ZX-calculus
ZX-計算は厳密であるグラフィカルな言語についての推論のための線形マップとの間の量子ビットとして表され、ZX-図。ZXダイアグラムは、特定のテンソルを表すスパイダーと呼ばれるジェネレーターのセットで構成されています。これらは互いに接続されて、ペンローズのグラフ記法に似たテンソルネットワークを形成します。蜘蛛の対称性と基礎となるカテゴリーの特性のため、ZXダイアグラムをトポロジ的に変形する（つまり、接続を変更せずにジェネレータを移動する）ことは、それが表す線形マップに影響を与えません。トポロジー変形によって生成されるZXダイアグラム間の同等性に加えて、ZX計算には、ZXダイアグラムを相互に変換するための一連のグラフィカルな書き換えルールもZX計算は、キュービット間の線形マップをZXダイアグラムとして表すことができるという意味で普遍的であり、線形マップのさまざまなファミリに対してさまざまなグラフィカル書き換えルールのセットが完成しています。ZXダイアグラムは、量子回路表記の一般化と見なすことができます。
コンテンツ
1 歴史
2 非公式の紹介
2.1 発電機 2.2 構成 2.3 トポロジーのみが重要です 2.4 ダイアグラムの書き換え
3 正式な定義
4 アプリケーション
5 ツール
6 関連するグラフィカル言語
7 関連する代数的概念
8 も参照してください
9 参考文献
10 外部リンク
歴史
ZX-calculusは、2008年にBobCoeckeとRossDuncanによって、圏的量子力学の推論学派の拡張として最初に導入されました。彼らは、スパイダーの基本的な概念、強力な補完性、およびほとんどの標準的な書き換えルールを紹介しました。
2009年にダンカンとPERDRIX、追加見出さオイラー分解のためのルールアダマールゲート、 ZX-計算のための最初の完全結果を確立するために2013年にBackensによって使用されました。つまり、位相がの倍数であるスタビライザーZX図間のすべての同等性を証明するのに十分な一連の書き換えルールが存在するということです。π / 2
{ pi / 2}
、最大グローバルスカラー。この結果は、後でスカラー係数を含む完全性に洗練されました。
2017年に、ほぼ普遍的なZX計算が完了しましたπ / 4
{ pi / 4}
フラグメントが見つかりました。ユニバーサルZX計算の2つの異なる完全性の結果に加えて（フェーズは任意の実数値をとることができます）。
また、2017年には、ZX計算を使用して、量子論をゼロから構築する本「PicturingQuantumProcesses」がリリースされました。 2019年の本「量子論のカテゴリー」も参照して
非公式の紹介
ZX図の例。これは2つの入力（左から来るワイヤー）と3つの出力（右に出るワイヤー）を持っているので、からの線形マップを表します 2 2 { mathbb {C} ^ {2 ^ {2}}}
に 2 3 { mathbb {C} ^ {2 ^ {3}}}
。
ZXダイアグラムは、スパイダーと呼ばれる緑と赤のノードで構成され、ワイヤーで接続されています。ワイヤは曲がったり交差したりする場合があり、任意の数のワイヤが同じスパイダーに接続される場合があり、複数のワイヤが同じノードのペア間を行き来する場合がアダマールノードもあり、通常は黄色のボックスで示され、常に正確に2本のワイヤに接続します。
ZXダイアグラムは、量子回路がキュービット間の単一マップを表す方法と同様に、キュービット間の線形マップを表します。ZXダイアグラムは、主に2つの点で量子回路とは異なります。1つ目は、ZXダイアグラムは回路の厳密なトポロジー構造に準拠する必要がないため、任意に変形できることです。2つ目は、ZXダイアグラムには、まとめてZX計算と呼ばれる一連の書き換えルールが装備されていることです。これらのルールを使用すると、グラフィカル言語自体で計算を実行できます。
発電機
ZX計算の構成要素または生成元は、特定の状態、ユニタリ演算子、線形等長写像、および計算ベースの射影のグラフィック表現です。| 0
⟩ |1 ⟩
{| 0 rangle、| 1 rangle}
およびアダマール変換された基底
|+ ⟩= 0 ⟩ + 1 ⟩ 2
{| + rangle = { frac {| 0 rangle + | 1 rangle} { sqrt {2}}}}
と |− ⟩= 0⟩ − | 1 ⟩ 2 {|- rangle = { frac {| 0 rangle- | 1 rangle} { sqrt {2}}}}
