Z-transform
統計の標準zスコアについては、標準スコアを参照してください
。統計におけるフィッシャーのz変換については、フィッシャー変換を参照してください 数学および信号処理、Zは、変換変換を離散時間信号であり、配列の実数または複素数を複雑に、周波数領域の表現。
これは、ラプラス変換と同等の離散時間と見なすことができます。この類似性は、時間尺度微積分の理論で探求されます。
コンテンツ
1 歴史
2 意味
2.1 二国間Z変換 2.2 片側Z変換
3 逆Z変換
4 収束領域
4.1 例1（ROCなし） 4.2 例2（因果ROC） 4.3 例3（非因果的ROC） 4.4 結論の例
5 プロパティ
6 一般的なZ変換ペアの表
7 フーリエ級数とフーリエ変換との関係
8 ラプラス変換との関係
8.1 双一次変換 8.2 スター付きトランスフォーム
9 線形定数係数差方程式
9.1 伝達関数 9.2 零点と極 9.3 出力応答
10 も参照してください
11 参考文献
12 参考文献
13 外部リンク
歴史
現在Z変換として知られている基本的な考え方はラプラスに知られており、レーダーで使用されるサンプルデータ制御システムを処理する方法として、1947年にW. Hurewicz などによって再導入されました。これは、線形の一定係数の差分方程式を解くための扱いやすい方法を提供します。その後、1952年にコロンビア大学のサンプルデータ対照群でRagazziniとZadehによって「z変換」と呼ばれました。
修正または高度なZ変換は、後にEI Juryによって開発され、普及しました。
Z変換に含まれるアイデアは、確率論と組み合わせてde Moivreによって導入された1730年にさかのぼることができる関数を生成する方法として、数学の文献でも知られています。数学的な観点から、Z変換は、検討中の数のシーケンスを分析関数の（ローラン）展開と見なすローラン級数と見なすこともできます。
意味
いずれかとしてZ変換を定義することができる片面又は両面変換します。
二国間Z変換
離散時間信号の両側または両側のZ変換
{x }
ある正式なパワーシリーズは、 （（ z ）。 {X（z）}
として定義 （（ z
）。= Z
{{ } =
∑ =− ∞
∞ z − {X（z）= { mathcal {Z}} {x } = sum _ {n =- infty} ^ { infty} x z ^ {-n}}
（Eq.1）
どこ {n}
は整数であり、 z {z}
一般に、複素数です： z = e ϕ= ⋅（（ cosϕ +sin ϕ ）。 {z = Ae ^ {j phi} = A cdot（ cos { phi} + j sin { phi}）}
どこ {A}
の大きさです z {z}
、 {j}
は虚数単位であり、 ϕ { phi}
ラジアン単位の複素数の偏角（角度または位相とも呼ばれます）です。
片側Z変換
または、
{x }
に対してのみ定義されます ≥ 0 {n geq 0}
、片側または片側のZ変換は次のように定義されます。 （（ z
）。= Z
{{ } =
∑ = 0 ∞ z − 。
{X（z）= { mathcal {Z}} {x } = sum _ {n = 0} ^ { infty} x z ^ {-n}。}
（Eq.2）
で信号処理、この定義は、z変換を評価するために使用することができる単位インパルス応答の離散時間の因果システム。
片側Z変換の重要な例は、確率母関数です。ここで、コンポーネントは
{x }
離散確率変数が値をとる確率です {n}
、および関数 （（ z ）。 {X（z）}
通常、次のように記述されます （（ ）。
{X（s）}
の面では =z − 1 {s = z ^ {-1}}
。Z変換のプロパティ（以下）は、確率論のコンテキストで有用な解釈が
逆Z変換
逆z変換であります = Z − 1
{{ （（ z
）。 } =1
π ∮ （（ z ）。 z − 1 z {x = { mathcal {Z}} ^ {-1} {X（z）} = { frac {1} {2 pi j}} oint _ {C} X（ z）z ^ {n-1} dz}
（Eq.3）
ここで、Cは、原点を取り囲み、完全に収束領域（ROC）にある反時計回りの閉じたパスです。ROCが因果関係にある場合（例2を参照）、これはパスCがのすべての極を取り囲む必要があることを意味します。 （（ z ）。 {X（z）}
。
この周回積分の特殊なケースは、Cが単位円の場合に発生します。この輪郭は、ROCに単位円が含まれている場合に使用できます。これは、次の場合に常に保証されます。 （（ z ）。 {X（z）}
は安定しています。つまり、すべての極が単位円の内側にあるときです。この輪郭を使用すると、逆Z変換は、単位円の周りのZ変換の周期値の逆離散時間フーリエ変換またはフーリエ級数に単純化されます。 =1 π ∫
