Y-Δ変換 – 日本語百科事典辞書

Y-Δ_transform

は数学的手法についてです。中性線のない三相電力を中性線のある三相電力に変換する装置については、デルタY変圧器を参照してください
。統計力学への応用については、ヤン・バクスター方程式を参照してください
。デルタ航空の地域航空会社のブランド名については、デルタコネクションを参照してください
Y-Δ変換、また、書き込まれたYデルタ多くの他の名称で知られており、また、分析簡略化する数学的な技術である電気ネットワーク。この名前は、それぞれ文字Yとギリシャ語の大文字Δのように見える回路図の形状に由来しています。この回路変換理論は、1899年にアーサーエドウィンケネリーによって発表されました。三相電力回路の分析に広く使用されています。
Y-Δ変換は、3つの抵抗器のスターメッシュ変換の特殊なケースと見なすことができます。数学では、Y-Δ変換は円形平面グラフの理論で重要な役割を果たします。

コンテンツ
1 名前
2 基本的なY-Δ変換
2.1 ΔからYへの変換の方程式 2.2 YからΔへの変換の方程式
3 変革の存在と独自性の証明
4 ネットワークの簡素化
5 グラフ理論
6 デモンストレーション
6.1 Δ負荷からY負荷への変換方程式 6.2 Y荷重からΔ荷重への変換方程式
7 実用的な発電機のΔからYへの変換
8 も参照してください
9 参考文献
10 ノート
11 参考文献
12 外部リンク

名前

T-Π表現での変換の図。
Y-Δ変換いずれの順序で列挙された主に関与する2つの形状に基づいて他の名称、種々の知られています。Yとして綴ら、ワイは、とも呼ばれることができるTまたは星。Δとして綴ら、デルタとも呼ばれることができる三角形、Π（AS綴らPI）、又はメッシュ。したがって、変換の一般名には、YデルタまたはデルタY、スターデルタ、スターメッシュ、またはT-Πが含まれます。

基本的なY-Δ変換

で使用されているラベルが付いたΔおよびY回路。
変換は、3つの端末を持つネットワークの同等性を確立するために使用されます。3つの要素が共通のノードで終了し、どれもソースではない場合、インピーダンスを変換することによってノードが削除されます。同等にするために、端子の任意のペア間のインピーダンスは、両方のネットワークで同じである必要がここに示されている式は、実際のインピーダンスだけでなく複素インピーダンスにも有効です。

ΔからYへの変換の方程式
一般的な考え方は、インピーダンスを計算することです Y
{R _ { text {Y}}}

インピーダンスのあるY回路の端子ノードで ′
{R ‘}

、 ″
{R ”}

Δ回路内の隣接ノードへ Y= ′ ″
∑ Δ
{R _ { text {Y}} = { frac {R’R ”} { sum R _ { Delta}}}}
どこ Δ
{R _ { Delta}}

Δ回路のすべてのインピーダンスです。これにより、特定の式が生成されます 1=++2=++3=++{{ begin {aligned} R_ {1}＆= { frac {R _ { text {b}} R _ { text {c}}} {R _ { text {a}} + R _ { text {b}} + R _ { text {c}}}} \ R_ {2}＆= { frac {R _ { text {a}} R _ { text {c}}} {R_ { text {a}} + R _ { text {b}} + R _ { text {c}}}} \ R_ {3}＆= { frac {R _ { text {a}} R_ { text {b}}} {R _ { text {a}} + R _ { text {b}} + R _ { text {c}}}} end {aligned}}}

YからΔへの変換の方程式
一般的な考え方は、インピーダンスを計算することです Δ
{R _ { Delta}}

Δ回路で Δ=反対
{R _ { Delta} = { frac {R_ {P}} {R _ { text {opposite}}}}}
どこ= 1 2+ 2 3+ 3 1
{R_ {P} = R_ {1} R_ {2} + R_ {2} R_ {3} + R_ {3} R_ {1}}