。緑（または場合によっては白）の色は計算の基礎を表すために使用され、赤（または場合によっては灰色）の色はアダマール変換された基底を表すために使用されます。これらのジェネレーターのそれぞれは、さらに、間隔からの実数であるフェーズによってラベル付けすることができます。
[ 0 2 π ）。
{[0，2 pi）}
。位相がゼロの場合、通常は書き込まれません。
ジェネレータは次のとおりです。
ZX-calculusジェネレーター、非公式
タイプ 発生器 対応する線形マップ 備考 州 
| 0 ⟩ +
e α| 1 ⟩
{| 0 rangle + e ^ {i alpha} | 1 rangle}
にとってα = 0
{ alpha = 0}
とα = π
{ alpha = pi}
、このマップは、アダマール変換された基底状態の正規化されていないバージョンに対応します∣ + ⟩
{ mid + rangle}
と∣ − ⟩
{ mid- rangle}
、 それぞれ。にとってα = π 4 { alpha = { frac { pi} {4}}}
、これはTマジック状態の正規化されていないバージョンです| 0 ⟩ +
e π 4| 1 ⟩ 2 {{ frac {| 0 rangle + e ^ {i pi / 4} | 1 rangle} { sqrt {2}}}}
。 州
| + ⟩ +
e α| − ⟩
{| + rangle + e ^ {i alpha} |- rangle}
にとってα = 0
{ alpha = 0}
とα = π
{ alpha = pi}
、このマップは、計算基底状態の正規化されていないバージョンに対応します∣ 0 ⟩
{ mid 0 rangle}
と∣ 1 ⟩
{ mid 1 rangle}
、 それぞれ。
ユニタリーマップ
| 0 ⟩
⟨0 + e α| 1 ⟩ ⟨1 {| 0 rangle langle 0 | + e ^ {i alpha} | 1 rangle langle 1 |}
このマップは、ブロッホ球のZ軸を中心とした角度による回転です。 α { alpha}
。にとってα = π
{ alpha = pi}
、それはZパウリ行列です。
ユニタリーマップ
| + ⟩ ⟨ +
| + e α| − ⟩ ⟨ − |
{| + rangle langle + | + e ^ {i alpha} |- rangle langle- |}
このマップは、ブロッホ球のX軸を中心とした角度による回転です。 α { alpha}
。にとってα = π
{ alpha = pi}
、それはXパウリ行列です。
ユニタリーマップ
| + ⟩
⟨0 + |− ⟩ ⟨1 {| + rangle langle 0 | + |- rangle langle 1 |}
このマップは、量子回路でよく使用されるアダマールゲートです。
アイソメトリ
| 00 ⟩
⟨0 + e α| 11 ⟩ ⟨1 {| 00 rangle langle 0 | + e ^ {i alpha} | 11 rangle langle 1 |}
にとってα = 0
{ alpha = 0}
、このマップは、計算ベースのコピー操作を表します。同じ値の場合 α { alpha}
、それはまた、に対応する滑らかな分割の操作格子手術。
アイソメトリ
| + + ⟩ ⟨ +
| + e α | − − ⟩ ⟨ − |
{| ++ rangle langle + | + e ^ {i alpha} |- rangle langle- |}
にとってα = 0
{ alpha = 0}
、このマップは、アダマール変換ベースのコピー操作を表します。同じ値の場合 α { alpha}
、それはまたに対応ラフ分割の操作格子手術。
部分等長作用素
| 0 ⟩
⟨00 + e α| 1 ⟩ ⟨11 {| 0 rangle langle 00 | + e ^ {i alpha} | 1 rangle langle 11 |}
にとってα = 0
{ alpha = 0}
、このマップは、制御されたNOT操作と、それに続く状態にポスト選択されたターゲットキュービットの破壊的なZ測定を表します。| 0 ⟩
{| 0 rangle}
。同じ値の場合 α { alpha}
、それはまた、格子手術のスムーズなマージ（副産物演算子なし）に対応します。
部分等長作用素
| + ⟩ ⟨ + +
| + e α | − ⟩ ⟨ − − |