− π +
π （（ e ω ）。 e ω ω {x = { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ {+ pi} X（e ^ {j omega}）e ^ {j omega n} d omega。}
有限範囲のnと有限数の等間隔のz値を持つZ変換は、BluesteinのFFTアルゴリズムを介して効率的に計算できます。離散時間フーリエ変換（DTFT）は、と混同し-not離散フーリエ変換（DFT）を、このようなZ変換制限することによって得られる特別な場合-is Zを単位円上に位置するようにします。
収束領域
収束領域（ROC）が加算収束をz変換れる複素平面内の点の集合です。 O=
{{z ： | ∑ =− ∞ z
− |< ∞ } { mathrm {ROC} = left {z： left | sum _ {n =- infty} ^ { infty} x z ^ {-n} right | < infty 右}}
例1（ROCなし）
ましょX =（0.5）N。区間（-∞、∞）でx を展開すると、次のようになります。 = {{
⋯0.5− 0.5 − 0.5 −
1 1 0.50.5 20.5 3 ⋯
{{⋯2 32
2 2 1 0.50.5 20.5 3 ⋯
} {x = left { cdots、0.5 ^ {-3}、0.5 ^ {-2}、0.5 ^ {-1}、1，0.5，0.5 ^ {2}、0.5 ^ {3 }、 cdots right } = left { cdots、2 ^ {3}、2 ^ {2}、2，1，0.5，0.5 ^ {2}、0.5 ^ {3}、 cdots right }。}
合計を見て
∑ =− ∞ z
−
∞ { sum _ {n =- infty} ^ { infty} x z ^ {-n} to infty。}
したがって、この条件を満たすzの値はありません。
例2（因果ROC）
青で示されているROC、灰色の点線の円としての単位円、および円|
z | = 0.5は黒い破線の円として表示されます
させて = 0.5u
{x = 0.5 ^ {n} u }
（ここで、uはヘヴィサイドの階段関数です）。区間（-∞、∞）でx を展開すると、次のようになります。 = {{
⋯ 0 0 0 1 0.50.5 20.5 3 ⋯
} {x = left { cdots、0，0，0，1，0.5，0.5 ^ {2}、0.5 ^ {3}、 cdots right }。}
合計を見て
∑ =− ∞ z
− =
∑ =0 ∞ .5 z − =
∑ =0 ∞（（ 0.5
z）。 =1 − 0.5 z −
1 { sum _ {n =- infty} ^ { infty} x z ^ {-n} = sum _ {n = 0} ^ { infty} 0.5 ^ {n} z ^ { -n} = sum _ {n = 0} ^ { infty} left（{ frac {0.5} {z}} right）^ {n} = { frac {1} {1-0.5z ^ {-1}}}。}
最後の等式は無限の等比数列から生じ、等比は| 0.5 z -1 |の場合にのみ成り立ちます。<1これはzに関して次のように書き換えることができます| z | > 0.5。したがって、ROCは| z | > 0.5。この場合、ROCは、原点に半径0.5のディスクが「打ち抜かれた」複素平面です。
例3（非因果的ROC）
青で示されているROC、灰色の点線の円としての単位円、および円|
z | = 0.5は黒い破線の円として表示されます
させて = −（（ 0.5 ）。u [ − −1 ]
{x =-（0.5）^ {n} u }
（ここで、uはヘヴィサイドの階段関数です）。区間（-∞、∞）でx を展開すると、次のようになります。 = {{
⋯ −（（ 0.5）。 − 3 −（（ 0.5）。 − 2 −（（ 0.5）。 − 1 0 0 0 0 ⋯
} {x = left { cdots、-（0.5）^ {-3}、-（0.5）^ {-2}、-（0.5）^ {-1}、0，0，0 、0、 cdots right }。}
合計を見て
∑ =− ∞ z
− = − ∑ = − ∞ 1
0.5 z
− = − ∑ =1 ∞（（ z
0.5）。 =− 0.5 − 1 z
1− 0.5 − 1 z = − 1 .5 −0 −1 −2 −3 1 =1 − 0.5 z −
