beta = n / 2）;}

ベッセル関数に関しては、これは（（ ; ）。= Γ（（ / + 1 ）。/ 2 （（）。 / （（ / 2 ）。（（/ 2 ）。 ⌝ （（ > =− 1
）。 ; {CF（t; n）= { Gamma（n / 2 + 1）J_ {n / 2}（t）/（t / 2）^ {（n / 2）}} 、 urcorner（n > = -1）;}
=-1);}””>
PDFの生の瞬間は
μ′（（）。= ∫ −
1 + 1 NS（（ ; ）。 =（（ 1 + （（ −
1）。
NS）。 Γ （（ 1+/ 2 ）。
2π Γ（（（（ 2+ + ）。 2
）。 ; { mu’_ {N}（n）= int _ {-1} ^ {+ 1} x ^ {N} f_ {X}（x; n）dx = {（1 +（-1）
^ {N}） Gamma（1 + n / 2） over {2 { sqrt { pi}}} Gamma（（2 + n + N）/ 2）};}

中心モーメントは 0（（）。= 1
{ mu _ {0}（x）= 1}
1（（）。 = μ1 （（）。
{ mu _ {1}（n）= mu _ {1} ‘（n）}
2（（）。 = μ2 （（）。− μ 1 ′ 2（（）。
{ mu _ {2}（n）= mu _ {2} ‘（n）- mu _ {1}’ ^ {2}（n）}
3（（）。= 2 μ 1 ′ 3（（）。− 3
μ1 （（）。
μ2 （（）。 + μ3 （（）。
{ mu _ {3}（n）= 2 mu _ {1} ‘^ {3}（n）-3 mu _ {1}’（n） mu _ {2} ‘（n） + mu _ {3} ‘（n）}
4（（）。 = − 3 μ 1 ′ 4（（）。+ 6 μ 1 ′ 2（（）。
μ2 （（）。− 4
μ1 （（）。
μ3 （（）。 + μ4 （（）。
{ mu _ {4}（n）=-3 mu _ {1} ‘^ {4}（n）+6 mu _ {1}’ ^ {2}（n） mu _ {2 } ‘（n）-4 mu’ _ {1}（n） mu’_ {3}（n）+ mu ‘_ {4}（n）}

対応する確率モーメント（平均、分散、スキュー、尖度、および過剰尖度）は次のとおりです。 μ （（）。 = μ1 （（）。= 0
{ mu（x）= mu _ {1} ‘（x）= 0}
2（（）。 = μ2 （（）。− μ 2（（）。= 1 /（（ 2+ ）。
{ sigma ^ {2}（n）= mu _ {2} ‘（n）- mu ^ {2}（n）= 1 /（2 + n）}
1（（）。= μ 3
/ 2 3
/2 0
{ gamma _ {1}（n）= mu _ {3} / mu _ {2} ^ {3/2} = 0}
2（（）。= μ 4
/ 2 2 3（（ 2+ ）。 / （（ 4+ ）。
{ beta _ {2}（n）= mu _ {4} / mu _ {2} ^ {2} = 3（2 + n）/（4 + n）}
2（（）。= μ 4
/ 2 2 3= − 6 /（（ 4+ ）。
{ gamma _ {2}（n）= mu _ {4} / mu _ {2} ^ {2} -3 = -6 /（4 + n）}

特性関数の生のモーメントは次のとおりです。
μ′（（）。 = μ ; E ′（（）。 + μ ; O ′（（）。= ∫ −
1 + 1 o（（）。（（ ; ）。 +∫ −
1 + 1 私（（）。（（ ; ）。 ;
{ mu’_ {N}（n）= mu ‘_ {N; E}（n）+ mu’_ {N; O}（n）= int _ {-1} ^ {+ 1} cos ^ {N}（xt）f_ {X}（x; n）dx + int _ {-1} ^ {+ 1} sin ^ {N}（xt）f_ {X}（x; n）dx ;}