Y回路のインピーダンスのすべてのペアの積の合計であり、反対
{R _ { text {opposite}}}

は、エッジの反対側にあるY回路のノードのインピーダンスです。 Δ
{R _ { Delta}}

。したがって、個々のエッジの式は次のようになります。 =12 +23 +31 1 =12 +23 +31 2 =12 +23 +31 3
{{ begin {aligned} R _ { text {a}}＆= { frac {R_ {1} R_ {2} + R_ {2} R_ {3} + R_ {3} R_ {1}} {R_ {1}}} \ R _ { text {b}}＆= { frac {R_ {1} R_ {2} + R_ {2} R_ {3} + R_ {3} R_ { 1}} {R_ {2}}} \ R _ { text {c}}＆= { frac {R_ {1} R_ {2} + R_ {2} R_ {3} + R_ {3 } R_ {1}} {R_ {3}}} end {aligned}}}
または、抵抗の代わりにアドミタンスを使用する場合：
Y = Y 3 Y 2
∑
Y = Y 3 Y 1
∑
Y = Y 1 Y 2
∑
{{ begin {aligned} Y _ { text {a}}＆= { frac {Y_ {3} Y_ {2}} { sum Y _ { text {Y}}}} \ Y _ { text {b}}＆= { frac {Y_ {3} Y_ {1}} { sum Y _ { text {Y}}}} \ Y _ { text {c}}＆ = { frac {Y_ {1} Y_ {2}} { sum Y _ { text {Y}}}} end {aligned}}}
アドミタンスを使用したYからΔの一般式は、抵抗を使用したΔからYに類似していることに注意して

変革の存在と独自性の証明
変換の実現可能性は、電気回路の重ね合わせの原理の結果として示すことができます。より一般的なスターメッシュ変換の結果として導き出されたものではなく、短い証明を次のように与えることができます。同等性は、任意の外部電圧に対して（ V1 V 2
{V_ {1}、V_ {2}}

と 3
{V_ {3}}

）3つのノードで適用（ 1 、 2 {N_ {1}、N_ {2}}

と 3
{N_ {3}}

）、対応する電流（私
1 私 2 {I_ {1}、I_ {2}}

と 3
{I_ {3}}

）はY回路とΔ回路の両方でまったく同じであり、その逆も同様です。この証明では、ノードで与えられた外部電流から始めます。重ね合わせの原理によれば、電圧は、電流が流れる3つのノードに適用される次の3つの問題のノードで得られる電圧の重ね合わせを調べることによって取得できます。1 3（（私1 I 2
）。 −1 3（（私1 I 2
）。 0
{{ frac {1} {3}} left（I_ {1} -I_ {2} right）、-{ frac {1} {3}} left（I_ {1} -I_ { 2} right）、0}

0 1 3（（私2 I 3
）。 −1 3（（私2 I 3 ）。 {0、{ frac {1} {3}} left（I_ {2} -I_ {3} right）、-{ frac {1} {3}} left（I_ {2}- I_ {3} right）}

と
−1 3（（私3 I 1
）。 0 1 3 （（私3 I 1 ）。 { displaystyle-{ frac {1} {3}} left（I_ {3} -I_ {1} right）、0、{ frac {1} {3}} left（I_ {3}- I_ {1} right）}
同等性は、キルヒホッフの回路法則を使用して簡単に示すことができます。私1 私2
私3 0
{I_ {1} + I_ {2} + I_ {3} = 0}

。現在、各問題は、単一の理想的な電流源のみを含むため、比較的単純です。各問題のノードでまったく同じ結果電圧を得るには、2つの回路の等価抵抗が同じである必要がこれは、直列回路と並列回路の基本規則を使用して簡単に見つけることができます。 3+ 1 = （（ NS+ ）。+ + 、 3 1= NS。
{R_ {3} + R_ {1} = { frac { left（R _ { text {c}} + R _ { text {a}} right）R _ { text {b}}} { R _ { text {a}} + R _ { text {b}} + R _ { text {c}}}}、 quad { frac {R_ {3}} {R_ {1}}} = { frac {R _ { text {a}}} {R _ { text {c}}}}。}
通常、3つの変数を表現するには6つの方程式で十分ですが（ 1 2 3
{R_ {1}、R_ {2}、R_ {3}}

