Z_N_model
Z {Z_ {N}}
モデル（クロックモデルとも呼ばれます）は、単純化された統計力学的 スピンモデルです。これはイジングモデルの一般化です。任意のグラフで定義できますが、いくつかの特殊なケースでは、1次元および2次元の格子でのみ積分できます。
コンテンツ
1 意味
2 セルフデュアルクリティカルソリューション
3 解決可能な特殊なケース
4 量子バージョン
5 参考文献
意味編集Z {Z_ {N}}
モデルは、各ノードでスピン値を割り当てることによって定義されます {r}
グラフ上で、スピンは値を取ります= exp 2
π{s_ {r} = exp { frac {2 pi iq} {N}}}
、 どこ ∈ {{ 0 1 …
、 −1 }
{q in {0，1、 ldots、N-1 }}
。したがって、スピンは1の複素根の形で値を取ります。大まかに言えば、の各ノードに割り当てられたスピンについて考えることができます。
Z {Z_ {N}}
いずれかを指すモデル {N}
等距離の方向。一般的なエッジのボルツマン重み ′
{rr ‘}
それは： w （（ 、 ′
）。 = ∑k =
0 − 1 k （（′）。（（NS ′
∗）。 k {w left（r、r ‘ right）= sum _ {k = 0} ^ {N-1} x_ {k} ^ { left（rr’ right）} left（s_ {r } s_ {r ‘} ^ {*} right）^ {k}}
こ ∗
{*}
複素共役を示し、 k（（NS ′）。
{x_ {k} ^ { left（rr ‘ right）}}
エッジに沿った相互作用の強さに関連しています ′
{rr ‘}
。ご了承ください k（（NS ′）。= − k （（NS ′）。
{x_ {k} ^ { left（rr ‘ right）} = x_ {Nk} ^ { left（rr’ right）}}
と 0
{x_ {0}}
多くの場合、1に設定されます。（実数値の）ボルツマンの重みは、変換の下で不変です。 ω k {s_ {r} rightarrow omega ^ {k} s_ {r}}
と ∗
{s_ {r} rightarrow s_ {r} ^ {*}}
、それぞれユニバーサル回転と反射に類似しています。
セルフデュアルクリティカルソリューション
解決策のクラスがあります
Z {Z_ {N}}
一般的に異方性の正方格子で定義されたモデル。モデルがクラマース・ワニエの意味で自己双対であり、したがって批判的であり、格子が2つの可能な「重み」があるようなものである場合 k 1 {x_ {k} ^ {1}}
と k 2 {x_ {k} ^ {2}}
2つの可能なエッジ方向について、次のパラメータ化を導入できます。 α { alpha}
： 1= （（ α ）。 {x_ {n} ^ {1} = x_ {n} left（ alpha right）}
2= （（ π ）。 {x_ {n} ^ {2} = x_ {n} left（ pi- alpha right）}
–可積分性を保証する双対関係と星と三角形の関係を保持する必要がある場合、解決策を見つけることができます。 （（ α
）。 = ∏k =
0 − 1 sin （（ π k / +
α 2
NS）。
sin [ π（k + 1 ）。 / −
α 2 NS] {x_ {n} left（ alpha right）= prod _ {k = 0} ^ {n-1} { frac { sin left（ pi k / N + alpha / 2N right ）} { sin left [ pi left（k + 1 right）/ N- alpha / 2N right]}}}
と 0 1
{x_ {0} = 1}
。のこの特定のケース
Z {Z_ {N}}
この解を最初に計算したVAFateevとABZamolodchikovにちなんで、モデルはそれ自体でFZモデルと呼ばれることがよくFZモデルは限界でXYモデルに近づきます。 ∞ {N rightarrow infty}
。これは、カイラルポッツモデルと柏原正樹モデルの特殊なケースでも
解決可能な特殊なケース
統計力学のほとんどの格子モデルの場合と同様に、
Z {Z_ {N}}
3次元のモデル。ただし、2次元では、次の特定の値について正方格子上で正確に解くことができます。 {N}
および/または「重み」 k
{x_ {k}}
。おそらく最もよく知られている例は、2つの反対方向のスピンを認めるイジングモデルです（つまり、=
±± 1 {s_ {r} = pm 1}
）。これはまさに
Z {Z_ {N}}
のモデル = 2 {N = 2}
、したがって、
Z {Z_ {N}}
モデルはイジングモデルの一般化と考えることができます。の特定のケースに対応する他の正確に解けるモデル
Z {Z_ {N}}
モデルには、スリーステートポッツモデルが含まれます。 = 3 {N = 3}
と 1= 2= ⋯ = − 1 = {x_ {1} = x_ {2} = dots = x_ {N-1} = x_ {c}}
、 どこ {x_ {c}}
は特定の臨界値（FZ）であり、臨界Askin-Tellerモデルは = 4 {N = 4}
。
量子バージョン
量子バージョンの
Z {Z_ {N}}
クロックモデルは、横磁場アイシングモデルと同様の方法で構築できます。このモデルのハミルトニアンは次のとおりです。 =
− （（ ∑
⟨ 、 ⟩（（ Z †
Z +
Z Z † ）。 + ∑ （（+ † ）。 ）。
{H = -J（ sum _ { langle i、j rangle}（Z_ {i} ^ { dagger} Z_ {j} + Z_ {i} Z_ {j} ^ { dagger}）+ g sum _ {j}（X_ {j} + X_ {j} ^ { dagger}））}
ここで、下付き文字は格子サイトを指し、合計は ∑ ⟨ 、 ⟩
{ sum _ { langle i、j rangle}}
最も近い隣接サイトのペアに対して行われます {i}
と {j}
。クロックマトリックス {X_ {j}}
と
Z {Z_ {j}}
を満たすパウリ行列の一般化ですZ k = e 2
π δ 、 k k Z {Z_ {j} X_ {k} = e ^ {{ frac {2 pi i} {N}} delta _ {j、k}} X_ {k} Z_ {j}}
と=
Z = 1 {X_ {j} ^ {N} = Z_ {j} ^ {N} = 1}
どこ
δ 、 k { delta _ {j、k}}
の場合は1です {j}
と k {k}
同じサイトであり、それ以外はゼロです。 {J}
はエネルギーの次元を持つプレファクターであり、 {g}
は、最も近い隣接相互作用と比較した外部フィールドの相対強度を決定する別の結合係数です。
参考文献
VAFateevおよびABZamolodchikov（1982）; 「星と三角形の関係の自己双対解
Z {Z_ {N}}
-モデル」、Physics Letters A、92、37〜39ページ
MA Rajabpour and J. Cardy（2007）; 「格子内の離散正則パラフェルミオン
Z {Z_ {N}}
モデル」 J. PHYS。A 22 40、14703から14714″