{| + rangle langle ++ | + e ^ {i alpha} |- rangle langle- |}
にとってα = 0
{ alpha = 0}
、このマップは、制御されたNOT操作と、それに続く状態にポスト選択された制御キュービットの破壊的なX測定を表します。
|+ ⟩
{| + rangle}
。同じ値の場合 α { alpha}
、それはまた、格子手術の大まかなマージ（副産物演算子なし）に対応します。
投影
⟨0 + e α ⟨1 { langle 0 | + e ^ {i alpha} langle 1 |}
にとってα = 0
{ alpha = 0}
またα = π
{ alpha = pi}
、このマップは、状態にポスト選択された破壊的なX測定に対応します∣ + ⟩
{ mid + rangle}
また∣ − ⟩
{ mid- rangle}
、 それぞれ。
投影
⟨ +
| + e α⟨ − |
{ langle + | + e ^ {i alpha} langle- |}
にとってα = 0
{ alpha = 0}
またα = π
{ alpha = pi}
、このマップは、状態にポスト選択された破壊的なZ測定に対応します∣ 0 ⟩
{ mid 0 rangle}
また∣ 1 ⟩
{ mid 1 rangle}
、 それぞれ。
構成
ジェネレーターは、次の2つの方法で構成できます。
続いて、ある発電機の出力線を別の発電機の入力線に接続する。
並行して、2つの発電機を垂直に積み重ねます。
これらの法則は、線形写像の構成とテンソル積に対応します。
このようにジェネレーターを構成することによって書かれた図は、ZX図と呼ばれます。ZXダイアグラムは、両方の構成法の下で閉じられます。1つのZXダイアグラムの出力を別のZXダイアグラムの入力に接続すると、有効なZXダイアグラムが作成され、2つのZXダイアグラムを垂直にスタックすると、有効なZXダイアグラムが作成されます。
トポロジーのみが重要です
2つの図は、同じ方法で接続された同じジェネレーターで構成されている場合、同じ線形演算子を表します。言い換えると、2つのZXダイアグラムがトポロジカル変形によって相互に変換できる場合は常に、それらは同じ線形マップを表します。したがって、制御されたNOTゲートは次のように表すことができます。
ダイアグラムの書き換え
次の量子回路の例は、GHZ状態を構築します。「同じ色の隣接するクモが融合する」、「アダマールがクモの色を変える」、「アリティ2のクモはアイデンティティである」というルールを使用してZXダイアグラムに変換することで、グラフィカルにGHZに縮小できます。 -州：
キュービット間の線形写像は、ZXダイアグラムとして表すことができます。つまり、ZXダイアグラムはユニバーサルです。特定のZXダイアグラムは、2つのダイアグラムが同じ線形マップを表す場合、つまりZX計算が健全で完全である場合にのみ、ZX計算の書き換えルールを使用して別のZXダイアグラムに変換できます。
正式な定義
ZXダイアグラムのカテゴリは、ダガーコンパクトカテゴリです。つまり、対称モノイド構造（テンソル積）を持ち、コンパクトクローズ（カップとキャップがあります）であり、これらすべての構造が適切に相互作用するようにダガーが装備されています。 。カテゴリのオブジェクトは自然数であり、テンソル積は加算によって与えられます（カテゴリはPROPです）。このカテゴリの射はZX図です。2つのZXダイアグラムは、それらを水平に並べ、左側のダイアグラムの出力を右側のダイアグラムの入力に接続することによって構成されます。2つの図のモノイド積は、一方の図を他方の上に配置することによって表されます。
実際、すべてのZXダイアグラムは、コンパクトな構造と以下に示すZX計算の規則によって引き起こされる等式を法として、生成元のセットから合成とモノイド積を介して自由に作成されます。たとえば、オブジェクトのID {n}
として描かれています {n}
特殊なケースで、左から右への平行線 = 0 {n = 0}
空の図です。
次の表は、ジェネレーターと、ディラック表記で表された線形マップとしての標準的な解釈を示しています。計算基底状態は次のように表されます。∣ 0
⟩ |1 ⟩
{ mid 0 rangle、 vert 1 rangle}
そしてアダマール-transformed基底状態であります ∣ ±± ⟩ =1 2（（ |0 ⟩
±±| 1 ⟩ ）。 { mid pm rangle = { frac {1} { sqrt {2}}}（ vert 0 rangle pm vert 1 rangle）}