）他の3つの変数に関して（ NS、、 {R _ { text {a}}、R _ { text {b}}、R _ { text {c}}}

）、ここでは、これらの方程式が実際に上記の設計された式につながることを示すのは簡単です。
実際、重ね合わせの定理は抵抗の値の間の関係を確立し、一意性の定理はそのような解の一意性を保証します。

ネットワークの簡素化
2つの端子間の抵抗ネットワークは、理論的には1つの等価抵抗に簡略化できます（より一般的には、インピーダンスについても同じことが言えます）。直列変換と並列変換はそうするための基本的なツールですが、ここに示されているブリッジのような複雑なネットワークの場合、それらは十分ではありません。
示されているように、Y-Δ変換を使用して、一度に1つのノードを削除し、さらに単純化できるネットワークを作成できます。

Y-Δ変換を使用してノードDを除去するブリッジ抵抗ネットワークの変換により、さらに単純化できる同等のネットワークが得られます。
ノードを追加する逆変換Δ-Yは、さらに単純化するための道を開くのに役立つことがよく

Δ-Y変換を使用したブリッジ抵抗ネットワークの変換も、さらに簡単に簡単にできる同等のネットワークを生成します。
平面グラフで表されるすべての2端子ネットワークは、一連の直列、並列、Y-Δ、およびΔ-Y変換によって単一の等価抵抗に減らすことができます。ただし、トーラスに巻き付けられた通常の正方形グリッドやPetersenファミリーのメンバーなど、これらの変換を使用して単純化できない非平面ネットワークが

グラフ理論
で、グラフ理論、Y-Δは、Y置換手段変換サブグラフ等価Δのサブグラフを有するグラフです。変換では、グラフのエッジの数は保持されますが、頂点の数やサイクルの数は保持されません。2つのグラフは、いずれかの方向の一連のY-Δ変換によって一方が他方から取得できる場合、Y-Δ等価であると言われます。たとえば、PetersenファミリーはY-Δ同値類です。

デモンストレーション

Δ負荷からY負荷への変換方程式

で使用されているラベルが付いたΔおよびY回路。
関連付けて
{{、、}
{ left {R _ { text {a}}、R _ { text {b}}、R _ { text {c}} right }}

Δから{1 、2 、3 }
{ left {R_ {1}、R_ {2}、R_ {3} right }}

Yから、2つの対応するノード間のインピーダンスが比較されます。どちらの構成のインピーダンスも、ノードの1つが回路から切断されているかのように決定されます。
間のインピーダンスN 1とN 2とN 3 Δに切断。 Δ（（ 1
、 2 ）。 = ∥（（+ ）。= 1
1 + 1+ NS=（（+ ）。++{{ begin {aligned} R _ { Delta} left（N_ {1}、N_ {2} right）＆= R _ { text {c}} parallel（R _ { text {a}} + R _ { text {b}}）\ ＆= { frac {1} {{ frac {1} {R _ { text {c}}}} + { frac {1} {R_ { text {a}} + R _ { text {b}}}}}} \ ＆= { frac {R _ { text {c}} left（R _ { text {a}} + R _ { text {b}} right）} {R _ { text {a}} + R _ { text {b}} + R _ { text {c}}}} end {aligned}}}
簡単にするために、 {R _ { text {T}}}