1 { sum _ {n =- infty} ^ { infty} x z ^ {-n} =- sum _ {n =- infty} ^ {-1} 0.5 ^ {n} z ^ {-n} =- sum _ {m = 1} ^ { infty} left（{ frac {z} {0.5}} right）^ {m} =-{ frac {0.5 ^ { -1} z} {1-0.5 ^ {-1} z}} =-{ frac {1} {0.5z ^ {-1} -1}} = { frac {1} {1-0.5z ^ {-1}}}。}
無限の等比数列を使用すると、ここでも、| 0.5 -1 z |の場合にのみ等式が成り立ちます。<1これはzに関して次のように書き換えることができます| z | <0.5。したがって、ROCは| z | <0.5。この場合、ROCは原点を中心とし、半径0.5のディスクです。
この例と前の例との違いは、ROCだけです。これは、変換結果だけでは不十分であることを示すためのものです。
結論の例
例2と3は、x のZ変換X（z）が、ROCを指定する場合にのみ一意であることを明確に示しています。因果関係と非因果関係の場合の極-零点プロットを作成すると、どちらの場合のROCにも0.5の極が含まれていないことがわかります。これは、複数の極がある場合にも当てはまります。ROCに極が含まれることはありません。
例2では、因果システムは|を含むROCを生成します。z | =∞、例3の非因果的システムは、|を含むROCを生成します。z | = 0。
青いリングとして表示されるROC0.5 <|
z | <0.75
複数の極を持つシステムでは、どちらも含まないROCを持つことができます。z | =∞または| z | =0。ROCは円形バンドを作成します。例えば、 = 0.5 u − 0.75 u
[ − −1 ]
{x = 0.5 ^ {n} u -0.75 ^ {n} u }
0.5と0.75に極がROCは0.5になります<| z | <0.75。これには原点も無限大も含まれません。このようなシステムは、因果項（0.5）n u と非因果項-（0.75）n u を含むため、混合因果システムと呼ばれます。
システムの安定性は、ROCだけを知ることによっても判断できます。ROCに単位円が含まれている場合（つまり、| z | = 1）、システムは安定しています。上記のシステムでは、因果システム（例2）は次の理由で安定しています。z | > 0.5には単位円が含まれます。
ROCのないシステムのZ変換（つまり、あいまいなx ）が提供されていると仮定します。以下が必要な場合は、一意のx を決定できます。
安定
因果関係
安定性のために、ROCには単位円が含まれている必要が因果システムが必要な場合、ROCには無限大が含まれている必要があり、システム関数は右側のシーケンスになります。非因果的システムが必要な場合、ROCには原点が含まれている必要があり、システム関数は左側のシーケンスになります。安定性と因果関係の両方が必要な場合は、システム関数のすべての極が単位円の内側にある必要が
次に、一意のx を見つけることができます。
プロパティ
z変換のプロパティ
時間領域 Zドメイン 証拠 ROC
表記 = Z − 1 {{ （（ z
）。 } {x = { mathcal {Z}} ^ {-1} {X（z）}}
（（ z
）。= Z
{{ } {X（z）= { mathcal {Z}} {x }}
2 z | < 1 {r_ {2} <| z |
直線性 1 1+ 2 2
{a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} }
1 1（（ z ）。 + 2 2（（ z ）。 {a_ {1} X_ {1}（z）+ a_ {2} X_ {2}（z）}
（（ z
）。 = ∑ =− ∞ ∞（（ 1 1（（ ）。+ 2 2（（ ）。
）。 z − = 1
∑ =− ∞
∞ 1（（ ）。 z − + 2
∑ =− ∞
∞ 2（（ ）。 z − = 1 1（（ z ）。 + 2 2（（ z ）。 {{ begin {aligned} X（z）＆= sum _ {n =- infty} ^ { infty}（a_ {1} x_ {1}（n）+ a_ {2} x_ {2 }（n））z ^ {-n} \＆= a_ {1} sum _ {n =- infty} ^ { infty} x_ {1}（n）z ^ {-n} + a_ { 2} sum _ {n =- infty} ^ { infty} x_ {2}（n）z ^ {-n} \＆= a_ {1} X_ {1}（z）+ a_ {2} X_ {2}（z） end {aligned}}}
ROC入って1 ∩ROC 2
時間拡張 K = {{
、 = K 0 、 ∉K Z
{x_ {K} = { begin {cases} x 、＆n = Kr \ 0、＆n notin K mathbb {Z} end {cases}}}
とK Z ：= {{