。NS {n}
-フォールドテンソル-ベクトルの積∣ ψ ⟩
{ mid psi rangle}
で示されます∣ ψ ⟩
⊗ { mid psi rangle ^ { otimes n}}
。
ZX図の生成元
名前 ダイアグラム タイプ それが表す線形マップ
空の図
0
{0 rightarrow 0}
1
ワイヤー/アイデンティティ − { displaystyle-}
1 1
{1 rightarrow 1}
∣ 0 ⟩ ⟨ 0 ∣ +∣ 1 ⟩ ⟨ 1 ∣
{ mid 0 rangle langle 0 ！ mid + mid ！1 rangle langle 1 mid}
ベル状態
2
{0 rightarrow 2}
∣ 00 ⟩ + | 11 ⟩
{ mid 00 rangle + vert 11 rangle}
ベル効果
0
{2 rightarrow 0}
⟨ 00 ∣ + ⟨ 11 ∣
{ langle 00 mid + langle 11 mid}
スワップ
2
{2 rightarrow 2}
∣ 00 ⟩ ⟨ 00 | +
| 01 ⟩ ⟨ 10 | + |
10 ⟩ ⟨ 01 | + | 11⟩ ⟨ 11 |
{ mid 00 rangle langle 00 vert + vert 01 rangle langle 10 vert + vert 10 rangle langle 01 vert + vert 11 rangle langle 11 vert}
Zスパイダー
{n rightarrow m}
∣0
⊗⟨0 ⊗+ e α |1 ⊗⟨1
⊗{ mid 0 rangle ^ { otimes m} langle 0 vert ^ { otimes n} + e ^ {i alpha} vert 1 rangle ^ { otimes m} langle 1 vert ^ { otimes n}}
Xスパイダー
{n rightarrow m}
∣ + ⟩ ⊗⟨ + |
⊗+
e α| − ⟩
⊗⟨− |
⊗{ mid + rangle ^ { otimes m} langle + vert ^ { otimes n} + e ^ {i alpha} vert- rangle ^ { otimes m} langle- vert ^ { otimes n}}
アダマール
1
{1 rightarrow 1}
∣ + ⟩ ⟨ 0 | +| − ⟩ ⟨ 1 ∣
{ mid + rangle langle 0 vert + vert- rangle langle 1 mid}
ZX計算にはさまざまなバージョンがあり、さまざまなシステムの書き換えルールを公理として使用しています。すべてが「トポロジのみが重要」というメタルールを共有します。つまり、2つのダイアグラムが同じ方法で接続された同じジェネレータで構成されている場合、これらのジェネレータがダイアグラム内でどのように配置されていても、2つのダイアグラムは等しくなります。以下は、ここで「最大スカラー係数」が与えられた書き換えルールのコアセットの一部です。つまり、線形マップとしての解釈がゼロ以外の複素係数によって異なる場合、2つの図は等しいと見なされます。
ZX計算のルール
ルール名 ルール 説明
Zスパイダーフュージョン
2つのZスパイダーが接触するたびに、融合することができ、それらの位相が追加されます。この規則は、Zスパイダーが正規直交基底（計算基底）を表すという事実に対応しています。
Xスパイダーフュージョン
Zスパイダーフュージョンを参照して
アイデンティティルール
無相のアリティ2Z-またはX-スパイダーはアイデンティティに等しい。この規則は、ベル状態が計算基底で表現されてもアダマール変換基底で表現されても同じであると述べています。圏論的には、ZスパイダーとXスパイダーによって引き起こされるコンパクトな構造が一致していると言われています。
色変更
アダマールゲートはクモの色を変えます。これは、アダマールゲートが計算基底とアダマール変換基底の間でマッピングする特性を表します。
コピールール
Zスパイダーはarity-1Xスパイダーをコピーします。これは、arity-1 X-spiderが計算の基底状態（この場合）に比例するという事実を表しています。| 0 ⟩
{ vert 0 rangle}
）。
双代数の法則
ZスパイダーとXスパイダーの2サイクルが単純化されます。これは、計算基底とアダマール変換基底が強く相補的であるという特性を表しています。 π { pi}