の合計である
{{、、}
{ left {R _ { text {a}}、R _ { text {b}}、R _ { text {c}} right }}

。 = + + {R _ { text {T}} = R _ { text {a}} + R _ { text {b}} + R _ { text {c}}}
したがって、 Δ（（ 1、 2 ）。= （（+ ）。 {R _ { Delta} left（N_ {1}、N_ {2} right）= { frac {R _ { text {c}}（R _ { text {a}} + R _ { text {b}}）} {R _ { text {T}}}}}
Nとの間の対応するインピーダンス1及びN 2 Yには単純です。 Y（（ 1、 2 ）。 = 1+ 2
{R _ { text {Y}} left（N_ {1}、N_ {2} right）= R_ {1} + R_ {2}}
したがって： 1+ 2= （（+ ）。 {R_ {1} + R_ {2} = { frac {R _ { text {c}}（R _ { text {a}} + R _ { text {b}}）} {R _ { text {NS}}}}}

（1）
のために繰り返す（（ 2
、 3）。
{R（N_ {2}、N_ {3}）}

： 2+ 3= （（+ ）。 {R_ {2} + R_ {3} = { frac {R _ { text {a}}（R _ { text {b}} + R _ { text {c}}）} {R _ { text {NS}}}}}

（2）
とのために（（1 、3 ）。
{R left（N_ {1}、N_ {3} right）}

： 1+ 3= （（ NS+ ）。。
{R_ {1} + R_ {3} = { frac {R _ { text {b}} left（R _ { text {a}} + R _ { text {c}} right）} { R _ { text {T}}}}。}

（3）
ここから、の値{1 、2 、3 }
{ left {R_ {1}、R_ {2}、R_ {3} right }}

線形結合（加算および/または減算）によって決定できます。
たとえば、（1）と（3）を加算してから、（2）を減算すると、次のようになります。 1 + 2 + 1 + 3 − 2 − 3=（（+）。 +（（+）。 −（（+）。 ⇒ 1 =
2⇒ 1 =。 {{ begin {aligned} R_ {1} + R_ {2} + R_ {1} + R_ {3} -R_ {2} -R_ {3}＆= { frac {R _ { text {c }}（R _ { text {a}} + R _ { text {b}}）} {R _ { text {T}}}} + { frac {R _ { text {b}}（R _ { text {a}} + R _ { text {c}}）} {R _ { text {T}}}}-{ frac {R _ { text {a}}（R _ { text {b}} + R _ { text {c}}）} {R _ { text {T}}}} \ {} Rightarrow 2R_ {1}＆= { frac {2R _ { text {b}} R_ { text {c}}} {R _ { text {T}}}} \ {} Rightarrow R_ {1}＆= { frac {R _ { text {b}} R _ { text { c}}} {R _ { text {T}}}}。 end {aligned}}}
完全を期すために： 1= {R_ {1} = { frac {R _ { text {b}} R _ { text {c}}} {R _ { text {T}}}}}

（4） 2= {R_ {2} = { frac {R _ { text {a}} R _ { text {c}}} {R _ { text {T}}}}}

（5） 3= {R_ {3} = { frac {R _ { text {a}} R _ { text {b}}} {R _ { text {T}}}}}

（6）

Y荷重からΔ荷重への変換方程式
させて = + + {R _ { text {T}} = R _ { text {a}} + R _ { text {b}} + R _ { text {c}}}

。
ΔからYへの方程式は次のように書くことができます。 1= {R_ {1} = { frac {R _ { text {b}} R _ { text {c}}} {R _ { text {T}}}}}

（1） 2= {R_ {2} = { frac {R _ { text {a}} R _ { text {c}}} {R _ { text {T}}}}}

（2） 3 =。 {R_ {3} = { frac {R _ { text {a}} R _ { text {b}}} {R _ { text {T}}}}。}

（3）
方程式のペアを乗算すると、次のようになります。 1 2= 2 2
{R_ {1} R_ {2} = { frac {R _ { text {a}} R _ { text {b}} R _ { text {c}} ^ {2}} {R _ { text {T}} ^ {2}}}}

（4） 1 3 =22 {R_ {1} R_ {3} = { frac {R _ { text {a}} R _ { text {b}} ^ {2} R _ { text {c}}} {R _ { text {T}} ^ {2}}}}

（5） 2 3= 2 2
{R_ {2} R_ {3} = { frac {R _ { text {a}} ^ {2} R _ { text {b}} R _ { text {c}}} {R _ { text {T}} ^ {2}}}}