K ： ∈Z }
{K mathbb {Z}：= {Kr：r in mathbb {Z} }}
（（z K）。
{X（z ^ {K}）}
K（（ z
）。 = ∑ =− ∞
∞ K（（ ）。 z − =
∑ =− ∞
∞ （（ ）。 z − K = ∑ =− ∞
∞ （（ ）。（（ z K ）。
− = （（ z K ）。
{{ begin {aligned} X_ {K}（z）＆= sum _ {n =- infty} ^ { infty} x_ {K}（n）z ^ {-n} \＆= sum _ {r =- infty} ^ { infty} x（r）z ^ {-rK} \＆= sum _ {r =- infty} ^ { infty} x（r）（z ^ {K}）^ {-r} \＆= X（z ^ {K}） end {aligned}}}
1 K {R ^ { frac {1} {K}}}
デシメーション
{x }
1 K
∑ =0 K −
1（（ z1 K ⋅ e − 2 π K ）。
{{ frac {1} {K}} sum _ {p = 0} ^ {K-1} X left（z ^ { tfrac {1} {K}} cdot e ^ {-i { tfrac {2 pi} {K}} p} right）}
ohio-state.edu または ee.ic.ac.uk
時間遅延 [ −k ]
{x }
と k >> 0 {k> 0}
0″”>
と ： = 0
∀ < 0 {x：x = 0 forall n <0}
z −
k （（ z ）。 {z ^ {-k} X（z）}
Z {{ [ −k ] } = ∑ = 0 ∞ [ −k ] z
− =
∑ =− k
∞ z −（（ + k ）。 = −k =
∑ =− k
∞ z − z− k = z − k
∑ =− k
∞ z − =z − k
∑ = 0 ∞ z − [ β] =
0 β< 0 = z −
k （（ z ）。 {{ begin {aligned} Z {x }＆= sum _ {n = 0} ^ { infty} x z ^ {-n} \＆= sum _ {j = -k} ^ { infty} x z ^ {-（j + k）} && j = nk \＆= sum _ {j = -k} ^ { infty} x z ^ {-j} z ^ {-k} \＆= z ^ {-k} sum _ {j = -k} ^ { infty} x z ^ {-j} \＆= z ^ {-k} sum _ {j = 0} ^ { infty} x z ^ {-j} && x = 0、 beta <0 \＆= z ^ {-k } X（z） end {aligned}}}
ROC、ただしk > 0の場合はz = 0 、k <0の場合はz =∞
タイムアドバンス [ +k ]
{x }
と k >> 0 {k> 0}
0″”> 二国間Z変換： z k （（ z ）。 {z ^ {k} X（z）}
片側Z変換： z k （（ z
）。− z k
∑ =0 k − z −{z ^ {k} X（z）-z ^ {k} sum _ {n = 0} ^ {k-1} x z ^ {-n}}
後方への最初の違い
− [ −1 ]
{x -x }
X = 0 、N <0（（ 1− z −
1）。 （（ z ）。 { displaystyle（1-z ^ {-1}）X（z）}
X 1（z）とz ≠0のROCの交点が含まれます
前方への最初の違い [ +1 ]
−
{x -x }
（（ z− 1
）。 （（ z
）。 − z [ 0 ] { displaystyle（z-1）X（z）-zx }
時間反転
{x }
（（z − 1）。
{X（z ^ {-1}）}
Z {{ （（ − ）。 } =
∑ =− ∞
∞ （（ − ）。 z − =
∑ =− ∞
∞ （（ ）。
z =
∑ =− ∞
∞ （（ ）。（（z − 1）。
− = （（ z− 1 ）。 {{ begin {aligned} { mathcal {Z}} {x（-n）}＆= sum _ {n =- infty} ^ { infty} x（-n）z ^ { -n} \＆= sum _ {m =- infty} ^ { infty} x（m）z ^ {m} \＆= sum _ {m =- infty} ^ { infty} x（m）{（z ^ {-1}）} ^ {-m} \＆= X（z ^ {-1}）\ end {aligned}}}
1 <
| z |< 1 2
{{ tfrac {1} {r_ {1}}} <| z | <{ tfrac {1} {r_ {2}}}}
zドメインでのスケーリング
{a ^ {n} x }
（（NS − ）。
{X（a ^ {-1} z）}
Z {{} =
∑ =− ∞
∞（（ ）。 z − =