-コピールール
NOTゲート（arity-2 X-spider with a π { pi}
フェーズ）Zスパイダーを介してコピーし、このスパイダーのフェーズを反転します。このルールは、一度に2つのプロパティを示します。まず、そのNOTは計算基底の関数マップです（基底状態を基底状態にマップします）。次に、NOTがZ回転ゲートを介して転流されると、この回転が反転します。
オイラー分解
アダマールゲートは、ブロッホ球の周りを3回転に拡張できます（オイラー角に対応）。このルールがアダマールジェネレーターの定義と見なされる場合がその場合、ZXダイアグラムのジェネレーターはZスパイダーとXスパイダーのみです。
アプリケーション
ZX-calculusは、さまざまな量子情報および計算タスクで使用されてきました。
これは、測定ベースの量子計算とグラフの状態を説明するために使用されてきました。
ZX-計算はするための言語である格子手術の表面コード。
これは、量子誤り訂正コードの正しさを見つけて検証するために使用されてきました。
量子回路を最適化するために使用されてきました。
ツール
ZX-calculusの書き換えルールは、ダブルプッシュアウト書き換えのインスタンスとして正式に実装できます。これは、ソフトウェアQuantomaticで使用され、ZX図（またはより一般的な文字列図）の自動書き換えを可能にします。スパイダーフュージョンルールで使用されるように、「ドット」の使用法を形式化して任意の数のワイヤーを示すために、このソフトウェアはbang-box表記を使用して、スパイダーが入力または出力の数。
ZXダイアグラムを処理するための最近のプロジェクトは、主に回路の最適化に焦点を当てたPyZXです。
関連するグラフィカル言語
ZX計算は、キュービット間の線形写像を記述するためのいくつかのグラフィカル言語の1つにすぎません。ZW-計算はZX-計算と一緒に開発された、と自然に記述できるW-状態とフェルミオンの量子コンピューティングを。 これは、キュービット間の線形写像のほぼ普遍的なセットの完全なルールセットを備えた最初のグラフィカル言語であり、ZX-微積分の初期の完全性の結果はZW-への縮小を使用します。微積分。
最近の言語はZH-calculusです。これにより、Hボックスがジェネレーターとして追加され、ZX計算からアダマールゲートが一般化されます。トフォリゲートを含む量子回路を自然に記述することができます。
関連する代数的概念
ZX計算の無相スパイダーは、対蹠地としての自明なマップでホップ代数の公理を満たします。これは、の群代数と同型であることを観察することで確認できます。Z 2
{Z_ {2}}
。
も参照してください
圏量子力学
応用圏論
参考文献
^ Coecke、Bob; ダンカン、ロス（2008年）、 “相互作用量子観測”、オートマトン、言語やプログラミング、コンピュータサイエンス、中講義ノート5126、スプリンガー、ベルリン、ハイデルベルク、頁298から310、。CiteSeerX 10.1.1.381.2573、DOI：10.1007 / 978- 3-540-70583-3_25、ISBN 9783540705826
^ Coecke、Bob; ダンカン、ロス（2011-04-14）。「相互作用する量子オブザーバブル：カテゴリー代数と図式」。New Journal ofPhysics。13（4）：043016. arXivの：0906.4725。Bibcode：2011NJPh … 13d3016C。土井：10.1088 / 1367-2630 / 13/4/043016。ISSN 1367年から2630年。S2CID 14259278。
^ ダンカン、ロス; Perdrix、Simon（2009）。「グラフの状態とオイラー分解の必要性」。数学的理論と計算の実践。コンピュータサイエンスの講義ノート。5635。スプリンガーベルリンハイデルベルク。pp。167–177。arXiv：0902.0500。土井：10.1007 / 978-3-642-03073-4_18。ISBN
9783642030727。
^ ミリアム・バッケンズ（2014-09-17）。「ZX計算はスタビライザー量子力学のために完全です」。New Journal ofPhysics。16（9）：093021. arXivの：1307.7025。Bibcode：2014NJPh … 16i3021B。土井：10.1088 / 1367-2630 / 16/9/093021。ISSN 1367年から2630年。S2CID 27558474。