（6）
これらの方程式の合計は次のとおりです。 1 2+ 1 3+ 2 3= 2+2 + 2 2
{R_ {1} R_ {2} + R_ {1} R_ {3} + R_ {2} R_ {3} = { frac {R _ { text {a}} R _ { text {b}} R _ { text {c}} ^ {2} + R _ { text {a}} R _ { text {b}} ^ {2} R _ { text {c}} + R _ { text {a}} ^ {2} R _ { text {b}} R _ { text {c}}} {R _ { text {T}} ^ {2}}}}

（7）
要素 {R _ { text {a}} R _ { text {b}} R _ { text {c}}}

右側から、 {R _ { text {T}}}

分子内で、 {R _ { text {T}}}

分母に。 1 2+ 1 3+ 2 3 = （（）。（（+ + ）。 2=NS {{ begin {aligned} R_ {1} R_ {2} + R_ {1} R_ {3} + R_ {2} R_ {3}＆= {} { frac { left（R _ { text {a}} R _ { text {b}} R _ { text {c}} right） left（R _ { text {a}} + R _ { text {b}} + R _ { text {c }} right）} {R _ { text {T}} ^ {2}}} \＆= {} { frac {R _ { text {a}} R _ { text {b}} R _ { text {c}}} {R _ { text {T}}}} end {aligned}}}

（8）（8）と{（1）、（2）、（3）}の類似性に注意してください（8）を（1）で割る12 +13 +23 1 = NS= 、
{{ begin {aligned} { frac {R_ {1} R_ {2} + R_ {1} R_ {3} + R_ {2} R_ {3}} {R_ {1}}}＆= { } { frac {R _ { text {a}} R _ { text {b}} R _ { text {c}}} {R _ { text {T}}}} { frac {R _ { text { T}}} {R _ { text {b}} R _ { text {c}}}} \＆= {} R _ { text {a}}、 end {aligned}}}
これはの方程式です {R _ { text {a}}}

。（8）を（2）または（3）で割る（の式 2
{R_ {2}}

また 3
{R_ {3}}

）残りの方程式を与えます。

実用的な発電機のΔからYへの変換
平衡三相電力システムの分析中、通常、その単純さのために、代わりに同等の相ごと（または単相）回路が分析されます。そのために、同等のY接続が、発電機、変圧器、負荷、およびモーターに使用されます。次の図に示す、実用的なデルタ接続された三相発電機の固定子巻線は、次の6つの式を使用して同等のY接続された発電機に変換できます。

デルタ/トライアングル/パイで接続された実用的な発電機。示されている量は、フェーザ電圧と複素インピーダンスです。画像をクリックすると拡大します。Z s1Y = Z 1 Z
s3Z 1 + Z 2 +
Z3 s2Y = Z 1 Z 2
Z1 + Z 2 + Z3
s3Y= Z 2 Z 3 Z
s1+ Z 2 + Z3 s1Y = （（Vs1 Z s1 − V s3Z s3
）。Z s1Y V s2Y =（（Vs2 Z s2 − V s1Z s1
）。Z s2Y V s3Y =（（Vs3 Z s3 − V s2Z s2
）。Z s3Y
{{ begin {aligned}＆Z _ { text {s1Y}} = { dfrac {Z _ { text {s1}} 、Z _ { text {s3}}} {Z _ { text {s1}} + Z _ { text {s2}} + Z _ { text {s3}}}} \ ＆Z _ { text {s2Y}} = { dfrac {Z _ { text {s1}} 、Z_ { text {s2}}} {Z _ { text {s1}} + Z _ { text {s2}} + Z _ { text {s3}}}} \ ＆Z _ { text {s3Y}} = { dfrac {Z _ { text {s2}} 、Z _ { text {s3}}} {Z _ { text {s1}} + Z _ { text {s2}} + Z _ { text {s3}} }} \ ＆V _ { text {s1Y}} = left（{ dfrac {V _ { text {s1}}} {Z _ { text {s1}}}}-{ dfrac {V_ { text {s3}}} {Z _ { text {s3}}}} right）Z _ { text {s1Y}} \ ＆V _ { text {s2Y}} = left（{ dfrac { V _ { text {s2}}} {Z _ { text {s2}}}}-{ dfrac {V _ { text {s1}}} {Z _ { text {s1}}}} right）Z_ { text {s2Y}} \ ＆V _ { text {s3Y}} = left（{ dfrac {V _ { text {s3}}} {Z _ { text {s3}}}}-{ dfrac {V _ { text {s2}}} {Z _ { text {s2}}}} right）Z _ { text {s3Y}} end {aligned}}}