∑ =− ∞
∞ （（ ）。（（ −1 z ）。 − = （（ −1 z ）。 {{ begin {aligned} { mathcal {Z}} left {a ^ {n} x right }＆= sum _ {n =- infty} ^ { infty} a ^ {n} x（n）z ^ {-n} \＆= sum _ {n =- infty} ^ { infty} x（n）（a ^ {-1} z）^ {- n} \＆= X（a ^ {-1} z） end {aligned}}}
|| 2 z | < || 1
{| a | r_ {2} <| z | <| a | r_ {1}}
複素共役 ∗
{x ^ {*} }
∗（（z ∗ ）。
{X ^ {*}（z ^ {*}）}
Z {{ ∗（（ ）。 } =
∑ =− ∞
∞ ∗（（ ）。 z − =
∑ =− ∞ ∞
[ （（ ）。（（ z
∗）。
− ] ∗ =
[ ∑ =− ∞
∞ （（ ）。（（ z
∗）。
− ] ∗ = ∗（（ z ∗ ）。
{{ begin {aligned} { mathcal {Z}} {x ^ {*}（n）}＆= sum _ {n =- infty} ^ { infty} x ^ {*} （n）z ^ {-n} \＆= sum _ {n =- infty} ^ { infty} left [x（n）（z ^ {*}）^ {-n} right] ^ {*} \＆= left [ sum _ {n =- infty} ^ { infty} x（n）（z ^ {*}）^ {-n} right] ^ {*} ＆= X ^ {*}（z ^ {*}） end {aligned}}}
実数部 {{ } { operatorname {Re} {x }}
2
[ （（ z ）。 + ∗（（ z ∗ ）。 ] {{ tfrac {1} {2}} left [X（z）+ X ^ {*}（z ^ {*}） right]}
虚数部 I {{ } { operatorname {Im} {x }}
1 2[ （（ z ）。 − ∗（（ z ∗ ）。 ] {{ tfrac {1} {2j}} left [X（z）-X ^ {*}（z ^ {*}） right]}
差別化
{nx }
− z （（ z
）。 z
{-z { frac {dX（z）} {dz}}}
Z {{ （（ ）。 } =
∑ =− ∞
∞ （（ ）。 z − = z ∑ =− ∞
∞ （（ ）。 z − −1 = − z
∑ =− ∞
∞ （（ ）。（（ − z
− − 1 ）。= − z
∑ =− ∞
∞ （（ ）。z（（ z
− ）。= −
z （（ z
）。 z
{{ begin {aligned} { mathcal {Z}} {nx（n）}＆= sum _ {n =- infty} ^ { infty} nx（n）z ^ {-n } \＆= z sum _ {n =- infty} ^ { infty} nx（n）z ^ {-n-1} \＆=-z sum _ {n =- infty} ^ { infty} x（n）（-nz ^ {-n-1}）\＆=-z sum _ {n =- infty} ^ { infty} x（n）{ frac {d} {dz}}（z ^ {-n}）\＆=-z { frac {dX（z）} {dz}} end {aligned}}}
ROC、もし （（ z ）。 {X（z）}
合理的です。 ROCは、境界を除外する可能性が （（ z ）。 {X（z）}
不合理です
畳み込み 1
∗ 2
{x_ {1} * x_ {2} }
1 （ z ）。 2（（ z ）。 {X_ {1}（z）X_ {2}（z）}
Z {{ 1（（ ）。
∗ 2（（ ）。 } = Z {{∑ l = − ∞ ∞ 1 （ l ）。 2（（ − l ）。} =
∑ =− ∞ ∞
[ ∑l = − ∞ ∞ 1 （ l ）。 2（（ − l ）。] z
− = ∑ l= − ∞
∞ 1（（ l ）。 [ ∑ = − ∞
∞ 2（（ − l ）。 z − ] = [ ∑l = − ∞ ∞ 1（（ l ）。 z − l ] [ ∑ = − ∞
∞ 2（（ ）。 z − ]= 1（（ z