均等な分布の場合、モーメントはです。
μ1 （（ ; ： E ）。= （（ ; ）。
{ mu _ {1} ‘（t; n：E）= CF（t; n）}
1 （（ ; ： O ）。= 0
{ mu _ {1} ‘（t; n：O）= 0}
1 （（ ; ）。= （（ ; ）。
{ mu _ {1} ‘（t; n）= CF（t; n）}
2 （（ ; ： E ）。= 1 / 2（（ 1+ （（ 2 ; ）。）。 { mu _ {2} ‘（t; n：E）= 1/2（1 + CF（2t; n））}
2 （（ ; ： O ）。= 1 / 2（（ 1
− （（ 2 ; ）。）。 { mu _ {2} ‘（t; n：O）= 1/2（1-CF（2t; n））}
2 （（ ; ）。= 1
{ mu’_ {2}（t; n）= 1}
3 （（ ; ： E ）。 = （（（（ 3 ）。 + 3 （（ ; ）。
）。/ 4
{ mu _ {3} ‘（t; n：E）=（CF（3t）+ 3CF（t; n））/ 4}
3 （（ ; ： O ）。= 0
{ mu _ {3} ‘（t; n：O）= 0}
3 （（ ; ）。 = （（（（ 3 ; ）。 + 3 （（ ; ）。
）。/ 4
{ mu _ {3} ‘（t; n）=（CF（3t; n）+ 3CF（t; n））/ 4}
4 （（ ; ： E ）。 = （（ 3 + 4 （（ 2 ; ）。+ （（ 4 ; ）。
）。/ 8
{ mu _ {4} ‘（t; n：E）=（3 + 4CF（2t; n）+ CF（4t; n））/ 8}
4 （（ ; ： O ）。 = （（ 3 − 4 （（ 2 ; ）。+ （（ 4 ; ）。
）。/ 8
{ mu _ {4} ‘（t; n：O）=（3-4CF（2t; n）+ CF（4t; n））/ 8}
4 （（ ; ）。 = （（ 3+ （（ 4 ; ）。
）。/ 4
{ mu _ {4} ‘（t; n）=（3 + CF（4t; n））/ 4}

したがって、CFのモーメント（N = 1の場合）は次のようになります。 μ （（ ; ）。 = μ1 （（）。= （（ ; ）。= 0 1（（ 2+ 2 −2
4）。
{ mu（t; n）= mu _ {1} ‘（t）= CF（t; n）= _ {0} F_ {1}（{2 + n over 2}、-{t ^ {2} over 4}）}
2（（ ; ）。= 1 −
| （（ ; ）。
|2 1− | 0 1（（ 2+ 2 − 2/ 4
）。| 2
{ sigma ^ {2}（t; n）= 1- | CF（t; n）| ^ {2} = 1- | _ {0} F_ {1}（{2 + n over 2} 、-t ^ {2} / 4）| ^ {2}}
1（（）。= μ 3
μ2 / 2 = 0 1（（ 2+ 2 − 9 2 4）。
− 0 1 （（ 2+ 2 − 2
4）。+ 8 | 0 1（（ 2+ 2 − 2
4）。
|3 4（（ 1− | 0 1（（ 2+ 2 − 2
4）。）。2 （（ 3/ 2 ）。 { gamma _ {1}（n）= { mu _ {3} over mu _ {2} ^ {3/2}} = {_ {0} F_ {1}（{2 + n over 2}、-9 {t ^ {2} over 4}）-_ {0} F_ {1}（{2 + n over 2}、-{t ^ {2} over 4}）+ 8 | _ {0} F_ {1}（{2 + n over 2}、-{t ^ {2} over 4}）| ^ {3} over 4（1- | _ {0} F_ { 1}（{2 + n over 2}、-{t ^ {2} over 4}））^ {2} | ^ {（3/2）}}}
2（（）。= μ 4
μ2 =3 0 1 （（ 2+ 2 −
4 2）。 − （（4 0 1 （（ 2+ 2 − 2
4）。（（ 0 1（（ 2+ 2 − 9 2 4）。
）。 + 3 0 1 （（ 2+ 2 − 2
4）。（（ −1 + | 0 1（（ 2+ 2 − 24
2）。
）。 4 （（ −1 + | 0 1（（ 2+ 2 − 2
4）。）。2 2
{ beta _ {2}（n）= { mu _ {4} over mu _ {2} ^ {2}} = {3 + _ {0} F_ {1}（{2 + n over 2}、-4t ^ {2}）-（4_ {0} F_ {1}（{2 + n over 2}、-{t ^ {2} over 4}）（_ {0} F_ {1}（{2 + n over 2}、-9 {t ^ {2} over 4}））+ 3_ {0} F_ {1}（{2 + n over 2}、-{t ^ {2} over 4}）（-1 + | _ {0} F_ {1}（{2 + n over 2}、-{t ^ {2} over 4} | ^ {2}）） over 4（-1+ | _ {0} F_ {1}（{2 + n over 2}、-{t ^ {2} over 4}））^ {2} | ^ {2}}}
2（（）。= μ 4
/ 2 2 3 = −9 0 1 （（ 2+ 2 −
4 2）。 − （（4 0 1 （（ 2+ 2 − 2/ 4 ）。（（ 0 1（（ 2+ 2 − 9 2 4）。
）。− 9 0 1（（ 2+ 2 − 2
4）。+ 6 | 0 1（（ 2+ 2 − 24
3）。 4 （（ −1 + | 0 1（（ 2+ 2 − 2
4）。）。2 2
{ gamma _ {2}（n）= mu _ {4} / mu _ {2} ^ {2} -3 = {-9 + _ {0} F_ {1}（{2 + n over 2}、-4t ^ {2}）-（4_ {0} F_ {1}（{2 + n over 2}、-t ^ {2} / 4）（_ {0} F_ {1} （{2 + n over 2}、-9 {t ^ {2} over 4}））-9_ {0} F_ {1}（{2 + n over 2}、-{t ^ {2} over 4}）+ 6 | _ {0} F_ {1}（{2 + n over 2}、-{t ^ {2} over 4} | ^ {3}） over 4（-1+ | _ {0} F_ {1}（{2 + n over 2}、-{t ^ {2} over 4}））^ {2} | ^ {2}}}