結果のネットワークは次のとおりです。同等のネットワークのニュートラルノードは架空のものであり、ラインからニュートラルへのフェーザ電圧も架空のものです。変換中、ラインフェーザ電流とライン（またはライン間またはフェーズ間）フェーザ電圧は変更されません。

Y型/スター型/ T型で接続された同等の実用的な発電機。画像をクリックすると拡大します。
実際のデルタジェネレータのバランスが取れている場合、つまり内部フェーザ電圧が同じ大きさで、互いに120°位相シフトされており、3つの複素インピーダンスが同じである場合、前の式は次の4つになります。Z sY = Z 3
Vs1Y = V s1 3 ∠
±±0 s2Y = V s2 3 ∠
±±0 s3Y = V s3 3 ∠
±±0
{{ begin {aligned}＆Z _ { text {sY}} = { dfrac {Z _ { text {s}}} {3}} \＆V _ { text {s1Y}} = { dfrac { V _ { text {s1}}} {{ sqrt {3}} 、 angle pm 30 ^ { circ}}} \ ＆V _ { text {s2Y}} = { dfrac {V_ { text {s2}}} {{ sqrt {3}} 、 angle pm 30 ^ { circ}}} \ ＆V _ { text {s3Y}} = { dfrac {V_ { text {s3}}} {{ sqrt {3}} 、 angle pm 30 ^ { circ}}} end {aligned}}}
${ {begin{aligned}&Z_{text{sY}}={dfrac {Z_{text{s}}}{3}}\&V_{text{s1Y}}={dfrac {V_{text{s1}}}{{sqrt {3}}，angle pm 30^{circ }}}\&V_{text{s2Y}}={dfrac {V_{text{s2}}}{{sqrt {3}}，angle pm 30^{circ }}}\&V_{text{s3Y}}={dfrac {V_{text{s3}}}{{sqrt {3}}，angle pm 30^{circ }}}end{aligned}}}$
ここで、最後の3つの式では、位相シーケンスが正/ abcの場合は最初の符号（+）が使用され、位相シーケンスが負/ acbの場合は2番目の符号（-）が使用されます。

も参照してください
スターメッシュ変換
ネットワーク解析（電気回路）
電気ネットワーク、三相電力、YおよびΔ接続の例のための多相システム
Y-Δ始動技術の議論のためのACモーター

参考文献
^ ケネリー、AE（1899）。「伝導ネットワークにおける三角形と3つの尖った星の同等性」。電気の世界とエンジニア。34：413–414。
^ カーティス、EB; インガーマン、D。; モロー、JA（1998）。「円形平面グラフと抵抗ネットワーク」。線形代数とその応用。283（1–3）：115–150。土井：10.1016 / S0024-3795（98）10087-3。
^ Truemper、K。（1989）。「平面グラフのデルタY変換について」。グラフ理論ジャーナル。13（2）：141–148。土井：10.1002 /jgt.3190130202。

ノート 1. ^デモについては、トークページをお読み

参考文献
William Stevenson、Elements of Power System Analysis 3rd ed。、McGraw Hill、New York、1975、
ISBN 0-07-061285-4

外部リンク
スタートライアングル変換：抵抗ネットワークと抵抗に関する知識
スタートライアングル変換の計算機”