）。 2（（ z ）。 {{ begin {aligned} { mathcal {Z}} {x_ {1}（n）* x_ {2}（n）}＆= { mathcal {Z}} left { sum _ {l =- infty} ^ { infty} x_ {1}（l）x_ {2}（nl） right } \＆= sum _ {n =- infty} ^ { infty} left [ sum _ {l =- infty} ^ { infty} x_ {1}（l）x_ {2}（nl） right] z ^ {-n} \＆= sum _ {l =- infty} ^ { infty} x_ {1}（l） left [ sum _ {n =- infty} ^ { infty} x_ {2}（nl）z ^ {-n} right ] \＆= left [ sum _ {l =- infty} ^ { infty} x_ {1}（l）z ^ {-l} right] ！！ left [ sum _ { n =- infty} ^ { infty} x_ {2}（n）z ^ {-n} right] \＆= X_ {1}（z）X_ {2}（z） end {aligned} }}
ROC入って1 ∩ROC 2
相互相関 1
、 2= 1 ∗ ∗ 2
{r_ {x_ {1}、x_ {2}} = x_ {1} ^ {*} * x_ {2} }
1
、 2（（ z ）。 = 1 ∗ （（ 1z ∗
）。 2（（ z ）。 {R_ {x_ {1}、x_ {2}}（z）= X_ {1} ^ {*}（{ tfrac {1} {z ^ {*}}}）X_ {2}（z） }
のROCの交点が含まれています 1（（ 1z ∗ ）。 {X_ {1}（{ tfrac {1} {z ^ {*}}}）}
と 2（（ z ）。 {X_ {2}（z）}
累積∑ k = −
∞[ k ] { sum _ {k =- infty} ^ {n} x }
1 1− z −
1 （（ z ）。 {{ frac {1} {1-z ^ {-1}}} X（z）}
∑ =− ∞ ∞ ∑
k= −
∞ [ k] z
−=
∑ =− ∞ ∞（（ + ⋯+ [ −∞ ]
）。 z − = （（ z ）。 （（ 1 + z
−
−
⋯）。= （（ z ）。 ∑ =0 ∞ z
− = （（ z
）。1 − z − 1
{{ begin {aligned} sum _ {n =- infty} ^ { infty} sum _ {k =- infty} ^ {n} x z ^ {-n}＆= sum _ {n =- infty} ^ { infty}（x + cdots + x ）z ^ {-n} \＆= X（z） left（1+ z ^ {-1} + z ^ {-2} + cdots right）\＆= X（z） sum _ {j = 0} ^ { infty} z ^ {-j} \＆= X（z）{ frac {1} {1-z ^ {-1}}} end {aligned}}}
乗算 1 2 {x_ {1} x_ {2} }
1 2 π ∮ 1 （（ v
）。 2（（ z v ）。
v− v
{{ frac {1} {j2 pi}} oint _ {C} X_ {1}（v）X_ {2}（{ tfrac {z} {v}}）v ^ {-1} mathrm {d} v}
– パーセバルの定理
∑ =− ∞ 1 2 ∗ = 1 2 π
∮ 1（（ v
）。 2 ∗ （（ 1v ∗
）。v − 1v
{ sum _ {n =- infty} ^ { infty} x_ {1} x_ {2} ^ {*} quad = quad { frac {1} {j2 pi}} oint _ {C} X_ {1}（v）X_ {2} ^ {*}（{ tfrac {1} {v ^ {*}}}）v ^ {-1} mathrm {d } v}
初期値の定理： x が因果関係にある場合、 [ 0] =
リム z ∞ （（ z
）。 {x = lim _ {z to infty} X（z）。}
最終値の定理：（ z -1） X（ z）の極が単位円の内側にある場合、 [ ∞] =
リムz 1（（ z− 1
）。 （（ z
）。 {x = lim _ {z to 1}（z-1）X（z）。}
一般的なZ変換ペアの表
ここに： u ： ↦u =
{{ 1 、 ≥0 0
、 < 0 {u：n mapsto u = { begin {cases} 1、＆n geq 0 \ 0、＆n <0 end {cases}}}
はユニット（またはヘヴィサイド）の階段関数であり、 δ ： ↦δ =
{{ 1 、 =0 0
、 ≠ 0 { delta：n mapsto delta = { begin {cases} 1、＆n = 0 \ 0、＆n neq 0 end {cases}}}
は離散時間単位インパルス関数です（連続時間バージョンであるディラックのデルタ関数を参照）。単位ステップ関数が単位インパルス関数の累積（現在の合計）になるように、2つの関数が一緒に選択されます。
信号、
{x }
Z変換、 （（ z ）。 {X（z）}
ROC 1 δ
{ delta }
1 すべてのz2 δ
{ delta }
z − 0
{z ^ {-n_ {0}}}
z ≠ 0
{z neq 0}
3 u
{u 、}