スキューと尖度は、ベッセル関数の観点からも簡略化できます。
エントロピーは次のように計算されます（（）。= ∫ −
1 + 1（（ ; ）。 ln （（ NS（（ ; ）。
）。 {H_ {N}（n）= int _ {-1} ^ {+ 1} f_ {X}（x; n） ln（f_ {X}（x; n））dx}

最初の5つの瞬間（n = -1から3）、R = 1は次のようになります。− ln（（ 2/ π ）。 ; =− 1
{- ln（2 / pi）; n = -1}
− ln（（ 2 ）。 ; = 0 {- ln（2）; n = 0}
− 1 / 2 + ln（（ π ）。 ; = 1 { -1/2 + ln（ pi）; n = 1}
5 / 3 − ln（（ 3 ）。 ; = 2 { 5 / 3- ln（3）; n = 2}
− 7 / 4 − ln（（ 1/ 3 π ）。 ; = 3 { -7 / 4- ln（1/3 pi）; n = 3}

奇数対称が適用されたN球ウィグナー分布
対称性が奇数の周辺PDF分布はです。（（ ; ）。 = （（ 1
− 2 ）。（（ − 1 ）。/ 2
）。 Γ （（ 1+/ 2 ）。π Γ（（（（ + 1 ）。 2
）。 sgn （（）。 ; {f {_ {X}}（x; n）= {（1-x ^ {2}）^ {（n-1）/ 2）} Gamma（1 + n / 2） over { sqrt { pi}} Gamma（（n + 1）/ 2）} operatorname {sgn}（x）、;}

R = 1となるように
したがって、CFはStruve関数で表されます。（（ ; ）。= Γ（（ / + 1 ）。/ 2 （（）。 / （（ / 2 ）。（（/ 2 ）。 ⌝ （（ > =− 1
）。 ; {CF（t; n）= { Gamma（n / 2 + 1）H_ {n / 2}（t）/（t / 2）^ {（n / 2）}} 、 urcorner（n > = -1）;}
=-1);}””>
「Struve関数は、無限のバッフルに取り付けられたリジッドピストンラジエーターの問題で発生します。このラジエーターの放射インピーダンスは次の式で与えられます」Z =
ρ π 2
[ 1（（ 2
k ）。− I 1（（ 2
k ）。
] {Z = { rho c pi a ^ {2} [R_ {1}（2ka）-iX_ {1}（2ka）]、}}
1 1− 2 1（（）。
2 、
{R_ {1} = {1- {2J_ {1}（x） over 2x}、}}
1 = 2 1（（） {X_ {1} = {{2H_ {1}（x） over x}、}}

参考文献
^ ブキャナン、クリストファー; フローレス、カルロス; ウィーランド、サラ; ジェンセン、ジェフリー; グレイソン、デビッド; ハフ、グレゴリー（2017）。「円形テーパーランダムアレイを使用したレーダーアプリケーション用の送信ビームフォーミング」。2017 IEEEレーダー会議（レーダー会議）。pp。0112–0117。土井：10.1109 /RADAR.2017.7944181。ISBN 978-1-4673-8823-8。S2CID 38429370。
^ https://oaktrust.library.tamu.edu/handle/1969.1/157918 ^ オーバーターフ、ドリュー; ブキャナン、クリストファー; ジェンセン、ジェフリー; ウィーランド、サラ; ハフ、グレゴリー（2017）。「体積分布フェーズドアレイからのビームフォーミングパターンの調査」。MILCOM 2017-2017 IEEE軍事通信会議（MILCOM）。pp。817–822。土井：10.1109 /MILCOM.2017.8170756。ISBN
978-1-5386-0595-0。S2CID 11591305。 https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/8170756/ ^ Buchanan、K。; グレゴリー・ハフ。「ユークリッド空間における幾何学的に束縛されたランダム配列の比較」。2011 IEEE International Symposium on Antennas and Propagation（APSURSI）：2008–2011。土井：10.1109 /APS.2011.5996900。ISBN 978-1-4244-9563-4。S2CID 10446533。
^ トーマスM.カバー（1963年）。「ランダムアレイからのアンテナパターン分布」（PDF）（MEMORANDUM RM-3502–PR）。サンタモニカ：ランド研究所。
^ W.、ワイスタイン、エリック。「ストルーブ機能」。mathworld.wolfram.com 。
^ 「分散およびマルチビームネットワーク用の高度なビームフォーミング」（PDF）。
ミルトン・アブラモウィッツとアイリーン・A・ステガン編式、グラフ、および数学表を使用した数学関数のハンドブック。ニューヨーク：ドーバー、1972年。

外部リンク
エリック・W・ワイスタイン他、ウィグナー半円”

admin