^ ミリアム・バッケンズ（2015-11-04）。「スカラーのスタビライザーZX計算を完全にする」。理論的コンピュータサイエンスにおける電子議事録。195：17–32。arXiv：1507.03854。Bibcode：2015arXiv150703854B。土井：10.4204 /eptcs.195.2。ISSN 2075年から2180年。S2CID 14084597。
^ ジャンデル、エマニュエル; Perdrix、Simon; ビルマート、ルノー（2018）。「クリフォード+ T量子力学のためのZX計算の完全な公理化」。コンピュータサイエンスにおける論理に関する第33回ACM / IEEEシンポジウムの議事録-LICS’18。ニューヨーク、ニューヨーク、米国：ACM Press：559–568。arXiv：1705.11151。土井：10.1145 /3209108.3209131。ISBN
9781450355834。S2CID 42195704。
^ Hadzihasanovic、Amar; Ng、Kang Feng; 王、泉龍（2018）。「純粋な状態の量子ビット量子コンピューティングの2つの完全な公理」。コンピュータサイエンスの論理に関する第33回ACM / IEEEシンポジウムの議事録。ACM：502〜511。土井：10.1145 /3209108.3209128。ISBN
9781450355834。S2CID 195347007 。
^ ジャンデル、エマニュエル; Perdrix、Simon; ビルマート、ルノー（2018）。「クリフォード+ T量子力学を超えた図式推論」。コンピュータサイエンスにおける論理に関する第33回ACM / IEEEシンポジウムの議事録-LICS’18。ニューヨーク、ニューヨーク、米国：ACM Press：569–578。arXiv：1801.10142。Bibcode：2018arXiv180110142J。土井：10.1145 /3209108.3209139。ISBN
9781450355834。S2CID 118959228。
^ Coecke、Bob; キッシンジャー、アレクス（2017）。量子プロセスの描写。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。土井：10.1017 / 9781316219317。ISBN
9781316219317。
^ ヒューネン、クリス; ヴィカリー、ジェイミー（2019）。量子論のカテゴリー。オックスフォード大学出版局。土井：10.1093 / oso /9780198739623.001.0001。ISBN
9780198739616。
^ Bravyi、Sergey; ハァ、ジョンワン（2012-11-27）。「オーバーヘッドの少ないマジックステート蒸留」。フィジカルレビューA。86（5）：052329. arXivの：1209.2426。Bibcode：2012PhRvA..86e2329B。土井：10.1103 /physreva.86.052329。ISSN 1050年から2947年。S2CID 4399674。
^ Horsman、Dominic; de Beaudrap、ニール（2017-04-27）。「ZX計算は、表面コード格子手術のための言語です」。arXiv：1704.08670v2 。
^ バッケンズ、ミリアム; Perdrix、Simon; 王、泉龍（2017-01-01）。「簡略化されたスタビライザーZX-計算」。理論的コンピュータサイエンスにおける電子議事録。236：1〜20。土井：10.4204 /eptcs.236.1。ISSN 2075年から2180年。
^ van de Wetering、ジョン; キッシンジャー、アレクス（2019-04-09）。「PyZX：大規模な自動化された図式推論」。arXiv：1904.04735v1 。
^ ダンカン、ロス; Perdrix、Simon（2010）、「一般化されたフローによる測定ベースの量子計算の書き換え」、オートマトン、言語とプログラミング、Springer Berlin Heidelberg、pp。285–296、CiteSeerX 10.1.1.708.1968、doi：10.1007 / 978-3- 642-14162-1_24、ISBN
9783642141614、S2CID 34644953
^ キッシンジャー、アレクス; van de Wetering、ジョン（2019-04-26）。「一般化されたパリティ-位相相互作用とパウリ測定を備えたユニバーサルMBQC」。クォンタム。3：134 DOI：10.22331 / Q-2019-04-26-134。ISSN 2521-327X。
^ Horsman、ドミニク; de Beaudrap、ニール（2017-04-27）。「ZX計算は、表面コード格子手術のための言語です」。arXiv：1704.08670v1 。
^ Perdrix、Simon; Horsman、Dominic; ダンカン、ロス; de Beaudrap、ニール（2019-04-29）。「PauliFusion：ZX項から量子変換を実現するための計算モデル」。arXiv：1904.12817v1 。
^ Horsman、ドミニク; ゾーレン、ステファン; ロフ、ジョシュカ; キッシンジャー、アレクス; ニコラス首相（2016-11-23）。「量子誤り訂正の設計と検証のためのグラフィック構造」。arXiv：1611.08012v3 。
^ ダンカン、ロス; ルーカス、マキシム（2014-12-27）。「Quantomaticを使用したSteaneコードの検証」。理論的コンピュータサイエンスにおける電子議事録。171：33–49。土井：10.4204 /eptcs.171.4。ISSN 2075年から2180年。
^ ガービー、リアム; ダンカン、ロス（2018-02-27）。「Quantomaticを使用した最小の興味深いカラーコードの検証」。理論的コンピュータサイエンスにおける電子議事録。266：147–163。土井：10.4204 /eptcs.266.10。ISSN 2075年から2180年。
^ フェイガン、アンドリュー; ダンカン、ロス（2019-01-31）。「Quantomaticによるクリフォード回路の最適化」。理論的コンピュータサイエンスにおける電子議事録。287：85〜105。arXiv：1901.10114。Bibcode：2019arXiv190110114F。土井：10.4204 /eptcs.287.5。ISSN 2075年から2180年。S2CID 53979936。
^ キッシンジャー、アレクス; Zamdzhiev、Vladimir（2015）、「Quantomatic：A Proof Assistant for Diagrammatic Reasoning」、Automated Deduction-CADE-25、Springer International Publishing、pp。326–336、arXiv：1503.01034、Bibcode：2015arXiv150301034K、doi：10.1007 / 978-3 -319-21401-6_22、ISBN
9783319214009、S2CID 13292311
^ クイック、デビッド; キッシンジャー、アレクス（2015-05-02）。「文字列図の一階述語論理」。arXiv：1505.00343v1 。
^ Coecke、Bob; キッシンジャー、アレクス（2010）。「多分割量子もつれの組成構造」。Automata、言語およびプログラミング。コンピュータサイエンスの講義ノート。6199。スプリンガーベルリンハイデルベルク。pp。297–308。arXiv：1002.2540。Bibcode：2010arXiv1002.2540C。土井：10.1007 / 978-3-642-14162-1_25。ISBN
9783642141614。S2CID 18928433。
^ Hadzihasanovic、Amar; ダンカン、ロス（2015）。「量子ビットエンタングルメントの図式的公理化」。2015年第30回ACM / IEEEコンピュータサイエンスの論理に関するシンポジウム。pp。573–584。arXiv：1501.07082。土井：10.1109 /lics.2015.59。ISBN
9781479988754。S2CID 14091451。
^ バッケンズ、ミリアム; キッシンジャー、アレクス（2019-01-31）。「ZH：古典的な非線形性を含む量子計算のための完全なグラフィカル計算」。理論的コンピュータサイエンスにおける電子議事録。287：23–42。土井：10.4204 /eptcs.287.2。ISSN 2075年から2180年。
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